新人教版九年级上册数学教案24 2 2 直线和圆的位置关系.docx
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新人教版九年级上册数学教案2422直线和圆的位置关系
24.2.2直线和圆的位置关系(3课时)
第1课时直线和圆的三种位置关系
教学目标
1.使学生理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.使学生了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.
重点难点
重点:
1.经历探索直线与圆位置关系的过程;2.理解直线与圆的三种位置关系;3.切线的概念以及切线的性质.
难点:
探索圆的切线的性质.
教学过程
活动一:
复习引入
我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?
(教师出示问题.学生复习回忆.教师补充校正.教师引出课题.)
设计意图:
通过有针对性的复习,为类比学习本节课作铺垫.
活动二:
实验发现
1.在纸上画一个圆,铅笔看作是一条直线,在纸上移动铅笔的过程中,直线和圆的位置关系有几种呢?
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出直线和圆的三种位置关系:
(1)当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
(2)当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.
(3)当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
2.归纳总结:
想一想:
如果圆O的半径为r,圆心到直线的距离为d,二者满足怎样的关系时,分别有直线和圆的三种关系?
d d=r时,直线与圆相切; d>r时,直线与圆相离. 直线和圆的位置关系的性质: 直线l和⊙O相交 d 直线l和⊙O相切 d=r; 直线l和⊙O相离 d>r. (教师引导学生实验观察、分析、发现和归纳结论.让学生用自己的方法探究直线和圆的三种位置关系,教师引导学生发现总结.) 设计意图: 让学生亲自动手实验、探究结论,激发兴趣.学生归纳总结交流,加深对直线和圆的三种位置关系的理解. 活动三: 利用直线和圆的三种位置关系解决问题 补充例题: 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系? 解: (1)如上图,过点C作AB的垂线段CD. ∵Rt△ABC中,AC=4cm,AB=8cm, ∴BC=4cm. 由面积法可得 ∴CD=2cm. 因此,当半径为2cm时,AB与⊙C相切. (2)由 (1)可知,圆心C到AB的距离d=2cm,所以, 当r=2cm时,d>r,⊙C与AB相离; 当r=4cm时,d (教师引导,点拨,学生尝试分析解决,小组内交流,独立解决.) 设计意图: 通过完成解答过程,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.进一步体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 活动四: 巩固练习 1.随堂练习: 教材第96页练习. 2.补充练习: 你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗? (教师引导,组织练习,巡回辅导,重点问题进行强化、点拨方法、总结规律,共性问题做好补教.学生独立思考解决问题.) 设计意图: 通过练习,帮助学生熟练掌握直线和圆的位置关系,从而培养学生分析问题和解决问题的能力. 活动五: 师生小结 1.本节课你有哪些收获? 说给小组内同学听听. 2.你对本节课还有什么疑惑或想法? 说给大家听听. (教师点评、解惑、总结方法.学生自由发言.) 设计意图: 梳理学习内容、方法、思路,养成系统整理知识的习惯,形成知识体系. 第2课时圆的切线 教学目标 1.能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理,能判定一条直线是否为圆的切线;能从逆向思维的角度理解切线的性质定理. 2.掌握切线的判定定理和性质定理,并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题. 重点难点 重点: 探索圆的切线的判定和性质,并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题. 难点: 探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线. 教学过程 一、引入新课 1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,以点C为圆心,下列长度为半径作圆,请判断这些圆与直线AC的位置关系. (1)2; (2)3;(3)2.4.(答案: 相离,相切,相交) 2.要判定一条直线和圆相切,现在我们可以从哪些角度去思考? 怎样确定? 特别地对于数量关系确定位置关系时,能否从这条直线与某条特定半径的位置关系的角度来具体描述? 设计意图: 1.通过具体问题情境的设置,帮助学生复习直线与圆的位置关系,避免空洞的机械回忆;2.问题2的设置,意在引导学生及时归纳总结方法,同时,随着问题的层层深入,引起学生新的思考,激发学生探究的兴趣. 二、教学活动 活动一: 解决教材第97页第1个思考 如图,在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少? 直线l和⊙O有什么位置关系? 思考: 1.你能由此得出圆的切线的又一个判定方法吗? 请你完成下面这个表格. 文字语言 符号语言 经过________并且________的直线是圆的切线. 2.这个定理的条件中包含了几个要素? 是哪些? 运用它解决相关的问题时要特别注意什么? 设计意图: 1.通过作图去感受“直线与圆相切”这种位置关系与“点到直线的距离”中的数形结合;2.在理解切线的判定定理时,应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可.同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 活动二: 完成下列问题(课件展示) 1.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证: 直线AB是⊙O的切线. 2.如图,AB是⊙O的直径,∠PAB=90°,连接PB交⊙O于点C,D是PA边的中点,连接CD.求证: CD是⊙O的切线. 3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,且AD+BC=CD.求证: 以CD为直径的圆与直线AB相切. (答案: 1.连接OC,证OC⊥AB;2.连接AC,OC,由AB是⊙O的直径,证∠ACP=90°,进而证CD=DP,得∠DCP=∠P,再由OB=OC证∠OBC=∠OCB,得出∠OCD=90°即可;3.过CD中点作AB的垂线,证垂线段等于CD的一半即可.) 设计意图: 1.通过1、2两个问题帮助学生达成: 解决直线与圆相切的问题时,如果已知直线与圆有公共点,即可添加过该点的半径这条辅助线,证明直线垂直于该半径,即“知半径,证垂直”;2.通过问题3帮助学生达成: 解决直线与圆相切的问题时,若不知直线和圆的公共点,则过圆心添加直线的垂线,证距离等于半径,即“作垂线,证距离等于半径”. 活动三: 解决教材第97页第2个思考,让学生思考后回答 结论: 半径OA与直线l________. 思考: 1.这个问题从正面思考你能解决吗? 2.教师简单介绍用反证法解决这个问题. 3.你能由此得出圆的切线的性质吗? 请完成下表,并比较它和切线判定定理的区别和联系. 文字语言 符号语言 圆的切线______经过______半径. 设计意图: 1.通过探究,从交换判定定理的条件和结论,引出新的命题,知识的探究和形成显得自然流畅.另外,解决这个问题的方法是从反面思考,从中训练学生的逆向思维;2.切线的判定定理与性质定理的区别: 切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用;切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用. 活动四: 解决下列问题 1.如图,已知PA是半径为2的⊙O的切线,切点为A.∠APO=30°,那么OP=________.(答案: 4) 2.完成教材第98页练习第1,2题. 3.师生共同完成教材第98页例1. 设计意图: 1.通过问题1、2,帮助学生初步运用切线的性质解决问题;2.问题3意在帮助学生在解决判定和性质的综合问题时,灵活地分析条件,合理地选择相应的定理;3.进一步强化解决与圆的切线相关的问题时,注意添加辅助线的方法. 三、课堂小结与作业布置 课堂小结: 1.两个定理: 切线的判定定理是________________. 切线的性质定理是________________. 2.数学方法: (1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法. (2)证明切线的方法: ①当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”;②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”;③在运用切线的性质时,连接圆心和切点是常作的辅助线,这样可以产生半径和垂直条件. 第3课时切线长定理 教学目标 1.了解切线长的概念. 2.理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握并能应用. 重点难点 重点: 切线长定理及其运用. 难点: 切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题. 教学过程 活动一: 复习引入 1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质. 2.点和圆有几种位置关系? 你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识吗? 3.直线和圆有什么位置关系? 切线的判定定理和性质定理是什么? (教师出示问题.学生复习回忆.教师点评.) 设计意图: 通过有针对性的复习,为本节课学习扫清障碍. 活动二: 实验发现 1.从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条,根据下面提出的问题,操作思考并解决这个问题. 在纸上画出⊙O,并画出过A点的切线PA,连接PO,沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B,这时,OB是⊙O的一条半径吗? PB是⊙O的切线吗? 利用图形的轴对称性,说明PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系. 我们把PA或PB的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 从上面的操作我们可以得到: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 2.验证切线长定理. 如上图,已知PA,PB是⊙O的两条切线. 求证: PA=PB,∠OPA=∠OPB. 证明: ∵PA,PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP,OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP, ∴PA=PB,∠OPA=∠OPB. 通过“演示实验—观察—感性—理性”归纳结论. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 3.思考: 已知: 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? 大家作出的圆: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心.(三角形三条角平分线的交点) (教师点评: OB与OA重叠,OA是半径,OB也就是半径了.又因为OB是半径,根据折叠后的角不变,所以PB是⊙O的又一条切线,根据轴对称性质,我们很容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO.学生分组讨论,教师抽取3~4位同学回答问题.教师引导、点拨,点评: 证明线段相等、角相等一般都是证明三角形全等.只要证明Rt△AOP≌Rt△BOP,问题就解决了.学生写出推理过程.师生共同归纳总结切线长定理.教师点拨: 假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.学生作图.) 设计意图: 让学生亲自动手实验、探究结论,激发兴趣.通过“演示实验——观察——感性——理性”加深对切线长定理的认识与理解.培养学生分析问题、解决问题的意识和能力以及规范作图的能力. 活动三: 利用切线长定理解决问题 例1见教材第100页例2. 补充例2如下图,⊙O的直径AB=12cm,AM、BN是两条切线,DC切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y. 求y与x的函数关系式,并说明是什么函数. 解: 过点D作DF⊥BC,垂足为F,则四边形ABFD为矩形. ∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E, ∴DE=AD,CE=CB. ∵AD=x,CB=y, ∴CF=y-x,CD=x+y.在Rt△DCF中,DC2=DF2+CF2, 即(x+y)2=(x-y)2+122, ∴xy=36. ∴y= 为反比例函数. (教师出示问题,适当引导点拨,学生讨论解决.教师对例2分析: 要求y与x的函数关系,就是求BC与AD的关系,根据切线长定理: DE=AD=x,CE=CB=y,即DC=x+y,又因为AB=12,所以只要作DF⊥BC,垂足为F,根据勾股定理,便可求得.) 设计意图: 让学生在应用过程中,进一步加深对切线长定理的认识与理解,培养学生的应用意识和能力. 活动四: 巩固练习 教材第100页练习1,2. (教师引导,组织练习,巡回辅导,重点问题进行强化、点拨方法、总结规律,共性问题做好补教,学生独立思考解决问题.) 设计意图: 对知识巩固、提高、深化. 活动五: 师生小结 1.小结: (1)圆的切线长概念; (2)切线长定理; (3)三角形的内切圆及内心的概念.
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