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等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
ax2+bx+c=0(a≠0).
这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2是二次项,是二次项系数,是一次项,是一次项系数,是常数项.
点拨精讲:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x3-2x2+5=0;
(2)x2=1;
13(3)5x2-2x-x2-2x+;
45
(4)2(x+1)2=3(x+1);
(5)x2-2x=x2+1;
(6)ax2+bx+c=0.
解:
(2)(3)(4).
有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.
2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.
将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.
证明:
m2-8m+17=(m-4)2+1,
∵(m-4)2≥0,
∴(m-4)2+10,即(m-4)2+1≠0.
∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.
要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.
2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)
1.判断下列方程是否为一元二次方程.
(1)1-x2=0;
(2)2(x2-1)=3y;
12(3)2x2-3x-1=0;
(4)=0;
xx
(5)(x+3)2=(x-3)2;
(6)9x2=5-4x.
(1)是;
(2)不是;
(3)是;
(4)不是;
(5)不是;
(6)是.
2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.
∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,
∴4a+8-5=0,
3解得a=-.4
3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.
(1)4x2=25,4x2-25=0;
(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.
3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
(1)
1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.
2.渗透转化思想,掌握一些转化的技能.
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;
领会降次——转化的数学思想.难点:
通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:
2=1500__,
由此可得__x2=25__,
即x1=__5__,x2=__-5__.
可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:
对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为
,
即将方程变为
两个一元一
次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=
x2=
.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.
归纳:
在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=p或mx+n=p.
解下列方程:
(1)2y2=8;
(2)2(x-8)2=50;
(3)(2x-1)2+4=0;
(4)4x2-4x+1=0.
(1)2y2=8,
(2)2(x-8)2=50,
y2=4,(x-8)2=25,
∴y1=2,y2=-2;
x-8=5或x-8=-5,
∴x1=13,x2=3;
(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,
(2x-1)2=-40,(2x-1)2=0,
∴原方程无解;
2x-1=0,
1∴x1=x2=.2
观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2
=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)(3x+1)2=7;
(2)y2+2y+1=24;
(3)9n2-24n+16=11.
【篇二:
新人教版九年级圆测试题及答案全】
、选择题(每题3分,共30分)
2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为()a1∶2∶3b1∶
2∶c∶∶1d3∶2∶1
3.在直角坐标系中,以o(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点a(?
3,4)的位置在()a⊙o内b⊙o上c⊙o外d不能确定
7.已知两圆的圆心距d=3cm,两圆的半径分别为方程x
?
5x?
3?
0的两根,则两圆的位置
2
关系是()a相交b相离c相切d内含
8.四边形中,有内切圆的是()a平行四边形b菱形c矩形d以上答案都不对
9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于d,连结ad,那么()
a
?
∠cad
c
b
.
10.下面命题中,是真命题的有()①平分弦的直径垂直于弦;
②如果两个三角形的周长之比为3∶
2,则其面积之比为3∶4;
③
圆的半径垂直于这个圆的切线;
④在同一圆中,等弧所对的圆心角相等;
⑤过三点有且只有一个圆。
a1个b2个c3个d4个二、填空题(每题3分,共24分)
12.现用总长为80m的建筑材料,围成一个扇形花坛,当扇形半径为_______时,可使花坛的面积最大;
13.如图是一个徽章,圆圈中间是一个矩形,矩形中间是一个菱形,菱形的边长是1cm,那么徽章的直径是;
14.如图,弦ab的长等于⊙o的半径,如果c是
amc上任意一点,则
15.一条弦分圆成2∶3两部分,过这条弦的一个端点引远的切线,则所成的两弦切角为
16.如图,⊙a、⊙b、⊙c、⊙d、⊙e相互外离,它们的半径都为1.顺次连接五个圆心得到五边形abcde,则图中五个阴影部分的面积之和是;
17.如图:
这是某机械传动部分的示意图,已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米,轴心距为6分米,那么两轮上的外公切线长为分米。
三、解答题
19.求证:
菱形的各边的中点在同一个圆上.已知:
如图所示,菱形abcd的对角线ac、bd相交于o,e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点.求证:
e、f、g、h在同一个圆上.
20.已知:
如图,ab是⊙o的直径,c是⊙o上一点,ad和⊙o在点c的切线相垂直,垂足为d,延长ad和bc的延长线交于点e,求证:
ab=ae.
21.如图,⊙o以等腰三角形abc一腰ab为直径,它交另一腰ac于e,交bc于d.求证:
bc=2de
22.如图,过圆心o的割线pab交⊙o于a、b,pc切⊙o于c,弦cd⊥ab于点h,点h
分ab所成的两条线段ah、hb的长分别为2和8.求pa的长.
23.已知:
⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm,圆心o1o2=13cm,ab是⊙o1、⊙o2的外公切线,切点分别是a、b.求:
公切线的长
ab.
圆测试题题答案
一、选择题
1.d.提示:
设两个半圆交点为d.连接cd,cd⊥ab.阴影的面积为两个半圆的面积减去直角三角形的面积。
=2.则cd=3,ad=1,bd=3.2.c.提示:
设圆的半径为r,则三角形边长为r.
3.b.提示:
用勾股定理可以求出点a到圆心的距离为5.
r,正方形边长为r,正六边形的边长为
a0br
=,22r
2?
l?
2bb
7.d.提示:
设两圆的半径r1,r2.r1+r2
===5.
2aa
r1-r2
1-r2.两圆内含.
8.b.提示:
从圆的圆心引两条相交直径,再过直径端点作切线,可以得到菱形。
9.c.提示:
ab是直径,所以ad垂直bd.abc是等腰三角形。
ab=ac,∠bad=∠cad..10.a.提示:
④正确。
①错在两条直径平分但不互相垂直。
②面积之比为3∶2。
③直径垂直于过直径端点的切线。
⑤这三点可能在同一直线上。
二、填空题
1
12.20.提示:
设半径为r,则弧长为(80-2r),s=r(80?
2r)=r(40-r)=-r2+40r=-(r-20)2+400,r=20时,
2
s取得最大值。
a2b2
13.2.设矩形长为a,宽为b,则有a?
b=4r,解得a+b=r.菱形的边长()?
()=1。
22
r=1.
【篇三:
2014新外研版九年级上册英语练习题及答案全套】
一、词汇
a.根据句意及提示写出形式正确的单词。
1.what________you________(do)atsevenyesterdayevening?
2.thegrandcanyonisoneofthe________(wonder)ofthenaturalworld.
3.i________(be)toxinjiangtwice.itsreallyabeautifulplace.
4.wheni________(arrive),itwasraining.
5.someofthepyramidsareover200feetin________.(high).
6.therainstoppedandthesun________.(rise).
bthebestwayoflearningalanguageisit.thebestwayoflearningenglishisinenglishasmuchaspossible.sometimesyoullgetyourwordsmixedupandpeoplewillnotunderstandyou.sometimespeoplewillsaythingsandyoucantunderstandthem.butifyouyoursenseofhumor,youcanalwayshaveagoodlaughatthemistakesyoumake.dontbeifpeopletobelaughingatyourmistakes.itsbetterforpeopleatyourmistakesthantoangrywithyou,becausetheydontunderstandwhatyou.themostimportantthingforlearningenglishis:
“dontbeafraidofmakingmistakesbecauseeveryonemistakes.”
二、单项选择
1.—when________you________thecomputer?
—threeyearsago.
a.have;
boughtb.had;
bought
c.do;
buyd.did;
buy
2.—hi,kate.youlooktired.whatsthematter?
—i________welllastnight.
a.didntsleepb.dontsleepc.haventsleptd.wontsleep
3.—didanyone________thefootballmatchyesterdayevening?
—yes,wewon.
a.watchb.watchedc.watchesd.watching
4.doyouknowwhereourheadmaster________?
a.livingb.livec.livesd.tolive
5.its4oclock.they________theircompositions.
a.writeb.writesc.wroted.arewriting
6.—mymother________todosomeshoppingafterwork.
—soami.
a.willgob.goesc.wentd.isgoing
7.thelittlegirl________inthekindergartenwhenhermothercamein.
a.cryb.criesc.wascryingd.iscrying
8.therewillbeaparentsmeetingtomorrow.butmyparentscantcomebecausethey________
toshandong.
a.hasgoneb.havegonec.hasbeend.havebeen
9.—hasntbettycomeyet?
—no,i________forherfornearly2hours.
a.waitb.waited
c.havewaitedd.hadwaited
10.thestory________inlondonmanyyearsago.
a.washappeningb.willhappen
c.happenedd.happens
11.peterwasplayingthepianowhilealice________.
a.wassingingb.sangc.wouldsingd.singing
12.shetoldmethatshe________myauntthenextweek.
a.willvisitb.wouldvisit
c.isgoingtovisitd.visited
13.—whostakenawaymyenglishtextbook?
—________.
a.ihaveb.hehadc.shedidd.hetookit
14.—mary,couldyouhelpme?
—waitamoment.i________.
a.readabookb.didmyhomework
c.waswatchingtvd.amcookingdinner
15.—doyouknowhuangtingwell?
—yes.sheandi________friendssincewemetinwuhanlastsummer.
a.madeb.werec.havebeend.become
三、阅读理解
herearesixbusinesscards.theyarethreepersons.theyareandrewirvine,sandywestandemmabell.thecardsontheleftareoldonesandthecardsontherightarenew.readthecardsandthenchoosetherightanswers.
1.ifyouwanttogetsomeadviceaboutlaw,youcanringthenumber________.
a.(415)772-3622b.(617)264-3132
c.(212)555-2617d.(415)474-6188
2.ifyouwanttovisitprofessorbellshome,youcangoto________.
a.washingtonb.sanfrancisco
c.newyorkd.brookline
3.________haventchangedtheirplacesofwork.
a.sandywestandemmabell
b.andrewirvineandsandywest
c.emmabellandandrewirvine
d.andrewirvine,sandywestandemmabell
b
ifirststartedplayingthepianowheniwasthree.myparentsaremusicians,sotheywerebothveryencouraging.itwastheirdream,ithink,toraiseachildwhocouldonedaybecomeaworld-classpianist.sotheyaskedanexpensivepersonalteachertoteachme,andipracticedeveryday,sometimesforfiveorsixhoursatatime.despite(尽管)thelonghoursandfrustration(挫折),ididenjoyit,especiallyatfirst,andiwasgood.accordingtomyparentsandmyteacher,iwasreallyexcellent,andiwasontheroadtobecomingaprofessionalmusician,just
likemymotherandfather.
thetroublewas,myheadreallywasntinit.myrealinterestwassomethingquitedifferent—mathematics(maths).numberswerethethingsthatreallyshonebrightlyinmymind.ifoundmorebeautyinamathematicalequation(相等),itoldmyparents,thaninapianosonata(奏鸣曲).sowheniwenttocollege,ichosetostudymathematics,notmusic.thenigotajob,workingasanaccountant.
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