必修四任意角附答案.docx
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必修四任意角附答案
任意角
[学习目标] 1.结合实际问题,了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法.
知识点一 任意角的概念
(1)角的概念:
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
思考 经过1小时,时针转过多少度?
答案 -30°.
知识点二 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
思考 锐角属于第几象限角?
钝角又属于第几象限角?
答案 锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角.
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考1 下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴
{α|α=k·360°,k∈Z}
x轴负半轴
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
y轴正半轴
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴
{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
思考2 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α终边所在
的象限
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α 第二象限 {α|k·360°+90°<α 第三象限 {α|k·360°+180°<α 第四象限 {α|k·360°-90°<α 题型一 终边相同的角与象限角 例1 已知角α=2010°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. 解 (1)由2010°除以360°,得商为5,余数为210°. ∴取k=5,β=210°, α=5×360°+210°. 又β=210°是第三象限角, ∴α为第三象限角. (2)与2010°终边相同的角为 k·360°+2010°(k∈Z). 令-360°≤k·360°+2010°<720°(k∈Z), 解得-6 ≤k<-3 (k∈Z). 所以k=-6,-5,-4. 将k的值代入k·360°+2010°中,得角θ的值为-150°,210°,570°. 跟踪训练1 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°; (2)650°;(3)-950°15′. 解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 题型二 等分角所在象限的判断 例2 已知α是第二象限角,试确定2α, 的终边所在的位置. 解 因为α是第二象限角, 所以k·360°+90°<α 所以2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z, 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上. 因为k·360°+90°<α 所以k·180°+45°< 所以当k=2n,n∈Z时, n·360°+45°< 即 的终边在第一象限; 当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°< 即 的终边在第三象限. 所以 的终边在第一或第三象限. 跟踪训练2 已知α为第三象限角,则 所在的象限是( ) A.第一或第二象限B.第二或第三象限 C.第一或第三象限D.第二或第四象限 答案 D 解析 由于k·360°+180°<α 得 ·360°+90°< < ·360°+135°. 当k为偶数时, 为第二象限角; 当k为奇数时, 为第四象限角. 题型三 终边相同角的应用 例3 已知,如图所示, (1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}. 跟踪训练3 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合. 解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{α|k·360°+30°≤α ②{α|k·360°+210°≤α ∴角α的集合应当是集合①与②的并集: {α|k·360°+30°≤α ∪{α|k·360°+210°≤α ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α 已知角α所在象限,求 所在象限问题 例4 已知α是第一象限角,则角 的终边可能落在______.(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限 解析 ∵α是第一象限角, ∴k·360°<α ∴ ·360°< < ·360°+30°. 当k=3m,m∈Z时,m·360°< ∴角 的终边落在第一象限. 当k=3m+1,m∈Z时,m·360°+120°< ∴角 的终边落在第二象限. 当k=3m+2,m∈Z时,m·360°+240°< ∴角 的终边落在第三象限,故选①②③. 答案 ①②③ 1.-361°的终边落在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 2.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( ) A.A=BB.B=C C.A=CD.A=D 3.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是________________. 4.与-1692°终边相同的最大负角是________. 5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 一、选择题 1.若α=45°+k·180°(k∈Z),则α的终边在( ) A.第一或第三象限B.第二或第三象限 C.第二或第四象限D.第三或第四象限 2.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 3.与-460°角终边相同的角的集合是( ) A.{α|α=k·360°+460°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+100°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+260°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-260°,k∈Z} 4.给出下列四个命题: ①-75°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-315°角是第一象限角,其中真命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 5.以下命题正确的是( ) A.第二象限角比第一象限角大 B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则AB C.若k·360°<α D.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z) 6.集合M= ,P=x|x= ±90°,k∈Z,则M、P之间的关系为( ) A.M=PB.MPC.MPD.M∩P=∅ 二、填空题 7.已知角α=-3000°,则与角α终边相同的最小正角是________. 8.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________. 9.若α=1690°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________________. 10.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=________________. 三、解答题 11.如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合(用0°到360°间的角表示). 12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小. 13.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2s达到第三象限,经过14s后又回到了出发点A处,求θ. 当堂检测答案 1.答案 D 解析 因为-361°的终边和-1°的终边相同,所以它的终边落在第四象限,故为第四象限角,故选D. 2.答案 D 解析 直接根据角的分类进行求解,容易得到答案. 3.答案 195°+(-3)×360° 4.答案 -252° 解析 ∵-1692°=-5×360°+108°, ∴与108°终边相同的最大负角为-252°. 5.解 终边落在x轴上的角的集合: S1={β|β=k·180°,k∈Z}; 终边落在y轴上的角的集合: S2={β|β=k·180°+90°,k∈Z}; ∴终边落在坐标轴上的角的集合为: S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}∪{β|β=k·180°+90°,k∈Z} ={β|β=2k·90°或β=(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=n·90°,n∈Z}. 课时精练答案 一、选择题 1.答案 A 2.答案 C 解析 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 3.答案 C 解析 ∵-460°=-2×360°+260°, ∴-460°与角260°终边相同, ∴与-460°角终边相同的角的集合是 {α|α=k·360°+260°,k∈Z}. 4.答案 D 解析 -75°是第四象限角;225°是第三象限角;475°=360°+115°是第二象限角;-315°=-360°+45°是第一象限角,故①②③④全正确,选D. 5.答案 B 解析 A不正确,如-210°<30°. 在B中,当k=2n,k∈Z时,β=n·180°,n∈Z. ∴AB,∴B正确. 又C中,α为第一或第二象限角,或在y轴的非负半轴上, ∴C不正确.显然D不正确. 6.答案 B 解析 对集合M来说,x=(2k±1)·45°,即45°的奇数倍;对集合P来说,x=(k±2)·45°,即45°的倍数. 二、填空题 7.答案 240° 解析 ∵-3000°=-9×360°+240°, ∴与-3000°角终边相同的最小正角为240°. 8.答案 {α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z} 9.答案 -110°或250° 解析 ∵α=1690°=4×360°+250°, ∴θ=k·360°+250°,k∈Z, ∵-360°<θ<360°,∴k=-1或0. ∴θ=-110°或250°. 10.答案 {-126°,-36°,54°,144°} 解析 当k=-1时,α=-126°; 当k=0时,α=-36°; 当k=1时,α=54°; 当k=2时,α=144°. ∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°}. 三、解答题 11.解 终边落在y= x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在y= x(x≤0)上的角的集合是S={α|α=240°+k·360°,k∈Z}, 于是终边在y= x上角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z} ={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={α|α=60°+n·180°,n∈Z}. 12.解 由题意可知, α+β=-280°+k·360°,k∈Z, ∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°. 取k=1,得α+β=80°.① ∵α-β=670°+k·360°,k∈Z. ∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°. 取k=-2,得α-β=-50°.② 由①②,得α=15°,β=65°. 13.解 ∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ 则一定有k=0,于是90°<θ<135°. 又∵14θ=n·360°(n∈Z), ∴θ= ,从而90°< <135°, ∴ ,∴n=4或5.当n=4时,θ= ; 当n=5时,θ= .
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