全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形矩形.docx
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全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形矩形
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
1.(天津)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
Q
图①
解:
(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t
根据勾股定理,OP2=OB2+BP2
即(2t)2=62+t2,解得t=2(t=-2舍去).
∴点P的坐标为(2,6)
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC
Q
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180
°,∴∠OPB+∠QPC=90°
∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ
又∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴=
由题设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m
∴=,∴m=t2-t+6(0<t<11)
(Ⅲ)点P的坐标为(,6)或(,6)
H
提示:
过点P作PH⊥OA于H
易证△PC′H∽△C′QA,∴=
∵PC′=PC=11-t,PH=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m
∴AC′==
∴=
∵=,即=
∴=,∴36-12m=t2,即12m=36-t2
又m=t2-t+6,即12m=2t2-22t+72
∴2t2-22t+72=36-t2,即3t2-22t+36=0
解得:
t=
∴点P的坐标为(,6)或(,6)
2.(天津模拟)如图,在梯形ABCO中,A(0,2),B(4,2),点C为x轴正半轴上一动点,M为线段BC中点.
(1)设C(x,0),S△AOM=y,求y与x的函数关系式;
(2)如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切,求点C的坐标;
(2)连接OB交线段AM于N,如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似,求直线CN的解析式.
y
解:
(1)取OA中点D,连接DM
则DM=(AB+OC)=(4+x)=x+2
∴y=OA·DM=×2×(x+2)=x+2
即y=x+2
(2)设⊙M的半径为r,⊙M与AB交于点E,连接CE
N
则∠BEC=90°,OC=AE=x,BE=4-x,CE=2
在Rt△BCE中,(4-x)2+22=(2r)2①
又DM=1+r=②
由①、②解得x=
∴点C的坐标为(,0)
(3)延长AM交x轴于点F
则△CMF≌△BMA,∴CF=AB=4,OF=x+4
∵AB∥OF,△ANB∽△FNO,∴==
∴AN=AF==
∵DM⊥OA,AD=OD,∴AM=OM
∴∠DAM=∠DOM,∴∠BAN=∠MOC
F
①若=,则△ABN∽△OMC
于是=
整理得:
x2+8x-20=0,解得:
x1=-10(舍去),x2=2
∴C(2,0),F(6,0)
可得直线AF的解析式为y=-x+2,直线OB的解析式为y=x
由解得∴N(,)
F
设直线CN的解析式为y=kx+b,则:
解得
∴直线CN的解析式为y=3x-6
②若=,则△ABN∽△OCM
于是=
整理得:
x+8=2x,解得:
x=8
∴C(8,0),F(12,0)
可得直线AF的解析式为y=-x+2,直线OB的解析式为y=x
由解得∴N(3,)
设直线CN的解析式为y=k′x+b′,则:
解得
∴直线CN的解析式为y=-x+
3.(上海模拟)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点(与A、B不重合),EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.
(1)如图1,当点H与点F重合时,求BE的长;
(2)如图2,当点H在线段FD上时,设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时,求线段DN的长.
D
(H)
图2
解:
(1)∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90°
∵∠AEH=∠BEC,∴∠BEC=45°
∵∠B=90°,∴BE=BC
∵BC=3,∴BE=3
G
(2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G
∴BE=CG
∵AB∥CN,∴∠AEH=∠N,∠BEC=∠ECN
∵∠AEH=∠BEC,∴∠N=∠ECN,∴EN=EC
∴CN=2CG=2BE
∵BE=x,DN=y,CD=AB=4
∴y=2x-4(2≤x≤3)
(3)∵∠A=90°,∴∠AFE+∠AEF=90°
∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90°
∴∠AFE=∠BEC,∴∠HFE=∠AEC
E
C
C
当△FHE与△AEC相似时
①若∠FHE=∠EAC
∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC
∴∠FHE=∠ECB,∴∠EAC=∠ECB
∴tan∠EAC=tan∠ECB,∴=
∴=,∴BE=,∴DN=
②若∠FHE=∠ECA,作EG⊥CN于G,交AC于O
O
∵EN=EC,EG⊥CN,∴∠1=∠2
∵AH∥EG,∴∠FHE=∠1,∴∠FHE=∠2
∴∠2=∠ECA,∴OE=OC
设OE=OC=3k,则AE=4k,AO=5k
∴AO+OC=8k=5,∴k=
∴AE=,BE=,∴CN=3,∴DN=1
综上所述:
线段DN的长为或1
4.(上海模拟)已知在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=2DE,CE=2BE,∠ADE=∠ECD,DE=CE=4.
(1)如图1,求证:
DE∥CB;
(2)如图2,点F是线段EB上一动点(不与E重合),连接CF并延长交DE的延长线于点G,设EF=x,DG=y,求y与x的函数关系式;
图1
G
(3)点P是线段AE上一动点(不与E重合),连接CP交DE于点Q,当△PQE是等腰三角形时,求AP的长.
备用图
(1)证明:
∵AB∥DC,∴∠CEB=∠ECD
∵∠ADE=∠ECD,∴∠ADE=∠CEB
∵AD=2DE,CE=2BE,∴=
∴△ADE∽△CEB,∴∠AED=∠B
∴DE∥CB
(2)解:
∵AB∥DC,DE∥CB
∴四边形DEBC是平行四边形,∴DE=BC
∵DE=CE=4,∴BC=4
∵CE=2BE,∴BE=2
∵DG∥CB,∴=
即=
∴y=(0<x<2)
(3)解:
①当PE=QE时
P
∵PE∥DC,∴=
∴DC=DQ
∵四边形DEBC是平行四边形,∴DC=BE=2
∴DQ=2
∵△ADE∽△CEB,DE=CE=CB=4,BE=2
∴AE=AD=8
∴PE=QE=DE-DQ=4-2=2
∴AP=8-2=6
P
②当PE=PQ时
则∠PQE=∠PEQ
∵AE=AD,∴∠ADE=∠PEQ
∴∠PQE=∠ADE,∴AD∥PC
∴四边形APCD是平行四边形
∴AP=DC=2
③当PQ=EQ时
则∠QPE=∠QEP=∠CBE=∠CEB
此时点P与点E重合,△PQE不存在
综上所述,当△PQE是等腰三角形时,AP的长为6或2
5.(上海模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AB=3,DC=6,BC=5.点E是边DC上任意一点,点F在边AB的延长线上,且AE=AF,连接EF,与边BC相交于点G.
(1)设BF=x,DE=y,求y关于x的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(2)当四边形BECF是平行四边形时,求BF的长;
(3)当点E在边DC上移动时,△BFG能否成为等腰三角形?
如果能,求BF的长;如果不能,请说明理由.
备用图
G
解:
(1)∵AB∥DC,∠D=90°,AB=3,DC=6,BC=5
∴AD=4
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2
∵BF=x,∴AF=AB+BF=3+x
∵AE=AF=3+x,DE=y,∴42+y2=(3+x)2
∴y=
当E与D重合时,y=0,则x=AD-AB=1
当E与C重合时,AC==2,x=2-3
∴1≤x≤2-3
(2)∵BF∥EC,∴若四边形BECF是平行四边形,只需BF=EC
∴x=6-,解得x=
即BF的长为
(3)①若BF=BG,则∠BGF=∠BFG=∠AEF
∴BG∥AE,∴=
∵AB∥CD,∴=
∴=,∴EC=AB=3,DE=DC-EC=3
∵AD=4,∴AE=AF=5,∴BF=AF-AB=2
②若BG=FG,过G作AD的平行线,分别交BF、EC于点M、N
则MN⊥AB,四边形ADNM是矩形
N
∴AM=DN,BM=BF=x
∵BG=FG,AB∥DC,∴EG=CG
∴EN=EC=(DC-DE)=(6-y)=3-y
∴3+x=y+3-y,∴x=y
∴x=,解得x=,即BF=
③若BF=FG,过F作FH⊥BG于H,过E作EK⊥GC于K
则BG=2BH=2BF·cos∠FBG=2BF·cos∠C=2x·=x
K
∴GC=5-x
∵BF=FG,∴∠FBG=∠FGB=∠EGC
∵AB∥DC,∴∠FBG=∠C
∴∠EGC=∠C,∴EC=EG
∴KC=GC=-x
∵cos∠C==,∴KC=EC
∴-x=(6-),解得x=
当x=时,-x=-×=-<0
∴x=不合题意,应舍去
综上所述,△BFG能成为等腰三角形,BF的长为2或
6.(上海模拟)有一张矩形纸片ABCD,已知AB=2,AD=5,把这张纸片折叠,使点A落在边BC上的点E处,折痕为MN(MN交AB于M,交AD于N).
(1)如图1,当BE=时,求AM的长;
(2)当点E在BC上运动时,设BE=x,AN=y,求y关于x的函数关系式,并确定函数的定义域;
备用图
备用图
图1
(4)连接DE,是否存在这样的点E,使△AME与△DNE相似?
若存在,求出此时BE的长,若不存在,请说明理由.
解:
(1)设BM=a,∵AB=2,∴ME=AM=2-a
在Rt△BME中,BM2+BE2=ME2
∴a2+2=(2-a)2,∴a=
∴AM=
(2)设BM=a,∵BE=x,∴a2+x2=(2-a)2
∴a=,∴AM=2-=
F
延长NM交CB延长线于点F
∵∠F=∠ANM=∠ENM,∴EF=EN=AN=y
∴BF=y-x
∵△BFM∽△ANM,∴=
∴=,∴y=
由解得5-≤x≤2
∴函数的定义域为5-≤x≤2
(3)存在
∵y=≥2=2≥x,即AN≥BE
∴∠DNE≥90°
又∵∠AME≥90°,AM=ME
M
∴若△AME∽△DNE,则DN=EN
∴∠NDE=∠NED
∵AM=ME,∴∠MAE=∠MEA
∵AD∥BC,∴∠NDE=∠DEC
∴∠BAE=∠DEC,∴△ABE∽△ECD
∴=,∴=
解得x1=4(舍去),x2=1
∴BE=1
∴存在点E,使△AME与△DNE相似,此时BE的长为1
M
7.(上海模拟)如图,在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在一直线上,连接MF交线段AD于点P,连接NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y.
(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)当△NPF的面积为32时,求x的值;
(3)以P为圆心,AP为半径的圆能否与以G为圆心,GF为半径的圆相切?
如果能,请求出x的值,如果不能,请说明理由.
解:
(1)∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD
∴∠E=∠F=90O,AE∥MC,MC∥NK
∴AE∥NK,∴∠KNA=∠EAF
∴△KNA∽△EAF,∴=,即=
∴y=x+6(0<x≤6)
(2)由
(1)知NK=AE,∴AN=AF
∵正方形DMNK,∴AP∥NM,∴==1
∴FP=PM,∴S△MNP=S△NPF=32
∴S正方形DMNK=2S△MNP=64
∴y=8,∴x=2
(3)连接PG,延长FG交AD于点H,则GH⊥AD
易知:
AP=,AH=x,PH=-x,HG=6;PG=AP+GF=+x
①当两圆外切时
在Rt△GHP中,PH2+HG2=PG2,即(-x)2+62=(+x)2
解得:
x=-3-3(舍去)或x=-3+3
②当两圆内切时
在Rt△GHP中,PH2+HG2=PG2,即(-x)2+62=(-x)2
方程无解
所以,当x=3-3时,两圆相切
8.(上海模拟)已知:
正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°,连接EF.
(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?
并证明
你的猜想;
(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;
(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心,以BE为半径的⊙E和以F为圆心,以FD为半径的⊙F之间的位置关系;
图2
图1
(4)如图2,当点E在BC的延长线上时,设AE与CD交于点G.问:
△EGF与△EFA能否相似?
若能相似,求出BE的长,若不可能相似,请说明理由.
(1)猜想:
EF=BE+DF
证明:
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
,得△ABF′,易知点F′、B、E在同一直线上(如.图1)
2
∵AF′=AF
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF
又AE=AE,∴△AF′E≌△AFE
∴EF=F′E=BE+BF=BE+DF
(2)在Rt△EFC中,EC2+FC2=EF2
∵EC=1-x,FC=1-y,EF=x+y
∴(1-x)2+(1-y)2=(x+y)2
∴y=(0<x<1)
(3)①当点E在点B、C之间时,由
(1)知EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;
②当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.
③当点E在BC延长线上时,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′(如图2)
则AF′=AF,∠1=∠2,BF′=DF,∠F′AF=90°
∴∠F′AE=∠EAF=45°
又AE=AE,∴△AF′E≌△AFE
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-DF
∴此时⊙E与⊙F内切
综上所述,当点E在线段BC上时,⊙E与⊙F外切;当点E在BC延长线上时,⊙E与⊙F内切
2
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可
此时CE=CF
设BE=x,DF=y,由(3)知EF=x-y
在Rt△CFE中,CE2+CF2=EF2
∴(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2
∴y=(x>1)
由CE=CF,得x-1=1+y,即x-1=1+
化简得x2-2x-1=0,解得x1=1-(舍去),x2=1+
∴△EGF与△EFA能够相似,此时BE的长为1+
E
9.(上海模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=2,AD=1,连接BD,作∠EBC=∠ABD,交边CD于E.
(1)设BC=x,CE=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)当BE⊥CD时,求BC的长;
(3)当△BDE是等腰三角形时,求BC的长.
解:
(1)延长AD、BE交于点F
∵DF∥BC,∴∠F=∠EBC,∠EDF=∠ECB
∴△DEF∽△CEB,∴=
FP
即=,∴DF=
∵∠F=∠EBC,∠EBC=∠ABD,∴∠F=∠ABD
又∠A=∠A,∴△ABF∽△ADB
∴=,即=,∴AF=4
∵AD+DF=AF,∴1+=4
∴y=(0<x<5且x≠1)
GP
(2)当BE⊥CD时,过D作DG⊥BC于G
则△DGC∽△BEC,∴=
即=,解得x=2-1(舍去负值)
∴此时BC的长为2-1
(3)∵∠DBE<∠ABC=∠C<∠DEB,∴DB>DE
①当BD=BE时
FP
∵△ABF∽△ADB,∴==
∴BF=2BD=2BE,∴BE=EF
∴△DEF∽△CEB,∴CE=DE=CD=1
即=1,解得x=3
②当BE=DE时,则∠BDE=∠DBE
∴∠BEC=2∠DBE
过D作DH⊥BC于H
则∠C=∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠EBC=2∠EBC+∠DBE
H
在△BEC中,∠BEC+∠EBC+∠C=180°
∴2∠DBE+∠EBC+2∠EBC+∠DBE=180°
∴DBE+∠EBC=60°,即∠DBC=60°
∵HC=(x-1),∴BH=x-(x-1)=(x+1)
∴DH=BH=(x+1)
在Rt△DHC中,DH2+HC2=DC2
∴(x+1)2+(x-1)2=4,解得x=
∴当△BDE是等腰三角形时,BC的长为3或
10.(重庆)已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.
(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;
(2)将
(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM.是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
备用图
D
解:
(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x
则BE=FG=BG=x
G
∵AB=3,BC=6,∴AG=AB-BG=3-x
∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC
∴=,即=
解得x=2,即BE=2
(2)存在满足条件的t,理由如下:
如图②,过D作DH⊥BC于点H
则BH=AD=2,DH=AB=3
由题意得:
BB′=HE=t,HB′=|t-2|,EC=4-t
N
在Rt△B′ME中,B′M2=B′E2+ME2=22+(2-t)2=t2-2t+8
∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC
∴=,即=,∴ME=2-t
在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t-2)2=t2-4t+13
过M作MN⊥DH于点N
则MN=HE=t,NH=ME=2-t
∴DN=DH-NH=3-(2-t)=t+1
在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=t2+t+1
(ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2
即t2+t+1=(t2-2t+8)+(t2-4t+13),解得t=
(ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D2=B′M2+DM2
即t2-4t+13=(t2-2t+8)+(t2+t+1),解得t1=-3+,t2=-3-
∵0≤t≤4,∴t=-3+
(ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2
即t2-2t+8=(t2-4t+13)+(t2+t+1),此方程无解
H
综上所述,当t=或-3+时,△B′DM是直角三角形
(3)当0≤t≤时,S=t2
当≤t≤2时,S=-t2+t-
当2≤t≤时,S=-t2+2t-
H
当≤t≤4时,S=-t+
提示:
当点F落在CD上时,如图③
FE=2,EC=4-t,DH=3,HC=4
由△FEC∽△DHC,得=
即=,∴t=
当点G落在AC上时,点G也在DH上(即DH与AC的交点)
N
t=2
当点G落在CD上时,如图④
GB′=2,B′C=6-t
由△GB′C∽△DHC,得=
即=,∴t=
当点E与点C重合时,t=4
Q
①当0≤t≤时,如图⑤
∵MF=t,FN=t
∴S=S△FMN=·t·t=t2
②当≤t≤2时,如图⑥
∵PF=t-,FQ=PF=t-1
N
∴S△FPQ=(t-)(t-1)=t2-t+
∴S=S△FMN-S△FPQ=t2-(t2-t+)=-t2+t-
③当2≤t≤时,如图⑦
∵B′M=B′C=(6-t)=3-t
∴GM=2-(3-t)=t-1
∴S梯形GMNF=(t-1+t)×2=t-1
∴S=S梯形GMNF-S△FPQ=(t-1)-(t2-t+)=-t2+2t-
M
④当≤t≤4时,如图⑧
∵PB′=B′C=(6-t)=-t
∴GP=2-(-t)=t-
∴S梯形GPQF=(t-+t-1)×2=t-
∴S=S梯形GMNF-S梯形GPQF=(t-1)-(t-)=-t+
F
11.(浙江金华、丽水)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,AD=,AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF=120°.
(1)当点E是AB的中点时,求线段DF的长;
(2)若射线EF经过点C,求AE的长;
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:
(1)过E作EG⊥DF于H,则EG=A
D=
G
∵E是AB的中点,AB=6,∴DG=3,
∴∠DEG=60°
∵∠DEF=120°,∴∠FEG=∠DEG=60°
∴GF=3,∴DF=6
(2)过B作BG⊥DC于G,则四边形ABGD是矩形
3
∴BG=AD=
∵AB∥DC,∠ABC=120°,∴∠BCD=60°
∴BC==2
在AB上截取AH=1,连接DH
H
则DH=2,∠AHD=60°,∴∠DHE=120°
∴∠1+∠2=60°
∵∠DEC=120°,∴∠2+∠3=60°
∴∠1
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