电动力学复习总结电动力学复习总结答案Word格式.docx
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0a8?
0a2?
0a 答案:
A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 ?
A.?
;
?
E;
C.?
D.D?
E 22答案:
B 5、两个半径为R1,R2,R1?
4R2带电量分别是q1,q2,且q1?
q2导体球相距为a(a>
>
R1,R2),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的A. 1611倍, B.1倍, C.倍, D.倍,25164答案:
A 2 6、电导率分别为?
1,?
2,电容率为?
2的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导电介质分界面上电势的法向微商满足的关系是 ?
A.1?
2 B.?
?
nC.?
22 D. ?
n答案:
C ?
7、电偶极子P在外电场Ee中的相互作用能量是 ?
Ee B.?
P?
Ee C.?
PEe D.PEe 三、问答题 1、公式?
14?
0?
dVr?
可求得电势分布,然后用E?
即可求得场的分布, 这种方法有何局限性?
答:
这种方法适用于空间中所有的电荷分布都给定的情况,而且电荷分布在有限区域内.若电荷分布无限大区域,积分将无意义.例如无限长大带电面的电势,就不能用它计算.2、应用W?
dV?
(x’)dV’r计算静电场能量时,要求全空间必须充满均 1?
匀介质才成立,试说明其理。
并与比较电场能量公式W?
D?
EdV21?
与,?
MW?
dv说明区别. 21答:
计算静电场能量公式为W?
dv,公式中的?
是空间的自电荷密度, 2而?
是空间的自电荷和极化电荷共同产生的总电势,即?
全空间充满均匀介质时,?
p?
f?
prdv,当 ?
)?
f,所以?
f,?
(x’)dV’dV。
,W?
28?
r?
pr1dv?
4?
f(x?
)r3 若?
不是均匀的,?
电场能量公式:
W?
而W?
0)?
所以全空间都要充满均匀介质。
f1?
EdV适用于一切电场;
21?
dv仅适用于静电场2?
因为静电场电荷分布决定,而在非恒定情况下,电场和磁场互相激发,其形式是独立于电荷分布之外的电磁波运动,因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。
3、在静电场中?
E=0,就一定有?
D=0吗?
答:
不一定。
当介质为均匀介质时,D?
E成立且?
为常量,从而 ?
D=?
E?
0成立;
当介质是线性非均匀时,D?
E成立,?
(x), ?
E,?
E=0时,?
0;
E当介质是各向异性时,iijj,?
ijeiej?
0. ?
强场作用下,D,E的关系是非线性的, Di?
ijEj?
ijkEjEk?
ijklEjEkEl?
E指向电势?
减少最快的方向。
jj,kj,k,l?
4、E=-?
说出E的方向。
E答:
E=-?
说明的方向与电势梯度方向相反,电势梯度方向是指向 ?
电势增加最快的方向,电场E指向电势减小最快的方向。
5、静电场能量公式为W?
答:
11?
能否看成是能量密度?
为什么/,?
22v1?
不能看成是能量密度.因为积分是对有电荷分布的区域积分,而电场的2能量则存在于整个空间。
6、有两个无限大的平行导体平面,它们的法线平行于z轴,其中一个位于z=0处, 电势固定为?
0,另一个位于z=d处,电势固定为?
d,,两平面间充满电荷,密度为 4 ?
(z)?
0()2 式中?
0为常量,如图所示,试用泊松方程求区域0?
z?
d内的电势分布和每个导体平面上电荷面密度. 解:
对称性知,电势与x,y无关,,仅是z的函数.故?
d2?
dz22?
d?
0,?
d,?
zd?
化成?
积分得:
4z?
z212?
d12?
电场E?
ez?
ez2?
z3?
dd12?
d在Z=0面上:
Dz?
Ez?
d12?
d在Z=d面上:
d47、如果?
0,为何不能说?
恒等于零?
0表示无电荷分布处的电势满足拉普拉斯方程,加上边界条件便可解得电势,无电荷分布处电势不一定为0.例如点电荷电场中,电势?
除点电荷所在处外,满足?
0,但?
0.8、为什么静电势在边界处是连续的?
在边界面两侧靠近界面处取两点1,2.相距为dl.则?
2|s?
1|s?
dl. q4?
0r, ?
dl趋近于0,E有限, ?
dl?
0得:
2|s=?
1|s.即:
静电势在边界处连续。
9、如果在两介质分界面上为面偶极层时,两侧电势及电势的法向微商满足何关 系?
5
bndnn?
)P?
nnnco?
外n?
1n?
1RRnn?
0,?
为有限,当R?
时,?
外 当R?
0时,?
内?
cn?
0。
bn?
内nco?
nndnPn?
1nR于球对称性,电势只与R有关,所以 an?
0,(n?
1) dn?
1) ?
d0/R?
a0,?
外?
内所以空间各点电势可写成?
内?
a0?
Qf4?
R?
d0R?
R当R?
R0时,?
外得:
a0?
d0/R0 ?
n得:
Qf24?
R0?
0Qf?
0d0Qf11,?
(?
)0224?
R0R04?
QfQf11所以 ?
R4?
QfQfQf11?
0R4?
R?
应用高斯定理 在球外,R>
R0,高斯定理得:
E外?
ds?
Q总?
Qf?
Qp?
Qf,,所以E外?
则 a0?
Qf(11?
) Qf24?
0R?
QfQf ?
dR?
24?
0RRR4?
0RQf4?
R2R0Rer,积分后得:
在球内,R E内?
er,积分后得:
E内?
R0Qf4?
0R结果相同。
4、均匀介质球的中心置一自电偶极子pf,球外充满了另一种介质,求空间各点的电势和极化电荷分布。
解:
以球心为原点,pf的方向为极轴方向建立球坐标系。
空间各点的电势可 分为三种电荷的贡献,即球心处自电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献,其中电偶极子产生的总电势为pf?
R/4?
1R3。
所以球内电势可写成:
i?
’i?
pf?
1R3;
球外电势可写成:
?
o?
’o?
1R3 其中?
’i和?
’o为球面的极化面电荷激发的电势,满足拉普拉斯方程。
于对称性,?
’o均与?
无关。
考虑到R?
0时?
’i为有限值;
时 11 ?
0,故拉普拉斯方程的解为:
anRnPnbnP(R?
R0)n?
1nnR此 ?
1R3?
anRnP(R?
R0) nco?
on?
bnR?
Pncos?
)n边界条件为:
iR?
oR?
R0 ?
2R?
RR?
R0将代入和,然后比较PPn?
1Rn当R?
时,电势趋于零,所以R?
R2时,电势可写为 b
(1)?
nn?
1PRn当R?
0时,电势应趋于偶极子p激发的电势:
pf?
0R3?
pcos?
/4?
0R2 pcos?
所以R?
R1时,电势可写为?
(2)?
anRnP24?
0Rnb设球壳的电势为?
s,则?
1P2Rn2?
iR1?
0R12?
anR1nPn(3)得:
b0?
sR2;
0(n?
0) (4)得:
a0?
s;
a1?
p/4?
0R13;
an?
0,1) 所以 ?
sR2/R (5) ?
0R2?
s?
pRcos?
0R13 (6)?
R再?
0o?
dS?
0s224?
R2?
Q得:
S?
Q/4?
0R2 (7) 将(7)代入(5)(6)得:
0R (R?
R2) pcos?
QpRcos?
1p?
RQp?
(3?
3)234?
0R24?
0R14?
0RR2R1?
Q在R?
R2处,电荷分布为:
Dn?
2?
RR4?
3pcos?
在R?
R1处,电荷分布为:
’?
0i?
R136、在均匀外电场E0中置入一带均匀自电荷?
f的绝缘介质球, 21求空间各点的电势。
以球心为原点,以E0的方向为极轴方向建立球坐标系。
将空间各点的电 势看作两部分迭加而成,一部分?
1为绝缘介质球内的均匀自电荷产生,另一部分?
2为外电场E0及E0感应的极化电荷产生。
前者可用高斯定理求得,后者满足拉普拉斯方程。
2的形式为 ?
(aRnnn?
(n?
1))Pn(cos?
) 33对于?
1,当R?
R0时,高斯定理得:
D1?
fR0E1?
fR0/3R2,/3?
0R2 当R?
D2?
fR/3,E2?
fR/3?
13 R003?
1的球外部分:
o1?
fR0/3?
0R2)dR?
)dR RR0322?
fR0/6?
?
1的球内部分:
i1?
E2?
)dR?
fR2/6?
RR00对于?
2,当R?
E0Rcos?
,所以 ?
o2?
nbnP(R?
1nR(R?
R0) 当R?
2为有限,所以 ?
i2?
anRnPn边界条件为:
R0时,?
i2,?
R。
即:
R0?
E0R0cos?
bnR0?
1)Pn(cos?
anR0nPn(cos?
nn?
2)n?
1Pn(cos?
nanR0Pn(cos?
1)bnR0nn?
比较Pn(cos?
)的系数,解得:
a1?
0E0/(?
0) 3b1?
0)E0R0/(?
0)an?
1) 3所以?
0)E0R0cos?
/(?
0)R2(R?
R0) (3) ?
0E0Rcos?
0)(R?
R0) (4) (R?
R0)
(1)
(2)(3)(4)得:
233?
fR0?
fR0(?
ERcos?
03?
R(?
0)R2?
00?
23?
fR?
(R?
R0)?
6?
7、在一很大的电解槽中充满电导率为?
2的液体,使其中流着均匀的电流Jf0。
今在液体中置入一个电导率为?
1的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布,讨论?
2及?
1两种情况的电流分布的特点。
本题虽然不是静电问题,但当电流达到稳定后,于电流密度Jf0与电场强度E0成正比,所以E0也是稳定的。
这种电场也是无旋场,其电势也满足拉普拉斯方程,因而可以用静电场的方法求解。
(1)未放入小球时,电流密度Jf0是均匀的,Jf0?
2E0可知,稳恒电场E0 也是一个均匀场。
因此在未放入小球时电解液中的电势?
0便是均匀电场E0的电势。
放入小球后,以球心为原点,E0的方向为极轴方向,建立球坐标系。
为方便起见,以坐标原点为电势零点。
在稳恒电流条件下,?
/?
t?
0,所以:
J?
0
(1)
(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:
n?
(J2?
J1)?
0
(2) 14 设小球内的电势为?
1,电解液中的电势为?
2,则在交界面上有:
1R?
2R (3) 00?
R (4) R?
R0将J?
E及E?
代入
(1),得:
E)?
0 可见?
满足拉普拉斯方程 考虑到对称性及R?
时E?
E0,球外电势的解可写成:
Jf0b?
Rcos?
1P?
2Rn其中利用了Jf0?
2E0。
考虑到R?
0时电势为有限值,球内电势的解可写成:
anRnPn因为选R?
0处为电势零点,所以a0?
0,将(5)(6)代入(3)(4)得:
bnn (7)P?
anR0Pn?
2nR0nJbn?
1 (8)?
2[?
f0cos?
1)nn?
2Pncos?
2R0nn(7)(8)两式可得:
3/(?
2)?
2a1?
3Jf0/(?
2), b1?
2)Jf0R0?
R0cos?
0,bn?
1) 所以:
3Jf0Rcos?
3Jf0?
R/(?
2) (R?
R0) 3?
Jf0Rcos?
2)Jf0R0cos?
2R2 3?
Jf0?
R/?
2)R0Jf0?
2R3 (R?
R0) Jf0此可得球内电流密度:
J1?
1E1?
(Jf0?
R)/(?
1Jf0/(?
2)电解液中的电流密度为:
33(Jf0?
R)RJf0(?
2)R0J2?
2E2?
[?
3]5(?
2)RR
(2)两导体交界面上自电荷面密度 ?
(D2?
D1)?
0er?
(E2?
E1)?
(J2/?
J1/?
1) (3)当?
2,即球的电导率比周围电解液的电导率大的多时, (?
2)/(?
13?
3,11 所以,J1?
3Jf0 3J2?
(R0/R3)[3(Jf0?
R)R/R2?
Jf0] ?
3(?
0Jf0cos?
2当?
2时,同理可得:
15
3J1?
0 J2?
(R0/2R3)[3(Jf0?
Jf0] 8、半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质?
,导体球接地,离球心为a处 置一点电荷Qf,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与电象法结果相同。
以球心为原点,以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。
将空间各点电势看作两部分迭加而成。
一是介质中点电荷产生的电势 ?
/2?
Qf/4?
a2?
2Racos?
, 二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的?
2。
后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。
考虑到对称性,?
2与?
于R?
2为有限值,所以球内的?
2解的形式可以写成 ?
anRnPn(cos?
) n于R?
2应趋于零,所以球外的?
2解的形式可以写成 b?
) Rn于 R2?
(1/a)?
(R/a)nPn(cos) n?
(Qf/4?
a)?
(R/a)nPn(cos) n 当R?
i2 ?
(R/a)nPn(cos)?
) nn当R?
o2 bnP(cos?
) n?
1nRnn因为导体球接地,所以?
0 ?
外R?
内R?
0 00将代入得:
an?
1 2n?
1将代入并利用式得:
bn?
QfR0/4?
1 将分别代入得:
0(R?
R0) R0Qf20220?
[QfR?
a?
aR?
(R/a)?
2RRcos?
/a2](R?
R0) 用镜像法求解:
设在球内r0处的像电荷为Q’。
对称性,Q’在球心与Qf的连 线上,根据边界条件:
球面上电势为0,可得:
2r0?
R0/a,Q’?
R0Qf/a所以空间的电势为 QfR0Qf1QfQ’1?
](R?
R0) 2222224?
r1r24?
(R0/a)?
2RR0cos?
/a 16 9、接地的空心导体球的内外半径为R1和R2,在球内离球心为a处(a P内表面上感应电荷对空间电场的作用,空R’R1R心导体球接地,球外表面电量为零,对 OQQ’称性,Q’应在球心与Q的连线上。
考虑球内表面上任一点P,边界条件要求:
Q/R?
Q’/R’?
0
(1) 式R为Q到P的距离,R’为Q’到P的距离,因此,对球面上任一点,应有 R’/R?
Q’/Q?
常数
(2) 只要选择Q’的位置,使?
OQ’P~?
OPQ,则R’/R?
R1/a?
常数 (3) 设Q’距球心为b,则b/R1?
R1/a,即b?
R12/a (4)两式得:
Q’?
R1Q/a 1QR1Q/a?
] 2224224?
2R1Rcos?
/a导体内电场为零,高斯定理可知球面上的感应电荷为?
Q,分布于内表面。
于外表面没有电荷,且电势为零,所以从球表面到无穷远没有电场,?
10、上题的导体球壳不接地,而是带总电荷Q0,或使具有确定电势?
0,试求这 两种情况的电势。
又问?
0与Q0是何种关系时,两情况的解是相等的?
解:
上题可知,导体球壳不接地时,球内电荷Q和球的内表面感应电荷?
Q的 总效果是使球壳电势为零。
为使球壳总电量为Q0,只需满足球外表面电量为Q0+Q即可。
因此,导体球不接地而使球带总电荷Q0时,可将空间电势看 作两部分的迭加,一是Q与内表面的?
Q产生的电势?
1,二是外表面Q0+Q产生的电势?
1QR1Q/a?
1内?
],(R?
R1) 24224?
/a?
1外?
0,(R?
R1);
2内?
(Q?
Q0)/4?
0R2,(R?
R2);
2外?
0R,(R?
R2),所以?
0R(R?
R2) ?
0R2(R1?
R2)?
0[QR2?
R1Q/aR2?
R14/a2?
2R12Rcos?
Q?
Q0],(R?
R1)R2以上过程可见,球面电势为(Q?
0R2。
若已知球面电势?
0,可设导体球总电量为Q’0,则有:
(Q?
Q’0)/4?
0,即:
0R2 电势的解为:
17 (R?
0R2/R?
(R1?
R1Q/aQ?
1[?
]?
R1)?
当?
0和Q0满足?
0R2时,两种情况的解相同。
Q11、在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部,半 球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并a?
Qb?
与平面相距为b,试用电象法求空间电势。
如图,根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电Oa荷附近置一接地导体球两个模型,可确定三个镜像电荷的电Qb量和位置。
Qaaa2a2Q1?
Q,r1?
ez;
Q2?
Q,r2?
bbbbQ3?
Q,r3?
bez,所以 PR?
Q4?
[1R2?
b2?
2Rbcos?
a42?
1R2?
(0?
aa4a2bR?
2Rcos?
bb2 aa?
2bbz12、有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面 ?
Qa所 (x0,?
a,b) 围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和 b,求空间电势。
用电像法,
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