角的平分线的性质一等奖教案新人教版6.docx
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角的平分线的性质一等奖教案新人教版6
第十二章12.3角的平分线的性质
知识点1:
角平分线的作法
平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.
知识点2:
角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
关键提醒:
1. 性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.
2. 该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.
3. 使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角
平分线,二个垂直”缺一不可.
知识点3:
角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
关键提醒:
它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.
考点1:
利用角平分线条件求距离与角
【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点
P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .
答案:
4
点拨:
如图,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,则M、N、P三点共线.
∵ BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,
PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,
∴ PN=PE=PM(角平分线上的点到角两
边的距离相等).
∵ PE=2,∴ PM=P
N=2.
∴ MN=4.
考点2:
利用角平分线条件证明角或边相等
【例2】如图,在△ABC中,∠C=
90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
(1)C
F=EB;
(2)∠CBA+∠AFD=
180°.
证明:
(1)∵AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF=EB.
(2)由
(1)得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,
∴∠CBA+∠AFD=180°.
点拨:
欲证CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:
其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA转化成∠AFD的邻补角∠CFD即可.
考点3:
利用
角平分线条件证明线段的和差
【例3】如图
(1),已知AC
∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由.
(1)
(2)
解:
AB=AC+BD.理由如下:
如图
(2),在AB上截取AF=AC,连接EF.
在△ACE和△AFE中,
∴△ACE≌△AF
E(SAS).
⇒∠6=∠D.
在△EFB和△EDB中,
∴△EFB≌△EDB
(AAS),∴FB=DB.∴AC+BD=AF+FB=AB.
点拨:
欲证线
段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.
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