全国卷Ⅰ理科文档格式.docx
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设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,∵1,z=1,a+bi=a-bi,a2+b2∈R,∴b=0,∴z∈R,∴p1是真命题;
对于p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0或b=0,∴p2不是真命题;
对于p3,设z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)i∈R,∴dx+cy=0,取z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠z2,∴p3不是真命题;
对于p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴z=a-bi=a∈R,∴p4是真命题.故选B.
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2
C.4D.8
设等差数列{an}的公差为d,
∴a1+3d+a1+4d=24,
6a1+6×
5,2d=48,∴d=4,故选C.
C
5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
∵函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且f
(1)=-1,∴f(-1)=-f
(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,故选D.
D
6.1+1,x2(1+x)6展开式中x2的系数为( )
A.15B.20
C.30D.35
(1+x)6展开式的通项Tr+1=Cr6xr,所以1+1,x2(1+x)6的展开式中x2的系数为1×
C26+1×
C46=30,故选C.
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10B.12
C.14D.16
由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为(2+4)×
2,2×
2=12,故选B.
8.如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>
1000的最小偶数n,那么在
和
两个空白框中,可以分别填入( )
A.A>
1000和n=n+1
B.A>
1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1
D.A≤1000和n=n+2
程序框图中A=3n-2n,故判断框中应填入A≤1000,由于初始值n=0,要求满足A=3n-2n>
1000的最小偶数,故执行框中应填入n=n+2,选D.
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin2x+2π,3,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度,得到曲线C2
易知C1:
y=cosx=sinx+π,2,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的1,2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin2x+π,2的图象,再把所得函数的图象向左平移π,12个单位长度,可得函数y=sin2x+π,12+π,2=sin2x+2π,3的图象,即曲线C2,故选D.
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16B.14
C.12D.10
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则l1:
y=k(x-1),l2:
y=-1,k(x-1),由y2=4x,
y=k(x-1),消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2k2+4,k2=2+4,k2,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=2+4,k2+2=4+4,k2.同理得|DE|=4+4k2,∴|AB|+|DE|=4+4,k2+4+4k2=8+41,k2+k2≥8+8=16,当且仅当1,k2=k2,即k=±
1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.
11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<
3y<
5zB.5z<
2x<
3y
C.3y<
5z<
2xD.3y<
5z
设2x=3y=5z=k>
1,∴x=log2k,y=log3k,z=log5k.∵2x-3y=2log2k-3log3k=2,logk2-3,logk3=2logk3-3logk2,logk2·
logk3=logk32-logk23,logk2·
logk3=logk9,8,logk2·
logk3>
0,∴2x>
3y;
∵3y-5z=3log3k-5log5k=3,logk3-5,logk5=3logk5-5logk3,logk3·
logk5=logk53-logk35,logk3·
logk5=logk125,243,logk3·
logk5<
0,∴3y<
5z;
∵2x-5z=2log2k-5log5k=2,logk2-5,logk5=2logk5-5logk2,logk2·
logk5=logk52-logk25,logk2·
logk5=logk25,32,logk2·
0,∴5z>
2x.∴5z>
2x>
3y,故选D.
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>
100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440B.330
C.220D.110
设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为n(n+1),2.由题意可知,N>
100,令n(n+1),2>
100,∴n≥14,n∈N*,即N出现在第13组之后.易得第n组的所有项的和为1-2n,1-2=2n-1,前n组的所有项的和为2(1-2n),1-2-n=2n+1-n-2.设满足条件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)组,且第N项为第k+1组的第t(t∈N*)个数,第k+1组的前t项的和2t-1应与-2-k互为相反数,即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2(k+3),∴当t=4,k=13时,N=13×
(13+1),2+4=95<
100,不满足题意,当t=5,k=29时,N=29×
(29+1),2+5=440,当t>
5时,N>
440,故选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知向量a,b的夹角为60°
,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=__________.
易知|a+2b|=|a|2+4a·
b+4|b|2=4+4×
2×
1×
1,2+4=23.
23
14.设x,y满足约束条件x+2y≤1,
2x+y≥-1,
x-y≤0,则z=3x-2y的最小值为__________.
画出不等式组x+2y≤1,
x-y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由可行域知,当直线y=3,2x-z,2过点A时,在y轴上的截距最大,此时z最小,由x+2y=1,
2x+y=-1,解得x=-1,
y=1.∴zmin=-5.
-5
15.已知双曲线C:
x2,a2-y2,b2=1(a>
0,b>
0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°
,则C的离心率为__________.
双曲线的右顶点为A(a,0),一条渐近线的方程为y=b,ax,即bx-ay=0,圆心A到此渐近线的距离d=|ba-a×
0|,b2+a2=ab,c,因为∠MAN=60°
,圆的半径为b,所以b·
sin60°
=ab,c,即3b,2=ab,c,所以e=2,3=23,3.
23,3
16.
如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为__________.
法一:
由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,当△ABC的边长变化时,设△ABC的边长为a(a>
0)cm,则△ABC的面积为3,4a2,△DBC的高为5-3,6a,则正三棱锥的高为5-3,6a2-3,6a2=25-53,3a,
∴25-53,3a>
0,∴0<
a<
53,∴所得三棱锥的体积V=1,3×
3,4a2×
25-53,3a=3,12×
25a4-53,3a5.令t=25a4-53,3a5,则t′=100a3-253,3a4,由t′=0,得a=43,此时所得三棱锥的体积最大,为415cm3.
法二:
如图,连接OD交BC于点G,由题意知,OD⊥BC.易得OG=3,6BC,∴OG的长度与BC的长度成正比.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,S△ABC=23x·
3x·
1,2=33x2,则所得三棱锥的体积V=1,3×
33x2×
(5-x)2-x2=3x2×
25-10x=3×
25x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x∈0,5,2,则f′(x)=100x3-50x4,令f′(x)>
0,即x4-2x3<
0,得0<
x<
2,则当x∈0,5,2时,f(x)≤f
(2)=80,∴V≤3×
80=415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.
415
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a2,3sinA.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
(1)由题设得1,2acsinB=a2,3sinA,
即1,2csinB=a,3sinA.
由正弦定理得1,2sinCsinB=sinA,3sinA.
故sinBsinC=2,3.
(2)由题设及
(1)得cosBcosC-sinBsinC=-1,2,
即cos(B+C)=-1,2.
所以B+C=2π,3,故A=π,3.
由题设得1,2bcsinA=a2,3sinA,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.
故△ABC的周长为3+33.
18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°
,求二面角APBC的余弦值.
由已知∠BAP=∠CDP=90°
,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,又AP∩PD=P,从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.
由
(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由
(1)及已知可得A2,2,0,0,P0,0,2,2,B2,2,1,0,C-2,2,1,0.
所以PC=-2,2,1,-2,2,CB=(2,0,0),PA=2,2,0,-2,2,AB=(0,1,0).
设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,则
n·
PC=0,
CB=0,即-2,2x1+y1-2,2z1=0,
2x1=0.
可取n=(0,-1,-2).
设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,则
m·
PA=0,
AB=0,即2,2x2-2,2z2=0,
y2=0.
可取m=(1,0,1).
则cos〈n,m〉=n·
m,|n||m|=-2,3×
2=-3,3.
所以二面角APBC的余弦值为-3,3.
19.(本小题满分12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.05
经计算得x=1,16∑16,i=1xi=9.97,s=1,16∑16,i=1(xi-x)2=1,16(∑16,i=1x2i-16x2)≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<
Z<
μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,0.008≈0.09.
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,00026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.
X的数学期望为E(X)=16×
0.0026=0.0416.
(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
1,15×
(16×
9.97-9.22)=10.02,
因此μ的估计值为10.02.
∑16,i=1x2i=16×
0.2122+16×
9.972≈1591.134,
剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
(1591.134-9.222-15×
10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
x2,a2+y2,b2=1(a>
b>
0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,3,2,P41,3,2中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:
l过定点.
(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.
又由1,a2+1,b2>
1,a2+3,4b2知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此1,b2=1,
1,a2+3,4b2=1,解得a2=4,
b2=1.
故椭圆C的方程为x2,4+y2=1.
(2)证明:
设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果l与x轴垂直,设l:
x=t,由题设知t≠0,且|t|<
2,可得A,B的坐标分别为t,4-t2,2,t,-4-t2,2.
则k1+k2=4-t2-2,2t-4-t2+2,2t=-1,得t=2,不符合题设.
从而可设l:
y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入x2,4+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>
0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8km,4k2+1,x1x2=4m2-4,4k2+1.
而k1+k2=y1-1,x1+y2-1,x2
=kx1+m-1,x1+kx2+m-1,x2
=2kx1x2+(m-1)(x1+x2),x1x2
由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
即(2k+1)·
4m2-4,4k2+1+(m-1)·
-8km,4k2+1=0.
解得k=-m+1,2.
当且仅当m>
-1时,Δ>
0,于是l:
y=-m+1,2x+m,即y+1=-m+1,2(x-2),
所以l过定点(2,-1).
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
①若a≤0,则f′(x)<
0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.
②若a>
0,则由f′(x)=0得x=-lna.
当x∈(-∞,-lna)时,f′(x)<
0;
当x∈(-lna,+∞)时,f′(x)>
0.所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增.
(2)①若a≤0,由
(1)知,f(x)至多有一个零点.
0,由
(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-1,a+lna.
a.当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点;
b.当a∈(1,+∞)时,由于1-1,a+lna>
0,即f(-lna)>
0,故f(x)没有零点;
c.当a∈(0,1)时,1-1,a+lna<
0,即f(-lna)<
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>
-2e-2+2>
0,故f(x)在(-∞,-lna)有一个零点.
设正整数n0满足n0>
ln3,a-1,则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>
en0-n0>
2n0-n0>
由于ln3,a-1>
-lna,因此f(x)在(-lna,+∞)有一个零点.
综上,a的取值范围为(0,1).
请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修44:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosθ,
y=sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,
y=1-t(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.
(1)曲线C的普通方程为x2,9+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
由x+4y-3=0,
x2,9+y2=1解得x=3,
y=0或x=-21,25,
y=24,25.
从而C与l的交点坐标为(3,0),-21,25,24,25.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a-4|,17.
当a≥-4时,d的最大值为a+9,17.由题设得a+9,17=17,所以a=8;
当a<
-4时,d的最大值为-a+1,17.由题设得-a+1,17=17,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
23.(本小题满分10分)选修45:
不等式选讲
已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
当x<
-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
当x>
1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<
x≤-1+17,2.
所以f(x)≥g(x)的解集为x|-1≤x≤-1+17,2.
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