学而思2011年暑假新四年级超常123班难题汇总.doc
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学而思2011年暑假新四年级超常123班难题汇总.doc
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学而思2011年暑假新四年级超常123班难题汇总
B
D
C
A
第一讲四边形中的基本图形
1、【例8】长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形,已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一个正方形的面积是多少平方厘米?
【难度级别】★★★★★
B
C
D
E
A
2、【学案2】在四边形ABCD中,线段BC长为6厘米,∠ABC=90°,∠BCD=135°,且点A到边CD的垂线段AE=12厘米,线段ED=5,求四边形ABCD的面积。
O
B
C
D
E
A
3、【学案3】等腰梯形ABCD中,交于O点的两条对角线互相垂直,三角形ECB是直角三角形,OC比AO长20厘米。
已知三角形ADE的面积是250平方厘米,
则梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
4、【学案4】一块边长为180厘米的正方形铁片,四角各被截去一个边长为40厘米的小正方形铁片,现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来,剪出的正方形面积最大为多少平方厘米?
5、【作业5】请仅用刻度尺画一个面积是5平方厘米的正方形,保留必要的作图痕迹。
第二讲乘法原理
6、【例7】1到1999的自然数中,有多少个与5678相加时,至少发生一次进位?
7、【例8】有______个四位数满足下列条件:
它的各位数字都是奇数,它的各位数字互不相同,它的每个数字都能整除它本身。
M
8、【学案1】计算机上编程序打印出前10000个正整数:
1,2,3,……,10000时,不幸打印机有毛病,每次打印数字3时,它都打印出x,问其中被错误打印的共有多少个数?
9、【学案4】有9张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张,标有数码“2”的有2张,标有数码“3”的有3张,标有数码“4”的有3张,把这9张圆形纸片如图所示放置在一起,但标有相同数码的纸片不许挨在一起。
(1)如果M处放标有数码“3”的纸片,一共有多少种不同的放置方法?
(2)如果M处放标有数码“2”的纸片,一共有多少种不同的放置方法?
10、【越玩越聪明】在例6的后面。
请利用类似方程的思想证明0.=1。
即:
已知:
x=0.,求证x=1。
第三讲相遇问题
11、【学案3】甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行,甲每分钟行70米,已每分钟行50米。
出发一段时间后,两人在据中点100米处相遇。
如果甲出发后在途中某地停留了一会儿,两人在据中点250米处相遇。
那么甲在途中停留了多少分钟?
12、【例6】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。
两人的上山速度都是20米/分,下山速度都是30米/分。
甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息30分钟后返回,两人在据山顶480米处再次相遇。
山道长多少米?
13、【越玩越聪明】在例6的后面,粗心的钟表匠小王师傅是钟表店的新职工,由于工作不安心,时常出问题。
有一次,他给学校修理一只大钟,竟然把长短针装配错了。
这样一来,短针走的速度变成了长针的12倍。
装配的时候是下午6点,他把短针指在“6”上,长针指在“12”上。
小王装好后,就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿7点,一会儿8点,十分奇怪,立刻派人去找小王师傅。
小王师傅在第二天上午7点多钟才来到,他掏出标准表一看,表和大钟的时间一样,说学校故意找他的麻烦,气乎乎地回家了。
小王走后,老师发觉大钟还是不对头,又通知小王来。
下午8点多,小王又来到学校,与标准表一对,仍旧准确无误。
请你想一想,小王第一次来校对表的时刻是上午7点几分?
第二次对表的时刻又是下午8点几分?
【小知识】word中循环小数的输入方法(之一):
按“Ctrl+F9”组合键,出现灰底的大括号,里面有光标在闪动,在这个大括号里面输入“eq\o(\s\up3(˙),X)”(不含双引号),最后按一下“Shift+F9”组合键,上面带圆点的这个X就打出来了。
把X换成任意数字,打出来的就是上面带圆点的这个数。
后注:
1.输入“eq\o(\s\up3(˙),X)”时应在英语输入状态下输入。
2.eq后面有一个空格。
3.如果你在调整字体大小后认为上面的这个圆点和这个X的距离不理想的话可改变域代码式“eq\o(\s\up3(˙),X)”中up后面的数字3,该数字越大距离越远。
第四讲追及问题
本讲有几道难题。
14、【例4】甲、乙两车从A地开往B地分别需要用10个小时和15个小时,若乙车先出发3小时,则甲车出发______小时后能追上乙车。
15、【学案2】自行车队出发12分钟后,通讯员骑摩托车去追他们,在据出发点9千米处追上了自行车队,然后通讯员立即返回出发点;随后又返回去追自行车队,再追上时离出发点18千米,求自行车队和摩托车的速度。
16、【例7】早晨,小张骑车从甲地出发到一睇。
下午1点,小王开车也从甲地出发,前往乙地。
下午2点时两人之间的距离是15千米,下午3点时,两人之间的距离还是15千米。
下午4点时小王到达乙地,晚上7点小张达到乙地。
小张是早晨______出发。
17、【例8】乌龟和兔子赛跑,同时同地出发,沿同一条路线前进,兔子每跑10分钟就要休息一次,第一次休息1分钟,第二次休息2分钟,第三次休息3分钟……乌龟一直不休息,兔子的速度是乌龟的2倍。
在开始跑步后的______分钟,乌龟第一次追上了兔子。
从开始跑步后的______分钟之后,乌龟一直在兔子前面。
18、【学案4】某城市东西路与南北路交汇于路口A,甲在路口A南边560米的B点,乙在路口A。
甲向北乙向东同时匀速行走,4分钟后二人据A的距离相等。
再继续行走24分钟后,二人据A的距离恰又相等。
问:
甲、乙二人的速度各是多少?
19、【补充题】这道题是老师补充的,是相遇问题,因第五讲讲解第四讲的作业时补充的,所以放到了这里。
甲、乙2人分别从A、B出发相向而行。
第一次,同时出发,5小时相遇。
第二次,甲提前1小时出发,在据中点37千米处相遇(相遇点离B点近)。
第三次,乙提前1小时出发,在据中点13千米处相遇(相遇点离B点近)。
求甲乙的速度差。
第五讲简单的统计
本讲只有1道难题。
20、【例8】下表是某户今年第一季度煤气用量及支付费用情况:
月份
用气量
煤气费
一月份
4立方米
4元
二月份
25立方米
14元
三月份
35立方米
19元
该市付煤气费的方法是:
煤气费=基本费+超额费+保险费,如果每月用气量不超过最低额度a立方米时,只付基本费3元和每户每月额定c保险费;如果每月用气量超过最低额度a立方米时,超过部分应按b元/立方米的标准付费,并知道保险费c不超过5元。
试根据以上提供的资料确定a,b,c的值。
第六讲定义新运算
21、【学案4】小明来到红毛族探险,看到下面几个红毛族的算式:
8×8=8,9×9×9=5,9×3=3,(93+8)×7=837。
老师告诉他,红毛族算术中所用的符号“+、-、×、÷、()、=”与我们算术中的意义相同,进位也是十进制,只是每个数字虽然与我们写法相同,但代表的数却不同。
请你按红毛族的算术规则,完成算式:
89×57=______。
22、【例7】定义a*b为a与b之间(包括a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数,例如:
7*14=(7+9+11+13)÷4=10,18*10=(18+16+14+12+10)÷5=14。
在算式口*(19*99)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立,那么所填的数是多少?
23、【例8】如有a#b新运算,a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数。
例如:
2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1。
如21#(21#x)=5,则x可以是______(x小于50)。
第七讲游戏与策略
这一讲应该说不算太难,但是或许是接触这方面的内容太少的缘故吧,感觉值得学习和借鉴。
本讲是博弈论的入门,而博弈论是经济学的范畴,我在这一讲里,领悟了很多哲理性的方法论。
例如:
①大自然是平衡的,保护平衡就可以胜利,破坏平衡就会失败;②寻找制胜点;③当无法找到胜利的方法时保证自己不输也是对策,保证了自己不输,最终的结果就是对方输;④增强自己或者削弱对手是两种很有意思的对策,有时增强自己可以获胜,但有时增强自己却无法获胜必须削弱对手才可以胜利。
这些方法在本讲的题目中都用到了,所以此讲的哲理性和方法论有点意思。
24、【作业1】甲乙二人轮流报数,报出的数只能是1~7的自然数。
同时把所报数一一累加起来,谁先使这个累加和达到80,谁就获胜。
问怎样才能确保获胜?
25、【学案3】15个小球围成一圈,甲、乙两人轮流从中取一个或者相邻的两个,如果两球中间有一个空位置,则不难将这两个球同时拿走,谁取走最后一个球谁就获胜,甲先拿,谁将获胜?
26、【作业6】100个“+”号排成一排,甲乙轮流将“+”号改成“-”号,每次只能改一个或相邻的两个,谁将最后一个“+”改成“-”,谁获胜,获胜的策略是什么?
27、【作业5】在一个6×5的棋盘上,甲乙二人轮流往棋盘的方格内放棋子。
甲先放第一枚棋子,乙只能在与这枚棋子所在格相邻的格内放棋子(相邻格指有公共边的两格)。
甲再放时又必须放在乙刚放的棋子的相邻格内,以后照此规则放。
谁无法放棋子时谁失败。
那么谁会有必胜的策略呢?
28、【例7】甲、乙两人轮流从1、2、3、…、100、101这101个自然数中每次划掉9个数,经过11次后,还剩下2个数。
如果甲第一个划数,请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之差是55?
并说明理由。
29、【例】甲、乙两人轮流报数,每人只能报2、3、5、7中的1个,把两人报的数累积。
如果某个人报完数后,累积的和第一次为三位数,那么这个人就获胜。
请问:
谁有必胜的策略?
30、【例8】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片,9张卡片分别写有:
1、3、4、5、6、7、8、9、10这几个数。
小兵和小强两人做游戏,轮流取一张卡片放在9格中的一格,小兵计算上下两行6个数的和,小强计算左右两列6个数的和,和数大的一方取胜,怎么才能获胜。
31、【学案4】在一个3×3的方格纸中,甲、乙两人轮流(甲先)往方格纸中填写1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中的一个,数不能重复。
最后甲的得分是不计中间行的上下两行6个数的和,乙的得分是不计中间列的左右两列6个数的和,得分多者为胜。
请你为甲找出一种必胜的策略。
32、【作业8】五角星上共有10个交点和15条小线段。
甲首先将一枚棋子放在A点上(其中的一个顶点),并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上,之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上,之后甲再走,……,如此下去。
如果要求每条线段都不能重复经过,并且轮到某人无路可走时便判其失败,那么甲是否有必胜的策略?
第八讲年龄问题进阶
33、【例6】今年祖父的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明年龄的5倍。
又过了几年后,祖父的年龄将是小明年龄的4倍。
求祖父今年是多少岁?
34、【学案3】一家四口今年的年龄和是96,他们当中有3人的年龄为完全平方数,15年后,他们当中还有三人的年龄是完全平方数,问他们今年的年龄各是多少?
35、【学案1】老陈家有几个儿子,老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍,而1年前,老陈的年龄是他得几个儿子年龄和的7倍。
4年后,老陈的年龄就只有他几个儿子年龄的2倍,那么老陈有几个儿子?
【学案4】梁老师问陈老师有多少子女,她说:
“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍;2年前,我们的年龄和是子女年龄和的10倍;6年后,我们的年龄和是子女年龄和的3倍。
”问陈老师有多少子女?
第九讲逻辑推理
(二)
本讲难题不多,但是需要掌握方法和要点。
36、【例5】某校数学竞赛,A、B、C、D、E、F、G、H这8位同学获得前8名。
老师让他们猜一下谁是第一名。
A说:
“F或者H是第一名。
”
B说:
“我是第一名。
”
C说:
“G是第一名。
”
D说:
“B不是第一名。
”
E说:
“A说的不对。
”
F说:
“我不是第一名,H也不是第一名。
”
G说:
“C不是第一名。
”
H说:
“我同意A的意见。
”
老师指出:
8个人中有3人猜对了。
问:
第一名是谁?
37、【例8】40根长度相同的火柴棍摆成下图,如果将每根火柴棍看成长度为1的线段,那么其中可以数出30个正方形来。
拿走5根火柴棍后,A、B、C、D、E5人分别作了如下的判断:
A:
“1×1的正方形还剩下5个。
”
B:
“2×2的正方形还剩下3个。
”
C:
“3×3的正方形全部保留下来了。
”
D:
“拿走的火柴棍所在直线各不相同。
”
E:
“拿走的火柴棍中有4根在一直线上。
”
已知这5人中恰有2人的判断错了,那么剩下的图形中还能数出___个正方形。
第十讲考试
考试题目不难,但是我们所在的超3班没有满分的,错误较多的集中在如下几题。
38、【解答题2】有5×5的25个小方格,要把4枚相同、1枚不同的硬币放在方格里,使得每行每列只出现一枚硬币,那么共有____种方法。
39、【解答题6】早上8点,甲、乙两人从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行,甲要去B地,而乙要去A地,中午12点,二人相距10千米,甲、乙二人在什么时间相遇?
40、【填空题4】甲、乙二人分别从相距30千米的A、B两地同时出发相向而行,并在A、B之间不停往返,甲每小时走6千米,乙每小时比甲慢2千米,问二人10小时一共遇到___次(追及和相遇都算)。
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