龙岩市中考数学试题及答案解析版.docx

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龙岩市中考数学试题及答案解析版

龙岩市2016年中考数学试题及答案解析版

2016年福建省龙岩市中考数学试卷　一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分1．（�2）3=（　　）A．�6B．6C．�8D．82．下列四个实数中最小的是（　　）A．B．2C．D．1.43．与是同类二次根式的是（　　）A．B．C．D．4．下列命题是假命题的是（　　）A．若|a|=|b|，则a=bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2�4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根5．如图所示正三棱柱的主视图是（　　）A．B．C．D．6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：

158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（　　）A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.37．反比例函数y=�的图象上有P1（x1，�2），P2（x2，�3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．49．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　）A．18个B．28个C．36个D．42个10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a�b+c|+|2a+b|=（　　）A．a+bB．a�2bC．a�bD．3a　二、填空题：

本大题共6小题，每小题3分，共18分11．因式分解：

a2�6a+9=　　　　　　．12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为　　　　　　．13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　　　　　．14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=　　　　　　°．15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=　　　　　　．16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　　　　　　．　三．解答题（本大题共9小题，共92题）17．计算：

．18．先化简再求值：

，其中x=2+．19．解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来．20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：

（1）参加复选的学生总人数为　　　　　　人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为　　　　　　°；

（2）补全条形统计图，并标明数据；（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：

①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件）n=50�x销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m=20+x

当21≤x≤30时，m=10+

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）这30天中第几天获得的利润最大？

最大利润是多少？

24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：

如图1，当DE∥BC时，有DB　　　　　　EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：

若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：

如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．25．已知抛物线y=�+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（�4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．　

2016年福建省龙岩市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分1．（�2）3=（　　）A．�6B．6C．�8D．8【考点】有理数的乘方．【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．【解答】解：

原式=�8，故选C　2．下列四个实数中最小的是（　　）A．B．2C．D．1.4【考点】实数大小比较．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：

根据实数比较大小的方法，可得1.4＜＜＜2，∴四个实数中最小的是1.4．故选：

D．　3．与是同类二次根式的是（　　）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：

A、与�的被开方数不同，故A错误；B、与�的被开方数不同，故B错误；C、与�的被开方数相同，故C正确；D、与�的被开方数不同，故D错误；故选：

C　4．下列命题是假命题的是（　　）A．若|a|=|b|，则a=bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2�4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：

A、若|a|=|b|，则a�b=0或a+b=0，故A错误；B、两直线平行，同位角相等，故B正确；C、对顶角相等，故C正确；D、若b2�4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；故选：

A．　5．如图所示正三棱柱的主视图是（　　）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：

如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．　6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：

158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（　　）A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.3【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误．【解答】解：

A、平均数为÷5=160，正确，故本选项不符合题意；B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；D、这组数据的方差是S2=[2+2×2+2+2]=28.8，错误，故本选项符合题意．故选D．　7．反比例函数y=�的图象上有P1（x1，�2），P2（x2，�3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：

∵反比例函数y=�的图象上有P1（x1，�2），P2（x2，�3）两点，∴每个分支上y随x的增大而增大，∵�2＞�3，∴x1＞x2，故选：

A．　8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．4【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【解答】解：

作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：

当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：

C．　9．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　）A．18个B．28个C．36个D．42个【考点】用样本估计总体．【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．【解答】解：

由题意可得，白球的个数大约为：

8÷�8≈28，故选B．　10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a�b+c|+|2a+b|=（　　）A．a+bB．a�2bC．a�bD．3a【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，�2a＜b＜0”，由此即可得出|a�b+c|=a�b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．【解答】解：

观察函数图象，发现：

图象过原点，c=0；抛物线开口向上，a＞0；抛物线的对称轴0＜�＜1，�2a＜b＜0．∴|a�b+c|=a�b，|2a+b|=2a+b，∴|a�b+c|+|2a+b|=a�b+2a+b=3a．故选D．　二、填空题：

本大题共6小题，每小题3分，共18分11．因式分解：

a2�6a+9=　（a�3）2　．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：

a2�6a+9=（a�3）2．　12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为　3.39×109　．【考点】科学记数法―表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：

3390000000=3.39×109，故答案为：

3.39×109　13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　\frac{{\sqrt{3}}}{2}　．【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【解答】解：

如图，，由勾股定理，得OA==2．sin∠1==，故答案为：

．　14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=　110　°．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，由折叠的性质得到∠4=∠5，即可得到结论．【解答】解：

∵AB∥CD，∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5==70°，∴∠2=110°，故答案为：

110°．　15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=　2　．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2　16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　π　．【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：

图形的变化类．【分析】

（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；

（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：

发现S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：

（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3�r，BD=4�r∴3�r+4+r=5，r==1∴S1=π×12=π

（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：

AD==，BD=5�=由

（1）得：

⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得：

CM==，MB=4�=由

（1）得：

⊙O的半径=，：

⊙E的半径==，：

⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：

π．　三．解答题（本大题共9小题，共92题）17．计算：

．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：

原式=2+3���3+1=1．　18．先化简再求值：

，其中x=2+．【考点】分式的化简求值．【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式乘法运算法则求出答案．【解答】解：

原式===x+2，当时，原式=2++2=4+．　19．解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．【解答】解：

由①得x≥4，由②得x＜1，∴原不等式组无解，　20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．【考点】切线的判定．【分析】

（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；

（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC2=AD•AB，即可得出结果．【解答】

（1）证明：

连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2=AD•AB=1×4=4，∴AC=2．　21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：

（1）参加复选的学生总人数为　25　人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为　72　°；

（2）补全条形统计图，并标明数据；（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．【分析】

（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参加复选的学生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以360°即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；

（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为25求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．【解答】解：

（1）由扇形统计图和条形统计图可得：

参加复选的学生总人数为：

（5+3）÷32%=25（人）；扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为：

×360°=72°．故答案为：

25，72；

（2）长跑项目的男生人数为：

25×12%�2=1，跳高项目的女生人数为：

25�3�2�1�2�5�3�4=5．如下图：

（3）∵复选中的跳高总人数为9人，跳高项目中的男生共有4人，∴跳高项目中男生被选中的概率=．　22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：

①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）【考点】作图―应用与设计作图；勾股定理的应用．【分析】

（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；

（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．【解答】解：

（1）根据图1可得：

，，CD=3∴A站到B站的路程=≈9.7；

（2）从A站到D站的路线图如下：

　23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件）n=50�x销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m=20+x

当21≤x≤30时，m=10+

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）这30天中第几天获得的利润最大？

最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．【分析】

（1）分两种情形分别代入解方程即可．

（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．【解答】解：

（1）分两种情况①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28经检验x=28是方程的解∴x=28答：

第10天或第28天时该商品为25元/件．

（2）分两种情况①当1≤x≤20时，y=（m�10）n=（20+x�10）（50�x）=�x2+15x+500，②当21≤x≤30时，y=（10+�10）（50�x）=综上所述：

（3）①当1≤x≤20时由y=�x2+15x+500=�（x�15）2+，∵a=�＜0，∴当x=15时，y最大值=，②当21≤x≤30时由y=�420，可知y随x的增大而减小∴当x=21时，y最大值=�420=580元∵∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．　24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：

如图1，当DE∥BC时，有DB　=　EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：

若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：

如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．【考点】几何变换综合题．【分析】

（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；

（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．【解答】解：

（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，

（2）成立．证明：

由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEA中，PE2=

（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．　25．已知抛物线y=�+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（�4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】

（1）因为抛物线经过点A（�4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=�（x+4）（x�1），展开即可解决问题．

（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．【解答】解：

（1）抛物线的解析式为y=�（x+4）（x�1），即y=�x2�x+2；

（2）存在．当x=0，y�T�x2�x+2=2，则C（0，2），∴OC=2，∵A（�4，0）