北师大版数学九年级下册第三章圆教学案Word下载.docx
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[训练案]
1、设AB=3cm,作图说明满足下列要求的图形:
〔1〕到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形;
〔2〕到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
2、正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作⊙A,则点B在⊙A;
点C在⊙A;
点D在⊙A。
3、已知⊙O的半径为5cm.
(1)若OP=3cm,那么点P与⊙O的位置关系是:
点P在⊙O;
(2)若OQ=cm,那么点Q与⊙O的位置关系是:
点Q在⊙O上;
(3)若OR=7cm,那么点R与⊙O的位置关系是:
点R在⊙O
[课堂小结]
通过本节课学习,你有哪些收获?
3.2圆的对称性
1、探索圆的对称性,能找出圆的对称轴。
2、能运用其对称性推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系。
在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系的推导。
运用在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系解决问题。
[旧知]
1、在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这样的图形叫做图形,这条直线叫做。
2、中心对称图形是
[自主学习]
1.通过对折圆,圆是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
〔自学课本P70--P72思考下列问题〕
由此得出:
2.一个圆绕它的圆心旋转1800,与原来的图形重合吗?
那旋转任意一个角度,还能与原图形重合吗?
3.认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念
(1)圆弧:
如图:
优弧:
〔2〕弦:
〔3〕直径:
[合作探究]
1、按照下列步骤进行小组活动:
⑴在两X透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O
⑵在⊙O和⊙O
中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠
,连接AB、
⑶将两X纸片叠在一起,使⊙O与⊙O
重合〔如图〕
⑷固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA与OA
重合
在操作的过程中,你有什么发现?
___________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦的关系,对于这三个量之间的关系,你还有什么思考?
你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?
3、圆心角、弧、弦之间的关系:
4、试一试:
如图,已知⊙O、⊙O
半径相等,AB、CD分别是⊙O、⊙O
的两条弦填空:
〔1〕若AB=CD,则,
〔2〕若AB=CD,则,
〔3〕若∠AOB=∠CO
D,则,
5、在圆心角、弧、弦这三个量中,角的大小可以用度数刻画,弦的大小可以用长度刻画,那么如何来刻画弧的大小呢?
弧的大小:
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
1、判断:
(1)直径是弦,弦是直径。
〔〕〔2〕、半圆是弧,弧是半圆。
〔〕
(3)周长相等的两个圆是等圆。
〔〕〔4〕、长度相等的两条弧是等弧。
〔〕(5)同一条弦所对的两条弧是等弧。
〔〕〔6〕、在同圆中,优弧一定比劣弧长。
3.一条弦把圆分成1:
3两部分,则劣弧所对的圆心角为________。
4.⊙O中,直径AB∥CD弦,
,则∠BOD=______。
5.在⊙O中,弦AB的长恰好等于半径,弦AB所对的圆心角为
3.3垂径定理〔选学〕
1、掌握垂径定理,并会应用垂径定理进行简单的计算;
2、掌握与垂径定理有关的推论,并能应用这一推论解决问题。
垂径定理的掌握与运用.
垂径定理的探索和证明
1、如图,AB是⊙O的;
CD是⊙O;
⊙O中优弧有;
劣弧有。
2.在圆或圆中,能够叫等弧。
1、用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径所在的直线对折,你发现了什么?
2、如图,AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)此图是轴对称图形吗?
如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些等量关系吗?
说一说你的理由。
垂径定理:
符号语言:
CD是⊙O的,AB是⊙O的,且CDAB与M。
=,=,=。
也可以表示为:
①CD是直径、AB是弦①
②
②CD⊥AB③
3、看下列图形,是否能使用垂径定理?
1、探索垂径定理的逆定理;
如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.利用圆纸片动手做一做,然后回答:
〔1〕右图是轴对称图形吗?
如果是,其对称轴是什么?
〔2〕你能发现图中有那些等量关系?
由此得出:
垂径定理的逆定理:
1、证明:
垂径定理。
2、如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
3.4圆周角与圆心角的关系
(1)
1、认识圆周角,经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,理解和掌握圆周角定理;
2.能应用圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆〞条件的理解与定理的证明。
1、圆心角的定义?
。
2、在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系:
[自主学习]〔自学、对学、探索圆周角的定义和特征〕
1、圆周角定义:
2判定下列各角哪些是圆周角?
3、圆周角特征:
角的顶点上,两边是圆的
圆心角特征:
角的顶点是,两边是圆的
1、
探究一条弧所对的圆周角与它所
对的圆心角之间的关系。
〔自学、对学、小组交流画出所有的情况进行分析〕
由此得出圆周角定理:
2、〔1〕如图,在⊙O中,∠BOC=50°
,则∠BAC
=
〔2〕如图,点A,B,C是⊙O上的三点,∠BAC=40°
,则∠BOC=
〔3〕如图,∠B
AC=40°
,则∠OBC=
3、〔思考与探索〕
〔1〕、如图,BC所对的圆心角有多少个?
BC所对的圆周角有多少个?
请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角。
〔2〕观察上图,在画出的无数个圆周角中,这些圆周角与圆心角有什么关系?
由此得出什么:
在同圆或等圆中,。
1、如图,点A、B、C、D在⊙O上,点A与点D在点B、C
所在直线的同侧,∠BAC=350
(1)∠BDC=_______°
理由是.
(2)∠BOC=_______°
2、如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=1
00°
,求∠BOD〔BCD所对的圆心角〕和∠BAD的大小。
3.4圆周角与圆心角的关系
(2)
掌握圆周角定理几个推论,会熟练运用推论解决问题.;
认识圆内接四边形,掌握圆内接四边形的性质。
圆周角定理几个推论的应用.
应用圆心角与圆周角的关系解决问题。
.
1.圆周角定理:
_____________________________________。
2.如图,∠BOC是角,∠BAC是角。
若∠BOC=80°
,∠BAC=。
第2题图
第3题图
3.如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠ABO=65°
,则∠BCA=〔〕
A.25°
B.32.5°
C.30°
D.45°
1.观察图②,BC是⊙O的直径,它所对所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角?
你是如何判断的?
观察图③,圆周角∠BAC=90°
,弦BC经过圆心吗?
为什么?
图②图③
直径所对的,
90°
的圆周角所对的弦是
2、探究一条弧所对的圆周角与它所
〔1〕如图1,A,B,C,D,是⊙O的四点,AC是⊙O的直径,请问∠BAD与∠BCD的之间有什么关系?
〔2〕如图2,点C的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD的之间的关系还成立吗?
图1图2
由此得出〔1〕圆内接四边形的定义:
圆内接四边形的性质1:
〔3〕如图,∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠A与∠DCE有什么关系?
为什么?
又得出:
圆内接四边形的性质2:
:
1.如图。
⊙O的直径AB=
10cm,C为⊙O上的一点,∠ABC=30°
,求AC的长。
2.在⊙O中,∠CBD=30°
∠BDC=20°
求∠A
3.5确定圆的条件
掌握确定一个圆的条件,能画出三角形的外接圆;
会求特殊三角形的外接圆的半径。
理解三角形的外接圆,三角形的外心,圆的内接三角形的概念,用尺规作三角形的外接圆。
根据三角形外接圆的作法确定圆心。
1、过一点可以作几条直线?
2、过几点可确定一条直线?
1、经过一点A是否可以作圆?
如果能作,可以作几个?
(作出图形)
2、经过两个点A、B是否可以作圆?
〔据分析作出图形〕
3、经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个?
4、经过三点一定就能够作圆吗?
若能作出,若不能,说明理由.
归纳结论:
1、已知:
不在同一直线上的三点A、B、C,求作:
⊙O使它经过点A、B、C〔要求用尺规作图,写出作法〕
2、由上述得出:
三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。
3、小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A、B、C(如图),使AB=BC.并测量得:
AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下,就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么?
1、按图填空:
〔1〕
是⊙O的_________三角形;
〔2〕⊙O是
的_________圆,
2、判断题:
〔1〕经过三点一定可以作圆;
〔
〕
〔2〕任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;
〔3〕任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;
〔4〕三角形的外心是三角形三边中线的交点;
〔5〕三角形的外心到三角形各项点距离相等.〔
3、一个三角形能画个外接圆,一个圆中有个内接三角形。
4、在Rt△ABC中,∠C=90°
,若AC=6,BC=8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
3.6直线与圆的位置关系〔1〕
理解直线和圆的三种位置关系:
相交,相离,相切;
掌握切线的概念,会正确判断直线和圆的位置关系。
理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题。
1、三角形的外接圆定义:
2、三角形的外心
3、圆的内接三角形
4、确定一个圆的条件:
1、学生操作,请你画一个圆,上、下移动直尺。
思考:
在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化?
请你描述这种变化。
并画出图形。
2、讨论后并填空:
①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化?
直线与圆有____种位置关系:
▲直线与圆有两个公共点时,叫做_______。
▲直线与圆有惟一公共点时,叫做____,这条直线叫做这个公共点叫做_
▲直线和圆没有公共点时,叫做________________。
3、下图是直线与圆的三种位置关系,请观察垂足D与⊙O的三种位置关系,说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。
4、探索:
若⊙O半径为r,O到直线l的距离为d,则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系:
①直线与圆dr,
②直线与圆dr,
③直线与圆dr。
1、在△ABC中,∠A=45°
,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?
〔1〕r=2
(2)r=2
(3)r=3
2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm。
〔1〕以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
〔2〕以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
1、在△ABC中,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,
〔1〕若以C为圆心,2cm长为半径画⊙C,则直线AB与⊙C的位置关系如何?
〔2〕若直线AB与半径为r的⊙C相切,求r的值。
〔3〕若直线AB与半径为r的⊙C相交,试求r的取值X围。
2、圆O的直径4,圆心O到直线L的距离为3,则直线L与圆O的位置关系是〔〕
〔A〕相离〔B〕相切〔C〕相交〔D〕相切或相交
3、直线
上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,则直线
与⊙O的位置关系是〔〕
〔A〕相切〔B〕相交〔C〕相离〔D〕相切或相交
4、已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm,以点C为圆心,半径分别为2cm和4cm画两圆,这两个圆与AB有怎样的位置关系?
当半径多长时,AB与⊙C相切?
通过本节课学习,你有哪些收获
课题3.6直线与圆的位置关系〔2〕
1.探索切线与过切点的半径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;
2.掌握三角形的内切圆的概念,知道三角形的内心,会做三角形的内切圆。
[学习重难点]
探索圆的切线的判定方法。
直线与圆的判定性质的应用。
[学法指导]
1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。
2.认真完成教学案的问题,并把自己的疑问写出来,最后小组交流并解决。
[旧知回顾]
1、三角形的外心:
2、角平分线的性质定理:
3、切线的性质定理:
4、直线与圆的位置关系有哪几种?
5、判断直线和圆的位置关系有哪些方法?
特别地,判断直线与圆相切有哪些方法?
[自主学习]
1、探索直线与圆相切的另一个判定方法
如图,AB是⊙O的直径,直线
经过点A,
与AB的夹角为∠α,当
绕点A顺时针旋转时,
〔1〕随着∠α的变化,点O到直线的
距离d如何变化?
直线l与⊙O
的位置关系如何变化?
〔2〕当∠α等于多少度时,点O到直线
的距离d等于半径r?
直线
与⊙O有怎样的位置关系?
由此得出,圆的切线判定另一种方法:
2、已知⊙O上有一点A,过点A画⊙O的切线。
1、已知△ABC,求作⊙O,使它与△ABC的三边都相切?
写出作法。
三角形内切圆的定义:
三角形的内心:
这个三角形叫做圆的
2.如图,AB、CD与半圆O切于A、D,BC切⊙O于点E,
若AB=4,CD=9,求⊙O的半径。
1、在△ABC中,∠C=900,I是△ABC的内心,则∠AIC=1200,则∠AIB=0,
∠BAC=0,∠ABC=0.
2、已知直角三角形两直角边长为5、12,则它的外接圆半径R=,内切圆半径r=.
3、如图,已知PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,∠P=600,AB=4
,求∠C的度数和⊙O的半径.
本节中你有什么收获?
课题:
3.7切线长定理〔选学〕
1、了解切线长的概念;
2、理解切线长定理,掌握它的应用.
切线长定理的理解。
切线长定理的应用。
1、什么是圆的切线?
2、过圆外一点可引这个圆几条切线?
[自主学习]〔自学、对学、教材P94---P95,思考下列问题〕
1.你知道什么是切线长吗?
切线长和切线有区别吗?
区别在哪里?
经过圆外一点做圆的切线,这点和之间的叫做切线长。
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的_________相等,这一点和圆心的连线平分__________________.
2、如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线.A、B是切点。
求证:
PA=PB,∠OPA=∠OPB.
1、四边形ABCD的四条边都与⊙O相切,图中的线段之间都有哪些等量关系?
2、如图,在ΔABC中,AB=5
,BC=7
,AC=8
,⊙O和BC、AC、AB分别相切于D、E、F,求AF、BD和CE的长。
A
1、如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,若PB=12,PO=13,则AO=_________.
2.如图,PA,PB分别为⊙O为的切线,PA=3cm,∠APB=60°
,则PB=_________.
3.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知PA=7cm,则△PCD的周长是多少?
第1、2题
第3题
3.8圆内接多边形
1.理解圆内接正多边形的概念;
掌握正多边形和圆中的半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
2.会应用多边形和圆的有关知识画多边形
[学习重难点]
讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
通过例题使学生理解四者:
正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
1、正多边形的概念:
2、请同学们自己举出一些正多边形。
3、矩形,菱形是正多边形吗?
[自主学习]〔自学、对学、教材P97---P98,思考下列问题〕
1、正多边形与圆的关系非常密切。
只要把一个圆分成的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形。
我们把顶点都在叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做正多边形的。
这个多边形叫做圆的。
叫正多边形的中心;
叫正多边形的半径;
叫正多边形的中心角;
叫正多边形的边心距。
2、做一做
〔1〕正方形ABCD的外接圆圆心叫做正方形ABCD的。
〔2〕正方形ABCD的内切圆圆O的半径OE叫做正方形的。
〔3〕若正六边形的边长是1,那么它的中心角是度,半径是,边心距是,它的每一个内角是度,每一个外角是度。
〔4〕正多边形的外角度数与它的中心角的度数。
1、〔1〕用尺规作一个已知圆的内接正六边形。
〔2〕再用尺规作一个已知圆的内接四边形。
3、有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
1.若正多边形的边心距与边长之比是1∶2则这个正多边形的边数是。
2.正三角形ABC的边心距∶半径∶高等于。
3.一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为。
4.正方形ABCD的对角线的长与它的边长之比是。
5.四边形ABCD为⊙O的内接梯形,如图所示,AB∥CD,且CD为直径,如果⊙O的半径等于r,∠C=60°
,那图中△OAB的边长AB是;
△ODA的周长是;
∠BOC的度数是。
6.如图所示,已知⊙O的周长等于6
cm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
第5题第6题
3.9弧长与扇形的面积
1、了解扇形的概念,理解n°
的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.
2、通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°
的圆心角所对的弧长L=
和扇形面积
S扇=
的计算公式,并能熟练的运用公式解题。
弧长与扇形面积公式的推导。
弧长与扇形面积公式的应用。
1.圆的周长公式是。
2.圆的面积公式是。
3.什么叫弧长?
[自主学习]〔自学P100----P101思考下列问题〕
1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.
1°
的圆心角所对的弧长是_______。
2°
4°
……
n°
2、什么叫扇形?
3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积;
设圆的半径为R,1°
的圆心角所对的扇形面积S
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