第一章充分条件必要条件与命题的四种形式Word文件下载.docx
- 文档编号:3717871
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:129.83KB
第一章充分条件必要条件与命题的四种形式Word文件下载.docx
《第一章充分条件必要条件与命题的四种形式Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一章充分条件必要条件与命题的四种形式Word文件下载.docx(22页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
⇒x<
0或x>
2D⇒/x>
2.
”的不必要条件.
3.已知a,b∈R,则“a=b”是“
=
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为若a=b<
0,则
≠
,所以充分性不成立;
反之,因为
⇔
⇔a=b≥0,所以必要性成立,故“a=b”是“
”的必要不充分条件.
4.(2011·
天津)设集合A={x∈R|x-2>
0},B={x∈R|x<
0},C={x∈R|x(x-2)>
0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为A={x|x-2>
0}={x|x>
2}=(2,+∞),
B={x|x<
0}=(-∞,0),
所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),
C={x|x(x-2)>
0}={x|x<
2}
=(-∞,0)∪(2,+∞).
即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5.(2012·
天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
答案 A
解析 由条件推结论和结论推条件后再判断.
若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数,
但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,
则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一 命题的四种形式及其关系
例1
已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>
1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
思维启迪:
根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式.当命题较简单时,可直接判断其真假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断.
答案 D
解析 命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>
1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
探究提高
(1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键;
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接
判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;
(3)认真仔细读题,必要时举特
例.
命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
解析 由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.
题型二 充要条件的判断
例2
已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是( )
A.p:
m≤-2或m≥6;
q:
y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
B.p:
=1;
y=f(x)是偶函数
C.p:
cosα=cosβ;
tanα=tanβ
D.p:
A∩B=A;
A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA
首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断.
解析 对于A,由y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,可得Δ=m2-4(m+3)>
0,从而可得m<
-2或m>
6.所以p是q的必要不充分条件;
对于B,由
=1⇒f(-x)=f(x)⇒y=f(x)是偶函数,但由y=f(x)是偶函数不能推出
=1,例如函数f(x)=0,所以p是q的充分不必要条件;
对于C,当cosα=cosβ=0时,不存在tanα=tanβ,反之也不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于D,由A∩B=A,知A⊆B,所以∁UB⊆∁UA;
反之,由∁UB⊆∁UA,知A⊆B,即A∩B=A.
所以p⇔q.
综上所述,p是q的充分必要条件的是D.
探究提高 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:
一是由条件p能否推得条件q;
二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
给出下列命题:
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;
②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;
③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;
④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=
,则“A=30°
”是“B=60°
其中真命题的序号是________.
答案 ①④
解析 对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列,但当数列{anan+1}为等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;
对于②,当a≤2时,函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;
对于③,当m=3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m=0.因此③不正确;
对于④,由题意得
,若B=60°
,则sinA=
,注意到b>
a,故A=30°
,反之,当A=30°
时,有sinB=
,由于b>
a,所以B=60°
或B=120°
,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④.
题型三 充要条件的应用
例3
已知集合M={x|x<
-3或x>
5},P={x|(x-a)·
(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<
x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<
x≤8}的一个充分但不必要条件.
解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
解
(1)由M∩P={x|5<
x≤8},得-3≤a≤5,
因此M∩P={x|5<
x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}.
x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<
x≤8};
反之,M∩P={x|5<
x≤8}未必有a=0,故“a=0”是“M∩P={x|5<
x≤8}”的一个充分但不必要条件.
探究提高 利用充要条件求参数的值或范围,关键是合理转化条件,准确地将每个
条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算,一定要注意区间端点值的
检验.
已知p:
x2-4x-5≤0,q:
|x-3|<
a(a>
0).若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
解 设A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},B={x|-a+3<
x<
a+3},因为p是q的充分不必要条件,
从而有AB.故
解得a>
4.
等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例:
(12分)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
审题视角
(1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简.
(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组,得出结论.
规范解答
解 方法一 由q:
x2-2x+1-m2≤0,
得1-m≤x≤1+m,[2分]
∴綈q:
A={x|x>
1+m或x<
1-m,m>
0},[3分]
由p:
≤2,解得-2≤x≤10,[5分]
∴綈p:
B={x|x>
10或x<
-2}.[6分]
∵綈p是綈q的必要而不充分条件.
∴AB,∴
或
即m≥9或m>
9.∴m≥9.[12分]
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件,
∴p是q的充分而不必要条件,[2分]
由q:
x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
∴q:
Q={x|1-m≤x≤1+m},[4分]
≤2,解得-2≤x≤10,
∴p:
P={x|-2≤x≤10}.[6分]
∵p是q的充分而不必要条件,
∴PQ,∴
9.∴m≥9.[12分]
温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题
的关键.
方法与技巧
1.当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时,必须保留大前提,也就是大前提不动;
对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.
2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;
命题有真假之分,而定理都是真的.
3.命题的充要关系的判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:
利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;
若A=B,则A是B的充要条件.
失误与防范
1.判断命题的真假及写命题的四种形式时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2012·
湖南)命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题:
若tanα≠1,则α≠
.
2.(2012·
福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5D.x=0
解析 ∵a=(x-1,2),b=(2,1),
∴a·
b=2(x-1)+2×
1=2x.
又a⊥b⇔a·
b=0,∴2x=0,∴x=0.
3.已知集合M={x|0<
1},集合N={x|-2<
1},那么“a∈N”是“a∈M”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为MN,所以a∈M⇒a∈N,反之,则不成立,故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件.故选B.
4.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
B.命题“若x>
1,则x2>
1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>
0,则x>
1”的逆否命题
解析 对于A,其逆命题:
若x>
|y|,则x>
y,是真命题,这是因为x>
|y|=
,必有x>
y;
对于B,否命题:
若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>
1;
对于C,其否命题:
若x≠1,则x2+x-2≠0,因为x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;
对于D,若x2>
0或x<
0,不一定有x>
1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.下列命题:
①若ac2>
bc2,则a>
b;
②若sinα=sinβ,则α=β;
③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;
④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
答案 ①③④
解析 对于①,ac2>
bc2,c2>
0,∴a>
b正确;
对于②,sin30°
=sin150°
D⇒/30°
=150°
,所以②错误;
对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③对;
对于④显然对.
6.已知p(x):
x2+2x-m>
0,如果p
(1)是假命题,p
(2)是真命题,则实数m的取值范围为________.
答案 [3,8)
解析 因为p
(1)是假命题,所以1+2-m≤0,
解得m≥3;
又因为p
(2)是真命题,所以4+4-m>
0,
解得m<
8.故实数m的取值范围是3≤m<
8.
7.(2011·
陕西)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
答案 3或4
解析 ∵x2-4x+n=0有整数根,
∴x=
=2±
∴4-n为某个整数的平方且4-n≥0,∴n=3或n=4.
当n=3时,x2-4x+3=0,得x=1或x=3;
当n=4时,x2-4x+4=0,得x=2.
∴n=3或n=4.
三、解答题(共22分)
8.(10分)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.
解 原命题:
若a≥0,则x2+x-a=0有实根.
逆否命题:
若x2+x-a=0无实根,则a<
0.
判断如下:
∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<
0,∴a<
-
∴“若x2+x-a=0无实根,则a<
0”为真命题.
9.(12分)已知p:
|x-3|≤2,q:
(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈p是綈q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
解 由题意得p:
-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5.
1或x>
5.
m-1≤x≤m+1,∴綈q:
m-1或x>
m+1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件,
∴
解得2<
m≤4或2≤m<
4,∴2≤m≤4.
B组 专项能力提升
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
上海)对于常数m、n,“mn>
0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
解析 ∵mn>
0,∴
当m>
0,n>
0且m≠n时,方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,
当m<
0,n<
0时,方程mx2+ny2=1不表示任何图形,
所以条件不充分;
反之,
当方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆时有mn>
所以“mn>
0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
2.已知p:
≥1,q:
|x-a|<
1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,3]B.[2,3]
C.(2,3]D.(2,3)
解析 由
≥1,得2<
x≤3;
由|x-a|<
1,得a-1<
a+1.
若p是q的充分不必要条件,则
,即2<
a≤3.
所以实数a的取值范围是(2,3],故选C.
3.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<
a},则“A⊆B”是“a>
5”的( )
解析 A={x|-4≤x≤4},若A⊆B,则a>
4.a>
4D/⇒a>
5,但a>
5⇒a>
4.故“A⊆B”是“a>
5”的必要不充分条件.
4.设有两个命题p、q.其中p:
对于任意的x∈R,不等式ax2+2x+1>
0恒成立;
命题q:
f(x)=(4a-3)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数a的取值范围是____________.
答案
∪(1,+∞)
解析 当a=0时,不等式为2x+1>
0,显然不能恒成立,故a=0不适合;
当a≠0时,不等式ax2+2x+1>
0恒成立的条件是
1.即p:
{a|a>
1}.
由f(x)在R上为减函数,得0<
4a-3<
1,解得
a<
1.
即q:
{a|
1},由题意,可知p,q一真一假.
当p真q假时,a的取值范围是
{a|a>
1}∩{a|a≤
或a≥1}={a|a>
1};
当p假q真时,a的取值范围是
{a|a≤1}∩{a|
1}={a|
所以a的取值范围是
∪(1,+∞).
5.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<
4}”是假命题,则x的取值范围是________.
答案 [1,2)
解析 x∉[2,5]且x∉{x|x<
4}是真命题.
由
得1≤x<
6.“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的____________条件.
解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,
即m≤
,∵m<
⇒m≤
,反之不成立.
故“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.
三、解答题
7.(13分)已知全集U=R,非空集合A=
,B=
(1)当a=
时,求(∁UB)∩A;
(2)命题p:
x∈A,命题q:
x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
解
(1)当a=
时,
A=
B=
∴∁UB=
∴(∁UB)∩A=
(2)∵a2+2>
a,∴B={x|a<
a2+2}.
①当3a+1>
2,即a>
时,A={x|2<
3a+1}.
∵p是q的充分条件,∴A⊆B.
,即
a≤
②当3a+1=2,即a=
时,A=∅,不符合题意;
③当3a+1<
2,即a<
时,A={x|3a+1<
2},
由A⊆B得
,∴-
≤a<
综上所述,实数a的取值范围是
∪
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第一章 充分 条件 必要条件 命题 形式