高阶系统的频域分析及离散化.docx
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高阶系统的频域分析及离散化
目录
1利用MATLAB进行系统的频域分析........................................................................................1
1.1利用MATLAB绘制系统的波特图.................................................................................1
1.1.1绘制波特图.......................................................................................................1
1.1.2稳定裕度...........................................................................................................2
1.1.3截止频率...........................................................................................................3
1.2利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图.........................................................................3
1.2.1绘制奈奎斯特图...............................................................................................3
1.2.2稳定性分析.......................................................................................................3
2控制系统的时域响应..............................................................................................................5
2.1单位阶跃响应及其稳态误差.......................................................................................5
2.1.1利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线.............................................................5
2.1.2稳态误差的分析与计算...................................................................................6
2.2单位斜坡响应及其稳态误差.......................................................................................6
2.2.1利用MATLAB绘制单位斜坡响应曲线.............................................................6
2.2.2稳态误差的分析与计算...................................................................................6
2.3单位加速度响应及其稳态误差...................................................................................7
2.3.1利用MATLAB绘制单位加速度响应曲线.........................................................7
2.3.2稳态误差的分析与计算...................................................................................7
3高阶系统的离散化..................................................................................................................9
3.1系统离散化................................................................................................................9
3.2闭环脉冲传递函数..................................................................................................10
4小结........................................................................................................................................14
参考文献.......................................................................................................................................15
高阶系统的频域分析及离散化
1利用MATLAB进行系统的频域分析
1.1利用MATLAB绘制系统的波特图
1.1.1
绘制波特图
根据初始条件:
单位反馈系统的开环传递函数是Gp=
当K=10,a=1,b=4时,变为Gp=
则系统的闭环传递函数为
Φ(s)=
=
(1)
根据上述的开环传递函数,使用Matlab绘制其波特图,如图1所示:
图1使用bode命令绘制的波特图
其MATLAB程序如下:
num=[1040];%开环传递函数的分子
den=conv([110],[148]);%开环传递函数的分母
w=logspace(-2,2,100);%确定频率范围
bode(num,den);%用bode命令绘图
1.1.2稳定裕度
MATLAB提供的函数margin()可以确定系统的稳定裕度。
针对于此题编写程序:
num=[1040];%开环传递函数的分子
den=conv([110],[148]);%开环传递函数的分母
margin(num,den)%画波特图并计算幅值裕度和相角裕度
使用此函数得到的曲线如图2所示。
图2使用margin命令绘制的波特图
根据图示可以看出相角裕度γ=-194
-(-180
)=-14
,幅值裕度h=3.56。
1.1.3截止频率
根据上面所得到的波特图可以清楚的看出系统的截止频率ωc=2.11rad/s
1.2利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图
1.2.1绘制奈奎斯特图
使用MATLAB提供的函数nyquist()绘制系统的奈奎斯特图,其程序如下:
num=[1040];%开环传递函数的分子
den=conv([110],[148]);%开环传递函数的分母
nyquist(num,den);%利用nyquist()函数绘图
v=[-61-1010];
axis(v)%指定图形的显示范围
绘制出的奈奎斯特曲线如图3所示。
图3使用nyquist命令绘制的奈奎斯特图
1.2.2稳定性分析
根据上面所绘制的奈奎斯特图分析,由于开环系统没有右极点,即P=0,而奈奎斯特曲线顺时针包围(-1,j0)点两圈,即R=-2,所以闭环系统的正实部极点数为Z=P-R=2,因此闭环系统不稳定。
根据题目所给的开环传递函数
,计算得出它的闭环特征方程是:
s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+bK=0,列出其劳斯表如下所示:
s418+4abK
s34+a8a+K0
s2
bK
s1[
*(8a+K-(4+a)bK/
0
s0bK
令其首列为正数,得到以下不等式组:
4+a>0
(2)
4a2+16a+32-K>0(3)
*(8a+K)-(4+a)bK>0(4)
bK>0(5)
将其化简后得到:
取值a=6,b=5,K=12,经检验满足上述不等式组,即说明此时系统是稳定的。
在以下题目中选取此组数据进行分析和计算。
2控制系统的时域响应
2.1单位阶跃响应及其稳态误差
2.1.1利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线
根据上节稳定性的分析得知:
取K=12,a=6,b=5时系统稳定。
此时开环传递函数Gp=
,求其闭环传递函数得:
Φ(s)=
根据闭环传递函数编制MATLAB程序如下:
num=[12,60];%闭环传递函数的分子
den=[1,10,32,60,60];%闭环传递函数的分母
sys=tf(num,den);%定义系统
t=0:
0.05:
10;
step(sys,t);%绘制单位阶跃响应
grid;
s=tf('s');
holdon
impulse(1/s);%绘制单位阶跃输入
grid;
axis([0,10,0,1.4]);
图4单位阶跃响应曲线
单位阶跃输入及其响应曲线如图4所示。
2.1.2稳态误差的分析与计算
根据绘制出的曲线可以明显的看出,当时间t→∞时,单位阶跃输入以及单位阶跃响应均趋近于常值1,也就是说系统在单位阶跃输入时的稳态误差为0。
由理论分析,题目所给系统为Ⅰ型系统,则其静态位置误差系数Kp=∞,根据单位阶跃作用下的稳态误差公式可知,稳态误差ess=
=
=0,与使用MATLAB所绘制出的曲线得到的结果一致。
2.2单位斜坡响应及其稳态误差
2.2.1利用MATLAB绘制单位斜坡响应曲线
已知其闭环传递函数,使用MATLAB绘制其单位斜坡输入及单位斜坡响应曲
线,其程序如下所示。
num=[12,60];%闭环传递函数的分子
den=[1,10,32,60,60];%闭环传递函数的分母
s=tf('s');
sys=tf(num,den);%定义系统
G1=sys/(s*s);
impulse(G1);%绘制单位斜坡响应
holdon
impulse(1/s^2);%绘制单位斜坡输入
grid
axis([0,5,0,5]);
结果如图5所示。
2.2.2稳态误差的分析与计算
在此控制系统中,根据绘制出的图可以看出,当时间t→∞时,单位斜坡输入和单位斜坡响应之间的差值趋近于一个常数,这个常数即是其稳态误差。
计算出稳态误差ess大概为4.5-3.66=0.84。
根据理论分析,用静态速度误差系数表示系统在斜坡输入作用下的稳态误差,将R(s)=1/s2带入稳态误差的求取公式得到:
(6)
因为所给系统是Ⅰ型系统,其静态速度误差系数Kv=K=12。
代入到上述公式中可求出ess=1/12=0.833。
与使用MATLAB绘制出的曲线求的相一致。
图5单位斜坡响应曲线
2.3单位加速度斜坡响应及其稳态误差
2.3.1利用MATLAB绘制单位加速度斜坡响应曲线
已知其闭环传递函数,使用MATLAB绘制其单位加速度输入及单位加速度响应曲线,其程序如下所示。
num=[12,60];%闭环传递函数的分子
den=[1,10,32,60,60];%闭环传递函数的分母
s=tf('s')
sys=tf(num,den);%定义系统
G1=sys/(s*s*s);
impulse(G1);%绘制单位斜坡响应
holdon
impulse(1/s^3);%绘制单位斜坡输入
grid;
axis([0,20,0,100]);
结果如图6所示。
2.3.2稳态误差的分析与计算
根据MATLAB所绘制的图可以看出,单位加速度输入和单位加速度响应的曲线之间的差变得越来越大。
也就是说,系统在单位加速度输入时的稳态误差是∞。
图6单位加速度响应曲线
由理论分析:
此系统是Ⅰ型系统,根据稳态误差的公式,化简得到下式:
(7)
而此时静态加速度误差系数Ka=0,因此,稳态误差ess=∞。
与绘制的图得到的结果一致。
3高阶系统的离散化
3.1系统离散化
标准的带有采样开关和零阶保持器的系统结构图如图7所示。
当其中没有采样开关和零阶保持器时,则成为连续系统,这种情况在上节已经分析过。
当它只含有采样器而没有零阶保持器时,求其闭环脉冲传递函数。
根据图示可得:
C(s)=GP(s)E*(s)(8)
考虑到
E(s)=R(s)-C(s)=R(s)-GP(s)E*(s)(9)
离散化后,有
E*(s)=R*(s)-GP*(s)E*(s)(10)
即
E*(s)=
(11)
所以,输出信号的采样拉氏变换
C*(s)=GP*(s)E*(s)=
(12)
由上节得到的C*(s),对其进行z变换,得到
C(z)=
(13)
即闭环脉冲传递函数
Φ(z)=
(14)
若既有采样器又有零阶保持器,则此时开环脉冲传递函数为
G(z)=(1-z-1)Z[GP(s)/s](15)
其闭环脉冲传递函数
Φ(z)=
(16)
根据上节的开环传递函数GP(s)=
编制MATLAB程序如下所示:
r(t)c(t)
-
图7离散系统
num=[1260];
den=[11032480];
T=1;
[numz,denz]=c2dm(num,den,T,'zoh');
g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1);
y=dstep(g.num,g.den);
t=0:
length(y)-1;
ab=plot(t,y,'bo');
set(ab,'linewidth',1.5);
holdon;
[numz,denz]=c2dm(num,den,T,'imp');
g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1);
y=dstep(g.num,g.den);
t=0:
length(y)-1;
ab=plot(t,y,'r+');
set(ab,'linewidth',1.5);
holdon;
t=0:
0.001:
25;
g=feedback(tf(num,den),1,-1);
y=step(g,t);
ab=plot(t,y,'k-');
set(ab,'linewidth',1.5);
xlabel('t'),ylabel('h(t)');
grid;
运行结果如图8所示。
3.2闭环脉冲传递函数
在只有采样开关而没有零阶保持器的情况下,由上节得到的闭环脉冲传递函数为
Φ(z)=
,先根据开环传递函数GP(s)求出其Z变换,带入即可求出闭环脉冲传递函数。
图8连续与离散系统时间响应曲线
根据题目所给的开环传递函数GP(s)=
将使系统稳定的值K=12,
a=6,b=5代入得到
GP(s)
其极点是0,-6,-2+i,-2-i,零点为5,使用MATLAB编制程序,求出GP(s)的z变换。
程序如下:
[num,den]=zp2tf([-5],[0,-6,-2+2i,-2-2i],[12])
h=tf(num,den)
hd=c2d(h,0.1,'tustin')
运行结果如下所示:
num=
0001260
den=
11032480
Transferfunction:
12s+60
----------------------------
s^4+10s^3+32s^2+48s
Transferfunction:
0.001182z^4+0.002837z^3+0.001419z^2-0.0009458z-0.0007093
--------------------------------------------------------------------
z^4-3.145z^3+3.682z^2-1.899z+0.3619
Samplingtime:
0.1
由此得出GP(z),根据公式(14),Φ(z)=
把GP(z)代入求出
Φ(z)=[0.001182z^4+0.002837z^3+0.001419z^2-0.0009458z-0.0007093]/[1.001182z^4–3.11663z^3+3.683419z^2–1.8999458z^+0.3611907]
当既有采样器又有零阶保持器时,由公式(15)得到的开环脉冲传递函数为
G(z)=(1-z-1)Z[GP(s)/s],利用MATLAB求出Z[GP(s)/s],程序如下:
[num,den]=zp2tf([-5],[0,0,-6,-2+2i,-2-2i],[12])
h=tf(num,den)
hd=c2d(h,0.1,'tustin')
z=tf('z')
aaa=(1-z^-1)*hd
运行结果是:
num=
00001260
den=
110324800
Transferfunction:
12s+60
------------------------------
s^5+10s^4+32s^3+48s^2
Transferfunction:
5.911e-005z^5+0.000201z^4+0.0002128z^3+2.364e-005z^2-8.276e-005z-3.547e-005
-----------------------------------------------------------------------------
z^5-4.145z^4+6.827z^3-5.581z^2+2.261z-0.3619
Samplingtime:
0.1
根据公式(15)算出其开环脉冲传递函数G(z)=[5.911e-005z^6+0.0001419z^5+1.182e-005z^4-0.0001892z^3-0.0001064z^2+4.729e-005z+3.547e-005]/[z^6-4.145z^5+6.827z^4-5.581z^3+2.261z^2-0.3619z]。
根据公式(16),求出其闭环脉冲传递函数Φ(z)=[5.911e-005z^6+0.0001419z^5+1.182e-005z^4-0.0001892z^3-0.0001064z^2+4.729e-005z+3.547e-005]/[z^6-4.145z^5+6.827z^4-5.581z^3+2.261z^2-0.3619z+3.547e-005]。
4小结
终于,我的设计完成了。
这一刻不仅有着高兴,更多的是激动。
一次一次的走进图书馆查阅资料,一次一次的仿真实验,一次一次的计算参数,修改数值,在失败了无数次后,终于成功了。
自己的努力也终于得到了回报。
看着自己的课设成果,真的很有成就感。
通过本次课程设计,我得到了以往不曾有过的体会与经验。
首先,将自己学到的理论知识通过本次课程设计应用到了实际生活当中,提高了自己学习专业课程的兴趣。
其次,加深了自己对于相关课程基础知识与基本理论的理解和掌握,学会了综合运用所学知识的能力。
最后,懂得了如何去发现问题,解决问题,如何去获得经验。
作为一名普通的大学生,这些都是以后走上工作岗位的最基本技能,对于我们这些以前只知道应试教育的学生来说无疑敲响了警钟,但也提供了一个明确的前进方向。
在此次课程设计中,学会了查阅各种资料对于我来说也是一笔财富。
自动化行业的发展是十分迅速的,我们必须一直坚持不懈的努力,掌握学习新知识的能力与方法。
并刻意的去培养这方面的能力。
就像这次课程设计过程中,我不仅学会了如何使用MATLAB对自动控制系统进行频域分析,对连续时间系统进行离散化,更初步了解了MATLAB在自动控制领域的重要应用。
这些无论对于以后的学习还是工作都将成为自己宝贵的经验。
通过此次课程设计,我觉得自己真的得到了很多,也成长了很多。
最后,我要说的是,失败是成功之母,只要自己努力就会有收获。
感谢老师的指导。
参考文献:
[1]胡寿松.自动控制原理.第四版.北京:
科学出版社,2006
[2]肖诗松.计算机控制——基于MATLAB实现.北京:
清华大学出版社,2006
[3]吴麒.自动控制原理与系统.北京:
清华大学出版社,1980
[4]薛定宇.反馈控制系统设计与分析——MATLAB语言应用.北京:
清华大学出版社,2000
[5]胡寿松.自动控制原理习题解析.北京:
科学出版社,2007
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- 系统 分析 离散