高中数学同步题库含详解58基本不等式均值定理Word格式.docx
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④且,则必有
A.①②B.②④C.③④D.①③
20.某生产厂商更新设备,已知在未来年内,此设备所花费的各种费用总和(万元)与满足函数关系,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限为
21.已知,,均为正数,且,则的最小值为
22.某种汽车购买时的费用是万元,每年的保险费、养路费及汽油费合计为元;
汽车的维修费平均为:
第一年元,第二年元,第三年元,,依等差数列逐年递增.这种汽车使用报废最合算(即年平均费用最少).
A.年B.年C.年D.年
23.若,,且,则,,,中最大的一个是
24.当时,函数有
A.最小值B.最大值C.最小值D.最大值
25.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称药品,他先将的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;
然后又将的砝码放在右盘,将药品放在左盘使之平衡,则此学生实际所得药品
A.小于B.大于C.大于等于D.小于等于
26.某公司租地建仓库,每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比,如果在距离车站处建仓库,这两项费用分别为万元和万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站
27.已知,且,则的最大值为
28.设,则,,中最大的一个是
A.B.C.D.无法判断
29.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的质量,他将物体放在左、右托盘各称一次,两次称得结果分别为,.设物体的真实质量为,则
30.已知,,若不等式恒成立,则的最大值为
31.在下列函数中,最小值是的是
32.建造一个容积为,深为的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为元和元,那么水池的最低总造价为
33.已知,则有
A.最大值B.最小值C.最大值D.最小值
34.已知,,,则的最小值是
35.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润(单位:
万元)与营运年数为二次函数关系,如图.当每辆客车营运的年平均利润最大时,营运年数为
36.已知且,则的最小值为
37.有一长为的篱笆,要围一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为
38.把长为的铁丝截成两段,各自围成一个等边三角形,那么这两个等边三角形面积之和的最小值为
39.设,,且,则的最大值为
40.的最大值为
二、填空题(共40小题;
共202分)
41.若,则的最小值为
.
42.若,,,则的最大值为
43.几个重要的不等式
(1)④
,当且仅当时取等号.
(2),当且仅当时取等号.
(3),当且仅当时取等号.
(4)(,同号),当且仅当时取等号.
44.下列条件:
①,②,③,,④,,其中能使成立的条件的个数是
45.要挖一个面积为的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为,的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为
、宽为
46.若实数满足,则函数的最小值为
47.已知函数在时取得最小值,那么实数
48.如图所示的两种广告牌,其中①是由两个等腰直角三角形构成的,②是一个矩形,从图形上判断这两个广告牌的面积的大小关系,并将这种关系用含字母,的不等式表示出来
49.已知,均为正数,且是与的等差中项,则的最大值为
50.已知,是正数且,那么的最大值是
51.若实数,满足,则的最小值为
52.若,,且,则的最小值为
53.利用基本不等式求最值
已知,,则
(1)如果积是定值,那么当且仅当⑤
时,有⑥
值,是⑦
.(简记:
积定和最小)
(2)如果和是定值,那么当且仅当⑧
时,有⑨
值,是⑩
和定积最大)
54.若点在直线上,则的最小值为
55.某学校拟建一块周长为的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计为
米.
56.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:
,.
(2)等号成立的条件:
当且仅当①
时等号成立.
(3)其中②
称为正数,的算术平均数,③
称为正数,的几何平均数.
57.已知,,且,则,,,中最大的是
58.若,则的最小值为
59.若,,且,则,,,中最大的是
60.若,,是实数,则的最大值是
61.某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:
①生产单位试剂需要原料费元;
②支付所有职工的工资总额由元的基本工资和每生产单位试剂补贴元组成;
③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为单位,).设是生产每单位试剂的成本,则的最小值是
元.
62.若实数,满足,则的最小值是
63.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和,其全程的平均时速为,则,,的大小关系为
64.若,,则的最小值为
65.某公司一年购买某种货物吨,每次购买吨,运费为万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是
66.建造一个容积为,深为的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为元和元,则水池的最低总造价为
67.已知且,,.若以,,为三边构造三角形,则的取值范围是
68.若,则的最大值是
69.某商场的某种商品的年进货量为万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货量的一半来计算,每件元,为使一年的运费和租金最少,每次进货量应为
件.
70.已知,,那么的最小值为
71.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为元,若每批生产件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品
72.要制作一个长为,宽为(单位:
),高为的无盖长方体容器,容器的容量为.若该容器的底面造价是每平方米元,侧面造价是每平方米元,则当
时,该容器的总造价最低,最低造价为
73.一批救灾物资随辆汽车从某市以的速度直达灾区,已知两地公路线长,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于(车身长不计).从第一辆车出发开始计时,那么这批物资全部到达灾区最少需要
74.如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.那么炮的最大射程为
.
75.给出下列不等式的证明过程:
①若,,则;
②若,则;
③若,则;
④若,且,则.
其中证明过程错误的是
(填序号).
76.若的内角满足,则的最小值是
77.
(1)函数的最小值为
;
(2)已知函数,若,,则的取值范围是
(3)设,是方程的两个实根,则的最小值为
(4)已知,则的取值范围为
(5)已知,且,则的最小值为
(6)函数的最小值为
78.若正实数,满足,则的最大值为
79.设实数,,,,均不小于,且,则的最小值是
80.若,,则,,,的大小顺序为
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧内墙各保留宽的通道,沿前侧内墙保留宽的空地.当矩形温室内的边长各多少时?
蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少?
82.已知,求函数的最大值.
83.设,,是正实数,且,求的最小值.
84.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为元/米,中间两道隔墙建造单价为元/米,池底建造单价为元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
85.若,,,求证:
86.已知,,且.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
87.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为,四周空白的宽度为,两栏之间的中缝空间的宽度为,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:
),能使矩形广告面积最小?
88.已知,为正常数,且,.
(1)求证:
,并指出等号成立的条件;
(2)利用()的结论求函数的最小值,并指出取最小值时的值.
89.已知,求函数的最小值.
90.某森林出现火灾,火势正以\(100\{\mathrm{m}}^2\diagup\min\)的速度顺风蔓延,消防站接到警报后立即派消防队员前去,在火灾发生后到达救火现象.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人元,而烧毁森林损失费为元,则应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?
91.已知,,为正实数,且,证明:
92.经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为.
(1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到千辆/小时)
(2)若要求在该时间段内车流量超过千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
93.已知,.
(2)是否存在,,满足?
并说明理由.
94.某厂家拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元()满足(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是万件.已知年生产该产品的固定投入为万元,每生产一万件该产品需要再投入万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该厂家年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
95.已知实数,,均大于.
(2)若,求证:
96.某商场预计全年分批购入每台价值元的电视机共台,每批购入的台数相同,且每批均须付运费元,储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入台,则全年需用去运费和保管费元.现在全年只有元可用于支付运费和保管费,请问能否恰当安排每批进货的数量,使这元的资金够用?
写出你的结论,并说明理由.
97.设,,当取得最小值时,求的值.
98.一批救灾物资随辆汽车从某市以的速度匀速开往处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?
99.如图,某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和东北方向的公路上选取,两点,使环城公路在,间为直线段,要求路段与市中心的距离为,且使,间的距离最小.请你确定,两点的最佳位置(不要求作近似计算).
100.已知,且,求证:
(1);
(2).
答案
第一部分
1.D2.B3.C【解析】通解因为直线过点,
所以,
所以(当且仅当时取等号),
所以.又(当且仅当时取等号),
所以(当且仅当时取等号).
优解因为直线过点,
4.C【解析】因为和同号,所以.
5.C
6.B【解析】由题意得,,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值为.
7.D【解析】,
当且仅当时取等号.
8.C【解析】由余弦定理知.
9.D【解析】根据条件,当均小于时,选项不成立;
当时,选项A不成立;
因为,所以.
10.B
【解析】因为,,所以,.
11.C【解析】提示:
由题可得().
12.D【解析】由题意得,当且仅当时,等号成立,
所以,即.
13.C14.B15.C
16.B17.A【解析】仓库建在离车站处,
则土地费用,运输费用,
把,代人得,
故总费用,
当且仅当,
即时等号成立.
18.B【解析】因为,,
所以,,
又,即,
则,当且仅当,即,时等号成立.
19.B20.B
【解析】解法一,根据题意,得:
该设备所花费的年平均费用为,其中;
因为,
当且仅当,即时,取“”,
所以当时,该设备的年平均花费最低.
解法二,根据题意,得:
该设备所花费的年平均费用为,其中,
设,
解得或(不合题意,舍去),
当时,,
所以时,该设备的年平均花费最低.
21.C【解析】.
22.A【解析】年汽车的维修总费用为(万元),
年平均费用.
当且仅当,即时取等号.
23.D【解析】因为,,,
所以,.
所以四个数中最大的应从,中选择.
而.
又因为,,
所以,即,
所以最大.
24.B【解析】因为,
所以.
25.B
【解析】设左、右臂长分别为,,第一次称的药品为,第二次称的药品为,则有,,所以,即大于.
26.A【解析】设仓库到车站的距离为,有已知得,,则费用之和,当且仅当,即时等号成立.
27.B【解析】因为,
所以,当且仅当时等号成立.
28.C【解析】因为,所以,所以只需比较与的大小,因为,所以.因此最大.
29.C【解析】设天平左、右臂长分别是,,则,,两式相乘得,所以.由于,故,所以
30.B
【解析】因为,且,,所以,又(当且仅当时等号成立),所以,故的最大值为.
31.C32.B【解析】设水池底面一边长为,则另一边为,总造价,当且仅当,即时取等号.
33.C【解析】因为,所以,当且仅当,即时取等号.
所以有最大值.
34.B【解析】考察均值不等式,,整理得,即,又,所以,当且仅当时,取得等号.
35.C
【解析】提示:
,记年平均利润为,有,所以当时,每辆客车营运的年平均利润最大.
36.B【解析】因为,
所以
37.C38.D【解析】设长的铁丝分成的两段长分别为和,则围成的两个等边三角形的面积之和,
当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.
39.C【解析】因为,,,
所以,即,
所以.故的最大值为.
40.B
【解析】因为,所以,,则由基本不等式可知,,当且仅当时等号成立.
第二部分
41.
【解析】因为,由基本不等式,
知,
所以当且仅当,即时,取最小值.
42.
43.
44.
【解析】要使成立,需,即与同号,故①③④均能使成立.
45.,.
【解析】设鱼池的相邻两边长分别为,,则,所以
当且仅当,即,时,等号成立.
46.
【解析】因为,
当且仅当即时取等号,故答案为:
47.
【解析】由,且,得.
48.
【解析】设题图①中图形的面积为,题图②中图形的面积为.由题图,知.又因为,,所以.
49.
50.
【解析】
当且仅当,即,时,的最大值为.
51.
52.
53.,小,,,大,
54..
55.
【解析】设矩形的长为米,宽为米,
则由题意得,
则,当且仅当时,等号成立,
所以当矩形的面积最大时,矩形的长为米.
56.①,②,③
57.
【解析】因为,,且,
所以只要比较与的大小就可以了.
因为,,
所以是最大的.
58.
59.
60.
【解析】方法一:
因为,即,
方法二:
令,与联立消去,得,由于此方程有解,从而有,即,
方法三:
由于与代数式是对称的,根据对称极端性原理,当时取得最值,此时,从而,
61.
【解析】因为试剂总产量为单位,则由题意知原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,
则.
当且仅当,即时取等号,所以,
即生产每单位试剂的成本最低为元.
62.
【解析】由,得,从而,
当且仅当时等号成立.
63.
【解析】设甲、乙两地之间的距离为.因为,所以.
又,所以.
64.
【解析】,要取得最小值,则有,,即,当且仅当,即,时等号成立.
65.
66.
【解析】设池底的长和宽分别为,,则,,总造价(当且仅当时取等号).
67.
【
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