1、高阶系统的频域分析及离散化目录1 利用MATLAB进行系统的频域分析.11.1 利用MATLAB绘制系统的波特图.11.1.1 绘制波特图.11.1.2 稳定裕度.21.1.3 截止频率.31.2 利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图.31.2.1 绘制奈奎斯特图.31.2.2 稳定性分析.32 控制系统的时域响应.52.1 单位阶跃响应及其稳态误差.52.1.1 利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线.52.1.2 稳态误差的分析与计算.62.2 单位斜坡响应及其稳态误差.62.2.1 利用MATLAB绘制单位斜坡响应曲线.62.2.2 稳态误差的分析与计算.62.3 单位加速度响应及其稳态误
2、差.72.3.1 利用MATLAB绘制单位加速度响应曲线.72.3.2 稳态误差的分析与计算.73 高阶系统的离散化.93.1 系统离散化.93.2 闭环脉冲传递函数.104 小结.14参考文献.15高阶系统的频域分析及离散化1 利用MATLAB进行系统的频域分析1.1 利用MATLAB绘制系统的波特图1.1.1 绘制波特图根据初始条件：单位反馈系统的开环传递函数是Gp= 当K=10，a=1,b=4时，变为Gp=则系统的闭环传递函数为 （s）= = (1)根据上述的开环传递函数，使用Matlab绘制其波特图，如图1所示：图1 使用bode命令绘制的波特图其MATLAB程序如下：num=10 4
3、0; %开环传递函数的分子den=conv(1 1 0,1 4 8); %开环传递函数的分母w=logspace(-2,2,100); %确定频率范围bode(num,den); %用bode命令绘图1.1.2 稳定裕度MATLAB提供的函数margin()可以确定系统的稳定裕度。针对于此题编写程序：num=10 40; %开环传递函数的分子den=conv(1 1 0,1 4 8); %开环传递函数的分母margin(num,den) %画波特图并计算幅值裕度和相角裕度使用此函数得到的曲线如图2所示。图2 使用margin命令绘制的波特图根据图示可以看出相角裕度=-194-（-180）=-1
4、4，幅值裕度h=3.56。1.1.3 截止频率根据上面所得到的波特图可以清楚的看出系统的截止频率c=2.11rad/s1.2 利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图1.2.1 绘制奈奎斯特图使用MATLAB提供的函数nyquist()绘制系统的奈奎斯特图，其程序如下：num=10 40; %开环传递函数的分子den=conv(1 1 0,1 4 8); %开环传递函数的分母nyquist(num,den); %利用nyquist()函数绘图v=-6 1 -10 10; axis(v) %指定图形的显示范围绘制出的奈奎斯特曲线如图3所示。图3 使用nyquist命令绘制的奈奎斯特图1.2.2 稳定
5、性分析根据上面所绘制的奈奎斯特图分析，由于开环系统没有右极点，即P=0，而奈奎斯特曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即R=-2，所以闭环系统的正实部极点数为Z=P-R=2，因此闭环系统不稳定。根据题目所给的开环传递函数，计算得出它的闭环特征方程是：s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+bK=0，列出其劳斯表如下所示：s4 1 8+4a bKs3 4+a 8a+K 0s2 bKs1 *(8a+K-(4+a)bK/ 0s0 bK令其首列为正数，得到以下不等式组：4+a0 （2）4a2+16a+32-K0 （3）*(8a+K) -(4+a)bK0 （4）bK0 （5）将其化简后得
6、到：取值a=6,b=5,K=12，经检验满足上述不等式组，即说明此时系统是稳定的。在以下题目中选取此组数据进行分析和计算。2 控制系统的时域响应2.1 单位阶跃响应及其稳态误差2.1.1 利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线根据上节稳定性的分析得知：取K=12，a=6，b=5时系统稳定。此时开环传递函数Gp=，求其闭环传递函数得： （s）=根据闭环传递函数编制MATLAB程序如下：num=12,60; %闭环传递函数的分子den=1,10,32,60,60; %闭环传递函数的分母sys=tf(num,den); %定义系统t=0:0.05:10;step(sys,t); %绘制单位阶跃响应gr
7、id;s=tf(s);hold onimpulse(1/s); %绘制单位阶跃输入grid;axis(0, 10,0,1.4); 图4 单位阶跃响应曲线单位阶跃输入及其响应曲线如图4所示。2.1.2 稳态误差的分析与计算根据绘制出的曲线可以明显的看出，当时间t时，单位阶跃输入以及单位阶跃响应均趋近于常值1，也就是说系统在单位阶跃输入时的稳态误差为0。由理论分析，题目所给系统为型系统，则其静态位置误差系数Kp=，根据单位阶跃作用下的稳态误差公式可知，稳态误差ess=0，与使用MATLAB所绘制出的曲线得到的结果一致。2.2 单位斜坡响应及其稳态误差2.2.1 利用MATLAB绘制单位斜坡响应曲线
8、已知其闭环传递函数，使用MATLAB绘制其单位斜坡输入及单位斜坡响应曲线，其程序如下所示。num=12,60; %闭环传递函数的分子den=1,10,32,60,60; %闭环传递函数的分母s=tf(s); sys=tf(num,den); %定义系统G1=sys/(s*s);impulse(G1); %绘制单位斜坡响应hold onimpulse(1/s2); %绘制单位斜坡输入gridaxis(0,5,0,5); 结果如图5所示。2.2.2 稳态误差的分析与计算在此控制系统中，根据绘制出的图可以看出，当时间t时，单位斜坡输入和单位斜坡响应之间的差值趋近于一个常数，这个常数即是其稳态误差。计
9、算出稳态误差ess大概为4.5-3.66=0.84。根据理论分析，用静态速度误差系数表示系统在斜坡输入作用下的稳态误差，将R（s）=1/s2带入稳态误差的求取公式得到： （6） 因为所给系统是型系统，其静态速度误差系数Kv=K=12。代入到上述公式中可求出ess=1/12=0.833。与使用MATLAB绘制出的曲线求的相一致。图5 单位斜坡响应曲线2.3 单位加速度斜坡响应及其稳态误差2.3.1 利用MATLAB绘制单位加速度斜坡响应曲线已知其闭环传递函数，使用MATLAB绘制其单位加速度输入及单位加速度响应曲线，其程序如下所示。num=12,60; %闭环传递函数的分子den=1,10,32
10、,60,60; %闭环传递函数的分母s=tf(s)sys=tf(num,den); %定义系统G1=sys/(s*s*s);impulse(G1); %绘制单位斜坡响应hold onimpulse(1/s3); %绘制单位斜坡输入grid;axis(0, 20,0,100);结果如图6所示。2.3.2 稳态误差的分析与计算根据MATLAB所绘制的图可以看出，单位加速度输入和单位加速度响应的曲线之间的差变得越来越大。也就是说，系统在单位加速度输入时的稳态误差是。图6 单位加速度响应曲线由理论分析：此系统是型系统，根据稳态误差的公式，化简得到下式： （7）而此时静态加速度误差系数Ka=0，因此，稳
11、态误差ess=。与绘制的图得到的结果一致。3 高阶系统的离散化3.1 系统离散化标准的带有采样开关和零阶保持器的系统结构图如图7所示。当其中没有采样开关和零阶保持器时，则成为连续系统，这种情况在上节已经分析过。当它只含有采样器而没有零阶保持器时，求其闭环脉冲传递函数。根据图示可得： C(s)=GP(s)E*(s) （8）考虑到 E（s）=R（s）-C（s）= R（s）- GP(s)E*(s) （9）离散化后，有 E*(s)= R*（s）- GP*(s)E*(s) （10）即 E*(s)= （11）所以，输出信号的采样拉氏变换 C*(s)= GP*(s)E*(s)= （12）由上节得到的C*(s
12、)，对其进行z变换，得到C(z)= （13）即闭环脉冲传递函数 （z）= （14）若既有采样器又有零阶保持器，则此时开环脉冲传递函数为G（z）=（1-z-1）ZGP(s)/s （15）其闭环脉冲传递函数 （z）= （16）根据上节的开环传递函数GP（s）=编制MATLAB程序如下所示：r（t） c（t） - 图7 离散系统num=12 60; den=1 10 32 48 0; T=1;numz,denz=c2dm(num,den,T,zoh); g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1);y=dstep(g.num,g.den);t=0:length(y)-1;ab=p
13、lot(t,y,bo); set(ab,linewidth,1.5); hold on;numz,denz=c2dm(num,den,T,imp);g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1); y=dstep(g.num,g.den); t=0:length(y)-1;ab=plot(t,y,r+);set(ab,linewidth,1.5); hold on;t=0:0.001:25; g=feedback(tf(num,den),1,-1);y=step(g,t); ab=plot(t,y,k-); set(ab,linewidth,1.5); xlabel(t),y
14、label(h(t);grid;运行结果如图8所示。3.2 闭环脉冲传递函数在只有采样开关而没有零阶保持器的情况下，由上节得到的闭环脉冲传递函数为（z）=，先根据开环传递函数GP(s)求出其Z变换，带入即可求出闭环脉冲传递函数。 图8 连续与离散系统时间响应曲线根据题目所给的开环传递函数GP（s）=将使系统稳定的值K=12，a=6，b=5代入得到GP（s）其极点是0，-6，-2+i，-2-i，零点为5，使用MATLAB编制程序，求出GP（s）的z变换。程序如下：num,den=zp2tf(-5,0,-6,-2+2i,-2-2i,12)h=tf(num,den)hd=c2d(h,0.1,tust
15、in)运行结果如下所示：num = 0 0 0 12 60den = 1 10 32 48 0Transfer function: 12 s + 60-s4 + 10 s3 + 32 s2 + 48 sTransfer function:0.001182 z4 + 0.002837 z3 + 0.001419 z2 - 0.0009458 z - 0.0007093-z4 - 3.145 z3 + 3.682 z2 - 1.899 z + 0.3619Sampling time: 0.1由此得出GP(z), 根据公式（14），（z）=把GP(z)代入求出（z）= 0.001182 z4 + 0
16、.002837 z3 + 0.001419 z2 - 0.0009458 z - 0.0007093/ 1.001182 z4 3.11663 z3+ 3.683419 z2 1.8999458 z + 0.3611907当既有采样器又有零阶保持器时，由公式（15）得到的开环脉冲传递函数为G（z）=（1-z-1）ZGP(s)/s，利用MATLAB求出ZGP(s)/s，程序如下： num,den=zp2tf(-5,0,0,-6,-2+2i,-2-2i,12)h=tf(num,den)hd=c2d(h,0.1,tustin)z=tf(z)aaa=(1-z-1)*hd运行结果是：num = 0 0
17、0 0 12 60den = 1 10 32 48 0 0Transfer function: 12 s + 60-s5 + 10 s4 + 32 s3 + 48 s2Transfer function:5.911e-005 z5 + 0.000201 z4 + 0.0002128 z3 + 2.364e-005 z2 - 8.276e-005 z - 3.547e-005- z5 - 4.145 z4 + 6.827 z3 - 5.581 z2 + 2.261 z - 0.3619 Sampling time: 0.1根据公式（15）算出其开环脉冲传递函数G（z）= 5.911e-005 z
18、6 + 0.0001419 z5 + 1.182e-005 z4 - 0.0001892 z3 - 0.0001064z2+4.729e-005z+ 3.547e-005/ z6 - 4.145 z5 + 6.827 z4 - 5.581 z3 + 2.261 z2 - 0.3619 z 。根据公式（16），求出其闭环脉冲传递函数（z）= 5.911e-005 z6 + 0.0001419 z5 + 1.182e-005 z4 - 0.0001892 z3 - 0.0001064z2+4.729e-005z+ 3.547e-005/ z6 - 4.145 z5 + 6.827 z4 - 5.5
19、81 z3 + 2.261 z2 - 0.3619 z + 3.547e-005。 4 小结终于，我的设计完成了。这一刻不仅有着高兴，更多的是激动。一次一次的走进图书馆查阅资料，一次一次的仿真实验，一次一次的计算参数，修改数值，在失败了无数次后，终于成功了。自己的努力也终于得到了回报。看着自己的课设成果，真的很有成就感。通过本次课程设计，我得到了以往不曾有过的体会与经验。首先，将自己学到的理论知识通过本次课程设计应用到了实际生活当中，提高了自己学习专业课程的兴趣。其次，加深了自己对于相关课程基础知识与基本理论的理解和掌握，学会了综合运用所学知识的能力。最后，懂得了如何去发现问题，解决问题，如何
20、去获得经验。作为一名普通的大学生，这些都是以后走上工作岗位的最基本技能，对于我们这些以前只知道应试教育的学生来说无疑敲响了警钟，但也提供了一个明确的前进方向。在此次课程设计中，学会了查阅各种资料对于我来说也是一笔财富。自动化行业的发展是十分迅速的，我们必须一直坚持不懈的努力，掌握学习新知识的能力与方法。并刻意的去培养这方面的能力。就像这次课程设计过程中，我不仅学会了如何使用MATLAB对自动控制系统进行频域分析，对连续时间系统进行离散化，更初步了解了MATLAB在自动控制领域的重要应用。这些无论对于以后的学习还是工作都将成为自己宝贵的经验。通过此次课程设计，我觉得自己真的得到了很多，也成长了很多。最后，我要说的是，失败是成功之母，只要自己努力就会有收获。感谢老师的指导。参考文献：1胡寿松.自动控制原理.第四版.北京:科学出版社,20062肖诗松.计算机控制基于MATLAB实现.北京:清华大学出版社,20063吴麒.自动控制原理与系统.北京:清华大学出版社,19804薛定宇.反馈控制系统设计与分析MATLAB语言应用.北京：清华大学出版社，20005胡寿松.自动控制原理习题解析.北京：科学出版社，2007Cross-terms suppression in Wigner-Ville distribution based on image processing
