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非线性混沌电路实验报告
北京航空航天大学基础物理实验研究性报告
非线性电路中的混沌现象
作者:
第一作者39137125王鑫
第二作者39137123王庆
2011年5月16日
[摘要]
本实验一开始对串联谐振电路电感测量,搭建出串联谐振电路,通过改变其状态参数,观察到混沌的产生,周期运动,倍周期与分岔,单吸引子,双吸引子,奇异吸引子,并研究其费根鲍姆常数。
通过测量非线性电阻的I-U特性曲线,了解非线性电阻特性,
[关键词]
电感测量混沌现象有源非线性负阻串联谐振电路费根鲍姆常数
一、[引言]
1963年,美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中,给出了描述大气湍流的洛伦茨方程,并提出了著名的“蝴蝶效应”,从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。
非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后,20世界物理学的“第三次重大革命”。
由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识,形成了一种新的自然观,将深刻的影响人类的思维方法,并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
迄今为止,最丰富的混沌现象是非线性振荡电路中观察到的,这是因为电路可以精密元件控制,因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果,串联谐振电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路,它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。
本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理,借助串联谐振电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性。
通过本实验的学习扩展视野、活跃思维,以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。
二、[实验原理]
1、非线性电路与混沌
非线性电路如图1所示如。
它有一个非线性电阻R=1/g,它是一个有源非线性负阻元件,电感L与
组成一个损耗很小的振荡回路。
可变电阻1/G和电容C1构成移相电路。
最简单的非线性元件可以看作由三个分段线性的元件组成。
由于加在此元件上的电压增加时,其上面的电流减小,故称为非线性负阻元件。
负阻曲线的拟合见图2.其中非线性电阻是核心元件,是系统产生混沌的必要条件。
I
V
图1实验电路原理图
图2负阻曲线的拟合
由基尔霍夫结点电流定律可以得到串联谐振电路的非线性动力学方程:
式中,导纳G = 1/(Rv1 + Rv2),Vc1和Vc2分别表示加在C1和C2上的电压,iL表示流过电感器L的电流,g表示非线性电阻的导纳。
将电导值G取最小,同时用示波器观察Vc1~Vc2的李萨如图形。
它相当于由方程x=Vc1(t)和y=Vc2(t)消去时间变量得到的空间曲线,在非线性理论中这种曲线称为相图。
“相”的意思是运动状态,相图反应了运动状态的联系。
一开始系统存在短暂的稳定状态,示波器上的李萨如图形表现为一个光点。
随着G值的增加(电阻减小),李萨如图形表现为接近斜椭圆的图形(见图3).它表明系统开始自激振荡,其频率取决于电感与非线性电阻组成的回路特性。
无论是代表稳态的光点还是开始自己振荡的椭圆,都是系统经过一段暂态的终态。
示波器显示的是系统进入稳定后的相图。
实验和理论证明:
只要在各自的对应系统参数下,无论给什么样的激励条件,最终都将落到各自终态极上,故称他们为:
吸引子。
图3倍周期相图
继续增加电导,此时示波器屏幕上出现两个相交的椭圆,运动轨迹线从其中一个椭圆跑到另一个椭圆上。
他说明原先的一倍周期变成了2倍周期。
这在非线性理论中成为倍周期分岔。
它揭开了动力学进入混沌的序幕。
继续减小电导,一次出现4倍周期、8倍周期、16倍周期······与阵法混沌。
再减小电导值,出现3倍周期,随着1/G的值进一步减小,系统完全进入混沌区。
相点貌似无规则游荡不会重复已走过的路。
线圈的轨道本身是有界的,其极限集合呈现出奇特的形状,具有某种规律。
仍把这种解集称为吸引子,通常叫做奇异吸引子或混沌吸引子。
如图4.
图4混沌吸引子
混沌作为一个科学术语,它应该被这样描述。
混沌是一种运动状态,是确定性中出现的无规律性,其主要特征是动力学特性对初始条件的依赖性非常敏感。
一个混沌系统即使确定的又是不可预测的,也不能分解为两个子系统,通向混沌有三条主要途径:
倍周期分岔道路:
改变一些系统的参数,是系统周期加倍,知道丧失周期性,进入混沌;阵发性道路:
在非平衡的系统中,某些参数的变化达到某一临界值是,系统会表现出在时间行为上时而周期,时而混沌的状况,最终进入混沌;准周期道路:
有茹厄勒-塔根斯提出,由于某些参数的变化使得系统有不同频率的震荡相互耦合时,会产生一些新的频率,进而导致混沌。
另外还有湍流道路,剪切流转等产生混沌。
2、费根鲍姆常数
尽管混沌行为是一种类随机运动,但其步入混沌的过程在非线性系统中具有普适性。
一个完全确定的系统,即使非常简单,由于系统内部的非线性作用,同样具有内在的随机性,可以产生随机性的非周期运动。
在许多非线性系统中,既有周期运动,又有混沌运动。
费根鲍姆发现,一个动力学系统中分岔点处参量
收敛服从普适规律。
他指出,出现倍周期分岔预示着混沌的存在。
=4.6992016091029。
非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度,
,
越接近
,系统进入混沌就越快。
3、有源非线性负阻
一般的电阻器件是有线的正阻,即当电阻两端的电压升高时,电阻内的电流也会随之增加,并且i-v呈线性变化,所谓正阻,即I-U是正相关,i-v曲线的斜率
为正。
相对的有非线性的器件和负阻,有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时,电流减小,并且不是线性变化。
负阻只有在电路中有电流是才会产生,而正阻则不论有没有电流流过总是存在的,从功率意义上说,正阻在电路中消耗功率,是耗能元件;而负阻不但不消耗功率,反而向外界输出功率,是产能元件。
有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种,这里使用的是一种较简单的电路:
采用两个运算放大器(一个双运放TL082)和六个配置电阻来实现,其电路如图5所示,它的伏安特性曲线如图4所示。
由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响,只要知道它主要是一个负阻电路(元件),能输出电流维持LC2振荡器不断振荡,而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图5有源非线性负阻元件
三、[实验仪器]
本实验装置的核心是NCE-1非线性电路混沌试验仪,它由非线性电路混沌试验电路板、-15V--O--+l5V稳压电源、四位半数字电压表(0-20V,分辨率lmV)
图6
组成装在一个仪器箱内。
另外实验还需要电感测量盒、低频信号发生器、双踪示波器和电阻箱,电缆6根,三通一个。
实验电路板的原理如图6所示。
四、[实验内容]
1.串联谐振电路和电感的测量
电路掠去初始条件产生的暂态过程,只考虑电路的稳态振荡。
这时可采用复阻抗进行计算。
得出电感
2.倍周期分岔和混沌现象的观察
打开机箱、接好实验装置后,将电导G由最小逐步增大,粗调电位器RV1和细调电位器RV2,用示波器管察相图的变化。
要求记录2倍周期分岔、4倍周期分岔、阵法混沌、3倍周期、单吸引子、双吸引子现象及相应的VC1(t)和Vc2(t)的波形。
3.非线性电阻伏安特性的测量
可把有源非线性负阻元件看做一个黑盒子,用伏安法测量其伏安特性。
测量时把有源非线性负阻元件与移相器隔开,将电阻箱R0和有源非线性负阻元件并联,改变电阻箱的阻值R0用数字电压表测UR0,获得有源非线性负阻元件在U<0的伏安特性,做V-I关系图。
测量时注意实验点分布的合理选择。
五、[数据处理和实验分析]
1.计算电感L
本实验采用相位测量。
根据RLC谐振规律,当输入激励的频率
时,RLC串联电路将达到谐振,L和C的电压反相,在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得:
f=30.8kHz;实验仪器标示:
C=1.145nF
由此可得:
估算不确定度:
估计u(C)=0.005nF,u(f)=0.1kHz
则:
即
最终结果:
2.用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理:
(1)原始数据:
R
V
R
V
R
V
99999.9
-11.750
2056.1
-7.750
1750.3
-3.750
23499.9
-11.550
2047.2
-7.550
1722.3
-3.550
13199.9
-11.350
2037.8
-7.350
1692.1
-3.350
9099.9
-11.150
2028.1
-7.150
1659.3
-3.150
6899.9
-10.950
2018.0
-6.950
1623.0
-2.950
5529.9
-10.750
2007.3
-6.750
1584.0
-2.750
4589.9
-10.550
1996.0
-6.550
1541.1
-2.550
3900.9
-10.350
1984.3
-6.350
1494.3
-2.350
3380.9
-10.150
1971.9
-6.150
1442.3
-2.150
2970.9
-9.950
1958.8
-5.950
1385.1
-1.950
2643.9
-9.750
1945.0
-5.750
1322.5
-1.750
2379.9
-9.550
1930.5
-5.550
1306.6
-1.550
2172.9
-9.350
1915.1
-5.350
1305.1
-1.350
2110.9
-9.150
1898.9
-5.150
1303.0
-1.150
2103.7
-8.950
1881.6
-4.950
1299.9
-0.950
2096.3
-8.750
1863.1
-4.750
1295.3
-0.750
2088.8
-8.550
1843.5
-4.550
1287.5
-0.550
2081.0
-8.350
1822.6
-4.350
1270.9
-0.350
2073.0
-8.150
1800.2
-4.150
1212.9
-0.150
2064.7
-7.950
1776.1
-3.950
上表为实验记录的原始数据表,下表为数据处理时使用Excle计算的数据及结果。
U
R
I
线性方程参数k
线性方程参数b
-11.75
99999.9
0.0001175
0.001700033
0.020184371
-11.55
23499.9
0.000491491
-11.35
13199.9
0.000859855
-11.15
9099.9
0.001225288
-10.95
6899.9
0.00158698
-10.75
5529.9
0.001943977
-10.55
4589.9
0.002298525
-10.35
3900.9
0.002653234
-10.15
3380.9
0.003002159
-9.95
2970.9
0.003349153
-9.75
2643.9
0.003687734
-9.55
2379.9
0.004012774
-9.35
2172.9
0.004303005
-9.15
2110.9
0.004334644
-0.000407845
0.000609241
-8.95
2103.7
0.004254409
-8.75
2096.3
0.004174021
-8.55
2088.8
0.004093259
-8.35
2081
0.004012494
-8.15
2073
0.0039315
-7.95
2064.7
0.003850438
-7.75
2056.1
0.003769272
-7.55
2047.2
0.003687964
-7.35
2037.8
0.003606831
-7.15
2028.1
0.003525467
-6.95
2018.0
0.003444004
-6.75
2007.3
0.003362726
-6.55
1996.0
0.003281563
-6.35
1984.3
0.003200121
-6.15
1971.9
0.003118819
-5.95
1958.8
0.003037574
-5.75
1945.0
0.002956298
-5.55
1930.5
0.002874903
-5.35
1915.1
0.002793588
-5.15
1898.9
0.002712096
-4.95
1881.6
0.00263074
-4.75
1863.1
0.002549514
-4.55
1843.5
0.002468131
-4.35
1822.6
0.0023867
-4.15
1800.2
0.002305299
-3.95
1776.1
0.002223974
-3.75
1750.3
0.00214249
-3.55
1722.3
0.002061197
-3.35
1692.1
0.001979788
-3.15
1659.3
0.001898391
-2.95
1623.0
0.001817622
-2.75
1584.0
0.001736111
-2.55
1541.0
0.00165477
-2.35
1494.3
0.001572643
-2.15
1442.3
0.001490675
-1.95
1385.3
0.001407637
-1.75
1322.5
0.001323251
-1.55
1306.6
0.001186285
-0.000759008
9.76318E-06
-1.35
1305.1
0.001034403
-1.15
1303.0
0.000882579
-0.95
1299.9
0.000730825
-0.75
1295.3
0.000579016
-0.55
1287.5
0.000427184
-0.35
1270.9
0.000275395
-0.15
1212.9
0.000123671
(2)数据处理:
根据
可以得出流过电阻箱的电流,由回路KCL方程和KVL方程可知:
由此可得对应的
值。
对非线性负阻R1,将实验测得的每个(I,U)实验点均标注在坐标平面上,可得:
图中可以发现,(0.00433464,-9.150)和(0.00118629,-1.550)两个实验点是折线的拐点。
故我们在
、
、
这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。
经计算可得,三段线性回归的相关系数均非常接近1(r=0.99997),证明在区间内I-V线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。
将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线:
该图为根据计算绘出的I-U图,能清楚的看到拐点和变化关系。
3.观察混沌现象:
(1)一倍周期:
(2)两倍周期:
(3)四倍周期:
(4)单吸引子:
(5)三倍周期
(6)双吸引子:
六、[结论与建议]
1、混沌大体包含以下一些主要内容:
(1)系统进行着貌似无归律的运动,但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的;
(2)具体结果敏感地依赖初始条件,从而其长期行为具有不可测性;
(3)这种不可预测性并非由外界噪声引起的;
(4)系统长期行为具有某些全局和普适性的特征,这些特征与初始条件无关。
混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的,但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。
因为相点貌似无规律地游荡,不会重复已走过的路,但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走,类似“线圈”的轨道本身是有界的,显然其中有某些规律。
2、测量非线性电阻R时,把电感从电路中取出,这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。
将电阻箱R0和有源非线性负阻并联,改变电阻箱R0的电阻值,用数字电压表测URO,获得有源非线性负阻在U<0V时的伏安特性。
分段时,先将实验点画在坐标平面上,确定拐点的位置,然后分组进行一元线性回归拟合。
实验中使用的是U<0V时的伏安特性曲线,需要和原点对称,获得U>0V时的伏安特性曲线。
在本次实验中,初步了解了混沌的一些知识,并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。
在实验后,通过查阅相关资料了解到,20多年来,混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点,它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一,大大拓宽了人们的视野,加深了人类对客观世界的认识。
混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似,即都不可预测。
但和随机运动不同的是,混沌运动在动力学上是确定的,它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性,无论多小的扰动在长时间以后,也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
混沌现象是自然界中的普遍现象,天气变化就是一个典型的混沌运动。
而在人类的实际生活中,混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。
在实验中我通过观察现象,加深了对RLC电路谐振的理解,并了解到这种原理在测量领域中的应用。
同时,在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中,通过思考连线方法和测量方法,锻炼了实验的能力。
本实验通过对有源非线性电阻伏安特性曲线的测量,得出其伏安特性曲线性质,并通过调节串联谐振电路得到费根鲍姆常数近似值3.19697、3.5625,并得到混沌运动的各种状态。
最后通过对两个串联谐振电路的混沌同步,初步了解了同步、准同步和去同步。
建议:
在测量费根鲍姆常数时一定要尽量快,不要磨蹭,要不然得到的数据会与理论值相差很大
[参考文献]
《基础物理实验》(修订版)李朝荣等主编北京航空航天大学出版社
《近代物理实验补充讲义》熊俊主编北京师范大学出版社
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