乒乓球赛制中的数学问题文档格式.docx
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11分制的施行,使比赛的偶然性增强,让一些二流选手有机会战胜一流选手.“但这个偶然性应有度”.王家声说:
“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰,三四流选手进决赛,那它就不是好规则了.”本文将应用数学这一有效的工具对11分制与21分制作出定量的比较分析来说明乒乓球11分制改革能否能达到预期的目的.
二问题分析
平时,我们常听到这么一种说法,某运动员“没有发挥正常水平”或“超水平发挥”
其实这种说法反映出一个问题,即运动员(队)在其所从事项目上的固有技能水平是一个随机变量,运动员在具体的一次比赛中,其比赛成绩总是在其固有技能水平附近上下起伏波动.
在假设甲、乙两位选手比赛过程中每打一球双方赢球的几率(概率)都为定值的前提下,应用概率及函数图像等数学工具定量分析比较在11分制与21分制中各流选手在交锋时获胜的可能性.并且对以前所采用过的11分制的5局3胜与21分制的3局2胜制和11分制的7局4胜与21分制的5局3胜制的情况也作了定量比较分析.进而通过数学结论来回答:
在两位选手交锋中,11分制与21分制相比较,11分制使比赛偶然性增加(在一个度的范围内),使一些二流选手有机会战胜一流选手,一些三流选手有望战胜二流选手,不仅有利于该运动项目的推广,同时也增添了对抗的激烈性,使比赛的场面更富于观赏性.
三模型假设
1甲、乙两位选手进行交锋时,每打一球甲、乙获胜的概率均为定值.即甲、乙对决,每打一球甲胜的概率为p,则乙获胜的概率为q(p+q=1,0£
p£
1).
2每场比赛彼此独立,每人都能正常发挥其水平.
3 两位选手之间进行(2n-1)局n胜比赛时,如果某人(队)在比赛中赢了n局,则
表明该选手(队)获得胜利,从而比赛结束.
4在11分制中,若出现10:
10,则继续比赛,直到哪位选手最先胜对方两球(即两分),
则表明此选手在该局中获胜.21分制类似.
四符号约定
p:
表示甲、乙两人进行乒乓球比赛,每打一球甲获胜的概率(0£
1);
q:
表示甲、乙两人进行乒乓球比赛,每打一球乙获胜的概率(q=1-p),
即每交锋一次甲得一分的概率为p,则乙得一分的概率是1-p;
f11(p):
表示11分制下每比赛一局甲获胜的概率;
f21(p):
表示21分制下每比赛一局甲获胜的概率;
Wn(p):
表示甲、乙交锋时,假设甲每胜一局的概率为f(p)的情况下,在(2n-1)
局n胜制下甲获得最终胜利的概率(n=4,3,2);
W11,5-3(p):
表示新赛制(11分制)5局3胜制下甲最终获胜的概率;
W11,7-4(p):
表示新赛制(11分制)7局4胜制下甲最终获胜的概率;
W21,3-2(p):
表示旧赛制(21分制)3局2胜制下甲最终获胜的概率;
W21,5-3(p):
表示旧赛制(21分制)5局3胜制下甲最终获胜的概率.
五模型建立
模型一 设每打一球甲胜的概率为p,用A表示11分制下一局结束时“甲获胜”
这一随机事件.用An表示11分制下“打了n个球后一局结束而且甲获胜”这一随机事件(n³
11).
通过分析可知
¥
A=UAn,于是可得
n=11
¥
P(A)=å
P(An)
⑴ 在没有出现双方对战到10比10平的情况,甲已经赢得11个球获胜,则该局结
束.
即当n=11+i(0£
i£
9并且取整数)时:
An={第1个1+球i甲胜并且前个球1中0+甲i胜个乙胜了1个0 , i }
又已知各次交锋彼此独立进行,应用概率知识可得:
n n n
P(A)=C10p10qip=C10p11qi (n=10+i,0£
9且iÎ
N*)
⑵若出现了双方战成10平的情况,则双方继续比赛,直至甲比乙多胜两球(两分)时,
则该局甲获胜.分析可知,此刻比赛共计打了n个球,且n为偶数.
设n=20+2m
(mÎ
N*并且m³
1)
分析比赛过程可知:
m-1
An={前个20球中甲,乙各胜个1球0第个}球I和{第2个0球+2甲i-乙1各胜一个2球0+2i }
i=1
I{第2个0球+2和m第-1个球均为甲20胜+2m }
于是 P(A20+2m)=P(前个20球中甲,乙各胜个1球0 )´
Õ
P(第2个0球+2和i-第1个球甲乙2各0+胜2一i个球 )´
P(第2个0球+2和m第-1个球均为甲20胜+2m )
20
=C10p10q10(2pq)m-1p2
=C10p12q10(2pq)m-1
9 ¥
综上可知
f11(p)=P(A)=å
P(A11+i)+å
P(A20+2m)
i=0 m=1
=på
C
9
11 10
10+i
i=0
q+å
Cpq(2pq)
i 101210 m-1
m=1
q+Cpqå
(2pq)
利用极限知识可得
å
n
(2pq)m-1=lim
n®
m=1
(2pq)m-1=1
1-2pq
即 f(p)=p11å
C10
qi+1 C10p12q10
(其中q=1-p,0£
1) ⑴
11 10+i
1-2pq 20
同理可得21分制下每比赛一局甲获胜的概率
19
f(p)=p21 C20
qi+1 C20p22q20
1) ⑵
21 20+i
1-2pq 40
模型二 假设甲、乙交锋时,甲每胜一局的概率为f(p),用B表示7局4胜制下比
赛结束“甲最终获胜”这一随机事件.用Bn表示7局4胜制下“打了n局后比赛结束且甲最终获胜”这一随机事件(n=4,5,6,7).
分析可知 B=B4UB5UB6UB7
7
于是 P(B)=å
P(Bn)
n=4
=P(前局4甲胜局4第)局+甲P(胜且5前局甲胜了4局 3 )
+P(第6局甲胜且前局5甲胜了局3 )
+P(第7局甲胜且前局6甲胜了局3 )
4
=f(p)4+C3f(p)3[1-f(p)]f(p)
+C3f(p)3[1-f(p)]2f(p)+C3f(p)3[1-f(p)]3f(p)
5 6
3
=å
3+i
f(p)3[1-f(p)]i
f(p)=
f(p)4å
[1-f(p)]i
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