初三函数图象平移及其典型例题docxWord文档格式.docx
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教师可以采取以下措施:
①借助儿何価板演示儿个对应点的位置关系,如:
ZAC、向左平移两个单位、/cC、
(2,2)畑空业》(0,2);
(-2,2)向圧平移两个小位〉(42)
②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出,并用带箭头的线段表示平移过程。
2、用同样的方法得出y=丄兀彳的图像砒「忤两个你〉),=丄(兀_2)2的图像。
2
3、请你总结二次函数y=a(x+m)2的图象和性质.
当mAO时
向左平移m个单位、1
》,=妙2(GHO)的图像>
y=_L(x_2)2的图像。
当mY0时向右平移|m|个单位2
函数〉,=。
(兀+加尸的图像的顶点坐标是(・m,0),对称轴是直线x=・m
4、做一做
(1)、
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2
y=-3(x-l)2
J=-4(x-3)2
⑵、填空:
1、由抛物线y=2x2向平移个单位可得到尸2(x+l)2
2、函数y=-5(x-4)2的图彖。
可以由抛物线向平移4个单位而得到的。
3、对于二次函数y=--(x-4)2,请冋答下列问题:
1把函数y=--x2的图像作怎样的平移变换,就能得到函数y=--(x-4)2的图像?
2说出函数y=--(x-4)2的图像的顶点处标和対称轴。
1.
第3题的解答作如下启发:
这里的m是什么数?
大于零还是小于零?
应当把=-亍兀的图像向左平移还是向右平移?
在此同吋用平移的方法画出函数y=--(x-4)2的大致图像(事先画好函数y=-~x2的图像),借助图像有学牛回答问题。
五、探究二次函数y=a{x+m)2-^-kWy=ax2图像Z间的关系
1、在上面的平面直角坐标系屮画出二次函数『=丄(x+2)2+3的图像。
首先引导学牛观察比较y二丄(兀+2几与y二丄(兀+2尸+3的图像关系,直观得出:
y=*(x+2)2,的图像向I:
平移3个单位》y=*(x+2)2+3的图像。
(结合多媒体演示)
再引导学牛刚才得到的y=Lx2的图像与),=£
(兀+2)2,的图像之间的位置关系,由此得出:
只要把抛物线
当m”0时
向左平務m个单位
当mY0时向右平移|m|个单位
y=-(x-2)2的图像
y=-x2先向左平移2个单位,在向上平移3个单位,就可得到函数y=-(x+2)2+3的图像。
22
函数解析式
图像的对称轴
图像的顶点坐标
12
V=—X
y=扣+2尸,
17
y=-(x+2)2+3
3、总结y=a(x^m)2的图像和y=ax2图像的关系
当kAO时
y=+k的图像。
向上平移n】个单位
当kY0时向卜•平移个单位
y=a(x+m)2+k的图像的对称轴是直线x=・m,顶点处标是(-m,k)。
口诀:
(m、k)正负左右上下移(m左加右减k上加下减)
1、函数y=a(x+m)2+k的图像和函数y=ox2图像Z间的关系。
2、函数y=a(x+/)2+a的图像在开口方向、顶点处标和対称轴等方面的性质。
1、了解二次函数图像的特点。
2、掌握一般二次函数y=a兀$+bx+c的图像与y=ax2的图像之间的关系。
3、会确定图像的开口方向,会利用公式求顶点处标和对称轴。
二次两数的图像特征
例2的解题思路与解题技巧。
一、回顾知识
1、二次函数y=tz(x+m)2+k的图像和y=6/x2的图像Z间的关系。
2、讲评上节课的选作题
对于函数y=-^2-2x4-1,请回答卜•列问题:
(1)对于函数y=-x2-2x+l的图像可以由什么抛物线,经怎样平移得到的?
(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么?
y=-x2-2x4-1思路:
把『=一兀2—2兀+1化为y=a(x-}-m)2+k的形式。
=-(x2+2x-1)=-[(x2+2兀+1)—2卜-[(兀+1)2_2卜_(兀_1)2+2
在),=—(兀一1)2+2中,m、k分别是什么?
从而可以确定山什么函数的图像经怎样的平移得到的?
二、探索二次函数y=ax2+/?
x+c的图像特征
1、问题:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象及图象的形状、开口方向、位置乂是怎样的?
学生有难度时可启发:
通过变形能否将y=ax2+bx4-c转化为y=a(x+m)2+k的形式?
z2c、
=a(x^+—%+—)=a
aa
y=ax~+bx+c
由此可见函数y=俶2+加+。
的图像与函数y=血2的图像的形状、开口方向均相同,只是位迸不同,可以
通过平移得到。
2、二次函数y=ax2+bx^c的图像特征
(1)二次函数y=ax24-/?
x+c(a^O)的图象是一条抛物线;
hb4ac—b?
(2)对称轴是直线x=-—,顶点坐标是为(-匕,)
2a2a4a
(3)当a>
0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点。
当a<
0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
三、巩固知识
1、例1、求抛物线y=-^x2+3x-|的对称轴和顶点处标。
有由学牛自己完成。
师牛点评后指出:
求抛物线的对称轴和顶点坐标町以采丿IJ配方法或者是用顶点坐标公式。
3、(补充例题)例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为(・1,2),且图像过点(1,・3)。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的图像打坐标轴的交点坐标。
(此小题供有余力的学生解答)
分析与启发:
(1)在已知抛物线的顶点处标的情况下,将所求的解析式设为什么比较简便?
四、小结
1、函数y=ax2+/?
x+c的图像与函数y=ax2的图像之间的关系。
2、函数y=ax2+bx^c的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。
3、函数的解析式类型:
一般式:
y=ax2-}-bx-\-c
顶点式:
y=a(x+m)2+k
2.(2012广东佛山8分)⑴任选以下三个条件中的-个,求二次函数尸0?
+加+c的解析式;
®
y随x变化的部分数值规律如下表:
-1
1
3
y
4
2有序数对(一1,0),(1,4),(3,0)满足_v=a?
+/zr+c;
3已知函数y^aj^+bx+c的图象的…部分(如图).
(2)直接写出二次函数尸/+加+c的三个性质.
【答案】解:
(1)由①的表格可知,抛物线顶点坐标为(1,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)坤4,
将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-lo
•二抛物线解析式为尸一(x—1)却4,即y=—x2+2x+3o
(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:
1对称轴为x=h
2当x=l时,函数:
有最大值为4;
3当况<
1时,y随x的増大而増大,当云>
1时,y随x的増大而减小。
【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的图象,二次函数的性质。
【分析】
(1)选择①,观察表格可知抛物线顶点坐标为(1,4),设抛物线顶点式,将点(0,3)代入确定a的值;
选择②,将(一1,0),(1,4),(3,0)分别代入尸a/+tiz+c得方程组,解之即可;
选择③,同①。
(2)根据抛物线的对称轴,开口方向,増减性等说出性质。
3.(2012广东梅州10分)
(1)已知一元二次方程2+严+?
=0(/?
2-4gr>
0)的两根为Xi、x2;
求证:
x}+x2=-p.X\*x2=q.
(2)已知抛物线〉"
+阳与x轴交于A、B两点,且过点(・1,・1),设线段AB的长为d,当卩为何值时,护取得最小值,并求出最小值.
【答案】
(1)证明:
Ta=l,b=p,c=q,p2-/>
0,
bC
/.X]+x2=——=-p,X]K=—=qo
(2)解:
把(・1,-1)代入尸d+px+q得p-q=2,即q=p-2。
设抛物线)与a•轴交于A、B的坐标分别为3,0)、(烁0)。
・*.S=(A]-兀2)2=(X|+x2)2~4X]・X2=/F・4q=p2・4p+8=(/;
-2)'
+4。
・•・当p=2时,d2的最小值是4o
4.(2012浙江杭州8分)当R分别取-1,1,2时,函数尸(£
・1)/・4对5・&
都有最大值吗?
请写出你的判断,并说明理由:
若冇,请求出最大值.
•・•当开口向下时函数尸(—1)^-4x+5-k取最大值
:
.k-1<
0,解得k<
\o
・°
•当Q・1时函数y=(左・1)F・4x+5-k有最大值,当R1,2时函数没有最大值。
・••当Q・1时,函数尸・2?
・4对6=・2(小1)2+8o
・••最大值为8。
【考点】二次函数的最值。
【分析】首先根据函数有最大值得到R的取值范由,然后判断即可。
求最大值时将函数解析式化为顶点式或川公式即可。
5.(2012江苏徐州8分)二次函数尸X2+bx+c的图彖经过点(4,3),(3,0)。
(1)求b、c的值:
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)在所给坐标系中画出二次函数尸x'
+bx+c的图彖。
(1)•・•二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0),
[3=16+4b+c[b=-4
\,解得O
[0=9+3b+c[c=3
(2)V该二次函数为y=x2一4x+3=(x-2『一1。
•••该二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),对称轴为尸1。
(3)列表如下:
X
•••
描点作图如下:
6.(2012湖北荆州12分)已知:
y关于X的函数尸(R・1)H・2心钛+2的图象与兀轴有交点.
(1)求£
的取値范围;
(2)若尤1,勺是函数图象与*轴两个交点的横坐标,且满足-1)x}2+2kx2+k+2=4xiX2•
①求R的值;
②当匕症好2时,请结合函数图彖确定y的故大值和故大值.
(1)当炉1时,函数为一次函数y=-2x+3,其图象与x轴有一个交点。
当好1时,*|数为二次*|数,英图象与x轴有一个或两个交点,
令尸0得(k・1)P・2kx+k+2=0.
△=(-2£
)2・4(―1)(H2)>
0,解得医2・即k<
综上所述,R的取值范鬧是£
三2。
(2)①••X打2,由
(1)知R<
2且砂1。
由题意得(A:
-1)X|2+(R+2)=2g(*),
XVx|+x2=
2k
V-l
k+2
2kk+2
:
・2k=4・
k-1k-1
将(*)代入(Z:
-1)x/+2Ax2+好2=4“兀2中得:
2k(x]+x2)=4兀i兀2。
解得:
k{=-1,k2=2(不合题意,舍去)所求k值为・1。
13
②如图,V^=-1,2?
+2x+1=-2(X-—)2+-,且-1*1,
山图彖知I:
当尸・1时,y^=-3;
当尸一时,y妣尸一。
2/2
・“的最大值为3,垠小值为・3。
7.(2012山东淄博8分)已知:
抛物线y=-*(x+l)2.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表;
-7
-3
♦♦•
-9
T;
「:
■;
-!
「丨J!
H!
n—J
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.
(1)抛物线的对称轴为x=-lo
(2)填表如下:
999
-5
5
-4
(3)描点作图如下:
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