立体几何线线垂直专题史上最全分析Word格式.docx
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C卜ce丄ab同理,AD:
BDFde丄ab
又CE-DE二EAB_平面CDE
(2)由
(1)有AB—平面CDE
又•AB平面ABC,.平面CDE_平面ABC
例2、(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E为PA的中点.(I)求证:
PC//平面BDE;
(H)求证:
平面PAC_平面BDE.
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知.ABC中.ACB=90'
SA_面ABC,AD_SC,求证:
AD_
面SBC.
证明:
v.ACB=90°
.BC_AC
又SA_面ABCSA_BCBC_面SAC
.BC_AD又SC_AD’SC-BC=Cad—面SBC
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示,已知PA垂直于圆O在平面,AB是圆O的直径,C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点,且PA二AC,点E是线段PC的中点.求证:
AE_平面PBC.
vPA_|_O所在平面,BC是LO的弦,二BC_PA.
又vAB是LO的直径,•ACB是直径所对的圆周角,
BC_AC.
vPA门AC二代PA平面PAC,AC平面PAC.
•••BC_平面PAC,AE平面PAC,•••AE_BC.
vPA二AC,点E是线段PC的中点.•AE_PC.
vPC「|BC=C,PC平面PBC,BC平面PBC.
•AE_平面PBC.
ABCD是等腰梯形,AB//CD,
例5、(证明所成角为直角)在如图所示的几何体中,四边形/DAB=60°
AE丄BD,CB=CD=CF.求证:
BD丄平面AED;
证明因为四边形ABCD是等腰梯形,AB/CD,/DAB=60°
,
所以/ADC=/BCD=120°
.
又CB=CD,所以/CDB=30°
因此/ADB=90°
,即AD丄BD.
又AE丄BD,且AEGAD=A,AE,AD?
平面AED,
所以BD丄平面AED.
例6、(勾股定理的逆定理)如图7-7-5所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等
腰直角三角形,/BAC=90°
且AB=AAi,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.
(1)DE//平面ABC;
(2)BiF丄平面AEF.
BD_AQ
AQ丄平面BCiD
同理可证AC_BCi
练习;
i、如图在三棱锥P—ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO丄平面ABC,垂足O落在线
段AD上.证明:
APIBC;
li
1
2、直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=qAAl,D是棱AAi的中点,DCi丄BD.证明:
DC」
BC。
3.如图,平行四边形ABCD中,/DAB=60°
AB=2,AD=4•将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD丄平面ABD.
(1)求证:
AB丄DE;
(2)求三棱锥EABD的侧面积.
4、在正三棱柱ABC-AB1G中,若AB=2,AA1=1,求点A到平面ABC的距离。
5、如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别
是AB、PC的中点,PA=AD.
(1)CD丄PD;
(2)EF丄平面PCD.
6、如图7-5-9
(1),在RtAABC中,/C=90°
D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△AiDE的位置,使AiF丄CD,如图⑵.
(1)求证:
DE//平面AiCB.
⑵求证:
AiF丄BE.
⑶线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?
说明理由.
若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线
补充:
一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条
2、线面垂直的判断:
3、面面垂直的判断:
证明线线垂直的常用方法:
例1、(等腰三角形三线合一)如图,已知空间四边形ABCD中,BC二AC,AD二BD,E是AB的中点。
(1)AB一平面CDE;
(2)平面CDE一平面ABC。
、〒沖/八BC=AC〕AD=BD]
(1)=CE_AB同理,=DE_AB
AE=BEJAE=BEJ
又CE一DE=EAB_平面CDE
又AB平面ABC,.平面CDE_平面ABC
例2、(菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥形.PB二PD,E为PA的中点.(I)求证:
P-ABCD的底面是菱
平面BDE.
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC中.ACB二90’,SA_面ABC,AD一SC,求证:
AD-
丁•ACB=90°
.BC_AD又SC_AD’SC一BC=Cad—面SBC
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示,已知PA垂直于圆O在平面,AB是圆O的直
径,C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点,且PA=AC,点E是线段PC的中点.求证:
•••PA_|_O所在平面,BC是LO的弦,二BC_PA.
又•••AB是LO的直径,•ACB是直径所对的圆周角,
vPA^AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC.
•••BC_平面PAC,AE平面PAC,•••AE_BC.
vPA=AC,点E是线段PC的中点.•AE_PC.
vPC“BC=C,PC平面PBC,BC平面PBC.
所以/ADC=/BCD=120°
即AD丄BD.
又AE丄BD,且AEGAD=A,AE,AD?
平面AED,所以BD丄平面AED.
且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.
(2)B1F丄平面AEF.
例7、(三垂线定理)证明:
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1C丄平面BC1D
连结AC
•••BD丄AC.AC为A1C在平面AC上的射影
AQ丄平面BC1D
同理可证AQ—BG
2、直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=qAAl,D是棱AAi的中点,DC」BD.
(1)证明:
DCi
丄BC;
证明由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
1222
又AC=2AA1,可得DC2+DC2=CC2,所以DC1JDC.
又DC1JBD,DCABD=D,所以DC1丄平面BCD.
因为BC?
平面BCD,所以DC11BC.
AB=2,AD=4•将△CBD沿BD折起到△EBD
的位置,使平面EBD丄平面ABD.
(2)求三棱锥EABD的侧面积.
(1)证明:
在△ABD中,
••AB=2,AD=4,/DAB=60°
设F为AD边的中点,连接FB,
ZAFB=60°
又DF=BF=2,二^FD为等腰三角形.
•••FDB=30°
故/ABD=90°
••ABJBD.又平面EBD丄平面ABD,
平面EBDG平面ABD=BD,AB?
平面ABD,
••AB丄平面EBD.〔DE?
平面EBD,/ABJDE.
(2)
【解析】由
(1)知ABJBD,・.CD/AB,.QD!
BD,从而DEJBD.
在RtQBE中,TDB=23,DE=DC=AB=2,「Sadbe=^DBDE=23.
••AB丄平面EBD,BE?
平面EBD,/ABJBE.iBE=BC=AD=4,
••Szabe=2ABBE=4「DEJBD,平面EBD丄平面ABD,/ED丄平面ABD.而AD?
平面ABD,
••ED1AD,「Smde=qADDE=4.综上,三棱锥EABD的侧面积S=8+2.3.
4、在正三棱柱ABC-A1B1G中,若AB=2,AA=1,求点A到平面ABC的距离。
6如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱
证明⑴•PA丄底面ABCD,•CD丄FA.
又矩形ABCD中,CD丄AD,且ADAPA=A,
•CD丄平面PAD,•CD丄PD.
⑵取PD的中点G,连接AG,FG.又•G、F分别是PD、PC
的中点,
•GF綊2CD,•GF綊AE,•四边形AEFG是平行四边形,•AG/EF.
•PA=AD,G是PD的中点,•AG丄PD,•EF丄PD,
VCD丄平面PAD,AG平面PAD./•CD丄AG.aEF丄CD.
•••PDACD=D,aEF丄平面PCD.
AiF丄BE.(3)线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?
【规范解答】
(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE//BC.2分
又因为DE?
平面AiCB,
所以DE//平面AiCB.4分
(2)由已知得AC丄BC且DE//BC,
所以DE丄AC.
所以DE丄AiD,DE丄CD.
所以DE丄平面AiDC.6分
又AiF?
平面AiDC,
所以DE丄AiF.
又因为AiFdCD,CDADE=D,
所以AiF丄平面BCDE,
又BE?
平面BCDE,所以AiFJBE.9分
⑶线段AiB上存在点Q,使AiC±
平面DEQ.理由如下:
如图,分别取AiC,AiB的中点P,Q,贝UPQ//BC.
又因为DE/BC,所以DE/PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由⑵知,DE丄平面AiDC,所以DE丄AiC.
又因为P是等腰三角形DAiC底边AiC的中点,
所以AiCJDP.又DPADE=D,所以AiC丄平面DEP.i2分从而AiC丄平面DEQ.
故线段AiB上存在点Q,使得AiC丄平面DEQ.i4分
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