系统的稳定性及其判定罗斯阵列Word格式.docx
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二、系统稳定性的判定
判断系统是否稳定,可以在时域中进行,也可以在s域中进行。
在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断,已如上所述。
下面研究如何从s域中判断。
1.从H(s)的极点[即D(s)=0的根]分布来判定
若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面,则系统是稳定的。
若H(s)在jω轴上有单阶极点分布,而其余的极点都位于s平面的左半开平面,则系统是临界稳定的。
若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面,则系统就是不稳定的;
若在jω轴上有重阶极点分布,则系统也是不稳定的。
2.用罗斯准则判定
用上述方法判定系统的稳定与否,必须先要求出H(s)的极点值。
但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时,此时要具体求得H(s)的极点就困难了。
所以必须寻求另外的方法。
其实,在判定系统的稳定性时,并不要求知道H(s)极点的具体数值,而是只需要知道H(s)极点的分布区域就可以了。
利用罗斯准则即可解决此问题。
罗斯判定准则的内容如下:
多项式D(s)的各项系数均为大于零的实常数;
多项式中无缺项(即s的幂从n到0,一项也不缺)。
这是系统为稳定的必要条件。
若多项式D(s)各项的系数均为正实常数,则对于二阶系统肯定是稳定的;
但若系统的阶数n>2时,系统是否稳定,还须排出如下的罗斯阵列。
设
则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行):
阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻,第3行及以后各行的元素按以下各式计算:
如法炮制地依次排列下去,共有(n+1)行,最后一行中将只留有一个不等于零的数字。
若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号,则H(s)的极点即全部位于s平面的左半开平面,系统就是稳定的;
若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同,则符号改变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H(s)极点的个数,因而系统就是不稳定的。
在排列罗斯阵列时,有时会出现如下的两种特殊情况:
(1)
阵列的第一列中出现数字为零的元素。
此时可用一个无穷小量ε(认为ε是正或负均可)来代替该零元素,这不影响所得结论的正确性。
(2)
阵列的某一行元素全部为零。
当D(s)=0的根中出现有共轭虚根
时,就会出现此种情况。
此时可利用前一行的数字构成一个辅助的s多项式P(s),然后将P(s)对s求导一次,再用该导数的系数组成新的一行,来代替全为零元素的行即可;
而辅助多项式P(s)=0的根就是H(s)极点的一部分。
例6-22
已知H(s)的分母D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。
试判断系统的稳定性。
解:
因D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下:
可见阵列中的第一列数字符号无变化,故该H(s)所描述的系统是稳定的,即H(s)的极点全部位于s平面的左半开平面上。
例6-23
已知
。
因
中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下:
可见阵列中的第一列数字符号有两次变化,即从+2变为-2,又从-2变为+21。
故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上,故该系统是不稳定的。
例6-24
试判断系统是否稳定。
因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系数均为大于零的实常数且无缺项,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下:
由于第3行的第一个元素为0,从而使第4行的第一个元素
成为(-∞),使阵列无法继续排列下去。
对于此种情况,可用一个任意小的正数
来代替第3行的第一个元素0,然后照上述方法继续排列下去。
在计算过程中可忽略含有
的项。
最后将发现,阵列第一列数字符号改变的次数将与ε无关。
按此种处理方法,继续完成上面的阵列:
可见阵列中第一列数字的符号有两次变化,即从
变为
又从
变为6。
故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上,故系统是不稳定的。
例6-25
可见第4行全为零元素。
处理此种情况的方法之一是:
以前一行的元素值构建一个s的多项式P(s),即
将式(6-41)对s求一阶导数,即
现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行(
行)的元素,然后再按原方法继续排列下去。
即
可见阵列中的第一列数字符号没有变化,故H(s)在s平面的右半开平面上无极点,因而系统肯定不是不稳定的。
但到底是稳定的还是临界稳定的,则还须进行下面的分析工作。
令
解之得两个纯虚数的极点:
这说明系统是临界稳定的。
实际上,若将D(s)分解因式,即为
可见H(s)共有4个极点:
位于
轴上;
,位于s平面的左半开平面。
故该系统是临界稳定的。
例6-26
图6-38所示系统。
试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。
图6-38
解之得
欲使此系统稳定的必要条件是
中的各项系数均为大于零的实常数,故应有K>-1。
但此条件并不是充分条件,还应进一步排出罗斯阵列如下:
可见,欲使该系统稳定,则必须有10K>0,即K>0。
若取K=0,则阵列中第三行的元素即全为0,此时系统即变为临界稳定(等幅振荡),其振荡频率可由辅助方程
求得为
即振荡角频率为
=
rad/s。
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- 系统 稳定性 及其 判定 罗斯 阵列