高中数学选修11优质学案章末复习.docx
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高中数学选修11优质学案章末复习
章末复习
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
1.四种命题及其关系
(1)四种命题:
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若綈p,则綈q
逆否命题
若綈q,则綈p
(2)四种命题间的逆否关系:
(3)四种命题的真假关系:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)分类:
①充要条件:
p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;
②充分不必要条件:
p⇒q且q⇏p.
③必要不充分条件:
p⇏q且q⇒p.
④既不充分也不必要条件:
p⇏q且q⇏p.
3.简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得p∧q,p∨q,綈p.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p,q有一假即为假,p∨q有一真即为真,p与綈p必定是一真一假.
4.全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题:
全称量词用符号“∀”表示.
全称命题用符号简记为∀x∈M,p(x).
(2)存在量词与特称命题:
存在量词用符号“∃”表示.
特称命题用符号简记为∃x0∈M,p(x0).
5.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
1.命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的否命题是假命题.( √ )
2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( √ )
3.命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.( × )
4.已知命题p:
∃x0∈R,x0-2>0,命题q:
∀x∈R,x2>x,则命题p∨(綈q)是假命题.( × )
类型一 命题及其关系
例1
(1)有下列命题:
①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”.
其中是真命题的是( )
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①③
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
[答案] D
(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)
考点 “p∨q”形式的命题
题点 判断“p∨q”形式命题的真假
[答案] A
[解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
反思与感悟
(1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
跟踪训练1
(1)命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( )
A.若x2>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x2≤1
C.若-1
D.若x<-1或x>1,则x2>1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
[答案] B
(2)设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.q为真
C.p∧q为假D.p∨q为真
考点 “p∧q”形式的命题
题点 判断“p∧q”形式命题的真假
[答案] C
[解析] 由题意知p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2
(1)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 必要不充分条件的判定
[答案] B
[解析] ∵x2-3x>0⇏x>4,
x>4⇒x2-3x>0,
故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件.
(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
[答案] C
[解析] ∵a>0且b>0⇔a+b>0且ab>0,
∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)等价法:
利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0B.
C.lna>lnb>0D.xa>xb且x>0.5
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 充分不必要条件的判定
[答案] C
[解析] 设条件p符合条件,则p是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必要条件,即有“p⇒a>b>0,a>b>0⇏p”.
A选项中,a2>b2>0⇏a>b>0,有可能是a
B选项中,
C选项中,lna>lnb>0⇔a>b>1⇒a>b>0,而a>b>0⇏a>b>1,符合条件;
D选项中,xa>xb且0
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,a<0.q:
实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解 设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a B={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0} ={x|x<-4或x≥-2}. 因为綈p是綈q的必要不充分条件, 所以q是p的必要不充分条件. 所以AB,所以 或 解得a≤-4或- ≤a<0. 故实数a的取值范围为(-∞,-4]∪ . 反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件: 若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件. 跟踪训练3 已知p: 2x2-9x+a<0,q: 2 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 [答案] (-∞,9] [解析] ∵綈q是綈p的必要条件, ∴q是p的充分条件, 令f(x)=2x2-9x+a, 则 解得a≤9, ∴实数a的取值范围是(-∞,9]. 类型三 逻辑联结词与量词的综合应用 例4 已知p: ∃x0∈R,mx +2≤0.q: ∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2]D.[-1,1] 考点 “p∨q”形式的命题 题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的范围 [答案] A [解析] 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题. 由p: ∃x0∈R,mx +2≤0为假,得∀x∈R,mx2+2>0,所以m≥0.① 由q: ∀x∈R,x2-2mx+1>0为假,得∃x0∈R,x -2mx0+1≤0, 所以Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1.② 由①和②得m≥1. 反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如: p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径. 跟踪训练4 已知命题p: ∃x0∈R,mx +1≤0,命题q: ∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)B.[-2,0) C.(-2,0)D.(0,2) 考点 “p∧q”形式的命题 题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围) [答案] C [解析] 因为p∧q为真命题, 所以命题p和命题q均为真命题, 若p真,则m<0,① 若q真,则Δ=m2-4<0, 所以-2 所以p∧q为真,由①②知-2 1.下列说法正确的是( ) A.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1” B.命题“∃x0∈R,x >1”的否定是“∀x∈R,x2>1” C.命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆否命题为假命题 D.命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆命题为假命题 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 [答案] D [解析] A中,命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”,∴A错误. B中,命题“∃x0∈R,x >1”的否定是“∀x∈R,x2≤1”,∴B错误. C中,“若x=y,则cosx=cosy”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误. D中,命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆命题“若cosx=cosy,则x=y”为假命题,∴D正确. 2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 充分不必要条件的判定 [答案] A [解析] 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点, 即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点. 3.命题“∃x0∈R,f(x0)<0”的否定是( ) A.∃x0∉R,f(x0)≥0B.∀x∉R,f(x)≥0 C.∀x∈R,f(x)≥0D.∀x∈R,f(x)<0 考点 存在量词的否定 题点 含存在量词的命题的否定 [答案] C 4.已知p: x2+2x-3>0;q: >1.若“(綈q)∧p”为真命题,求x的取值范围. 考点 “p∧q”形式的命题 题点 已知p且q命题的真假求参数(或其范围) 解 因为“(綈q)∧p”为真,所以q假p真. 而当q为真命题时,有 <0,即2 所以当q为假命题时有x≥3或x≤2; 当p为真命题时,由x2+2x-3>0, 解得x>1或x<-3, 由 解得x<-3或1 5.已知条件p: x2-3x-4≤0,条件q: |x-3|≤m,若綈q是綈p的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围 解 ∵由x2-3x-4≤0,得-1≤x≤4, 若|x-3|≤m有解, 则m>0(m=0时不符合已知条件), 则-m≤x-3≤m, 得3-m≤x≤3+m, 设A={x|-1≤x≤4},B={x|3-m≤x≤3+m}. ∵綈q是綈p的充分不必要条件, ∴p是q的充分不必要条件, ∴p⇒q成立,但q⇒p不成立,即AB, 则 (等号不同时取到), 即 得m≥4, 故m的取值范围是[4,+∞). 1.互为逆否命题的两命题是等价命题. 2.充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q,可根据定义及集合法进行判别. 3.含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断. p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与綈p是一真一假. 4.全称命题与特称命题的否定 先改量词(全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词)再对结论否定.
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