2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题答案详解Word格式.doc
- 文档编号:3616494
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOC
- 页数:19
- 大小:975.43KB
2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题答案详解Word格式.doc
《2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题答案详解Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题答案详解Word格式.doc(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
①式左右两边对空气弹簧承载面的整直位移y微商,可知空气弹簧的劲度系数K满足
③
②式左右两边对y微商得
④
由题意知,空气弹簧主气室内体积V和有效承载面积Ae相对于平衡位置的竖直位移的变化率为
⑤
联立①③④⑤式得,空气弹簧劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为
⑥
在高铁上下乘客的情形下,主气室内气体压强和体积变化满足等温过程
n=1⑦
由⑥⑦式得
⑧
在列车行中遇到强烈顛簸的情形下,主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程
⑨
式中,是空气的定压摩尓热容Cp与定容摩尓熱容CV之比
⑩
由⑥⑨式得
⑪
(2)主气室连通附加气室后,如果车辆振动频率较低,例如情形i),空气弹簧变形较慢,可认为在任意瞬间,空气弹簧主气室的压强与附加气室的压强相同,两气室间的压强差可视为零。
两气室的空气作为一个整体,经历等温过程。
空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系
⑫
对于情形i),车辆系统的振动频率较高,空气弹簧主气室内部的压力和体积变化较快,主气室与附加气室之间来不及进行气体流动,此时空气弹簧的容积相当于主气室容积单独作用,经历绝热过程。
空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为
⑬
2.一质量为m半径为R的均质实心母球静置于水平桌面上,母球与桌面之间的滑动摩擦因数为μ。
将球杆调整到位于过球心的竖直平面内保持水平,并击打母球上半部,球杆相对于球心所在水平面的高度为,击打时间极短;
母球获得的冲量大小为P,方向水平。
假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为g。
(1)问击打后经过多长时间母球开始做纯滚动?
求母球达到纯滚动时球心的运动速度;
(2)记母球达到纯滚动时(以此时刻为计时零点)母球上与桌面接触点为B,求此后的t′时刻球上B点的位置、速度与加速度。
(2),,,
(1)对击球过程应用刚体质心运动的动量定理,有
①
式中,是击打结束后的瞬间母球质心的速度(与冲量P同向)。
母球受到的相对于其质心的冲量矩为
②
对击球过程应用刚体转动的角动量定理有
③
式中,是在击打结束后的瞬间母球的转动角速度。
母球的转动惯量为
④
在击球结束后的瞬间,母球上与桌面相接触的点A的速度为
⑤
由①②③④⑤式可知,在击球结束的瞬间,母球上A点的速度为
⑥
A点沿着x轴(取x轴正向与P同向)负方向滑动。
小球受到沿x轴正方向的摩擦力Ff为
⑦
在击球结束后的时刻t,应用刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有
⑧
⑨
式中,取与同向为正。
由①①②③④⑧⑨式可知,t时刻母球质心的速度和绕质心转动的角速度分别为
⑩
⑾
在t时刻,A点的速度为
⑿
由⑿式可知,接触点A的速度随时间的增加逐渐由负值变为
时,母球开始做纯滚动。
由上式和⑿式得,母球被击打后经过时间
⒀
开始做纯滚动,此时母球球心C的速度为
⒁
(2)由纯滚动条件知,在任意时刻t′>
0,水平滚动距离等于B点(此点就是在击球结束后的瞬间母球上与桌面相接触的点A)从时刻t′=0到时刻r'
经过的弧长,该弧长对应的圆心角为
⒂
B点在时刻t′的位置为
⒃
⒄
这里,以B点在t'
=0的位置为坐标原点,x轴与P同向,y轴正向竖直向上。
⒃⒄式两边对时间求导得,B点速度分量为
B点速度的大小为
⒅
设B点速度的方向与水平方向的夹角为,则
故
⒆
将B点速度分量对时间求导得,B点的加速度分量为
加速度大小为
⒇
方向指向母球球心C。
3.负微分电阻效应是指某些电路或电子元件(如隧道二极管)在特定的电压范围内其电流随端电压增加而减少的特性,该效应可在电路中维持高频振荡并输出放大的交流信号。
在图所示的简化电路中,D为一隧道二极管,其左侧由一定值电阻R、一电感L和一电容C串联组成,回路交流电流记为i(t);
其右侧由一理想的高频扼流圈RFC(直流电阻为零,完全阻断交流信号)和一理想恒压直流电源V0组成,回路直流电流记为I(1>
>
|(t)|),已标示电流正方向。
D始终处在特定电压范围内,这时其电阻值为-R0(R|>
0,且为一定值)。
(1)已知t=0时,i(0)=0,i(0)=β≠0(表示a对t微商);
交流电流随时间的变化满足,(、、、为待定常量)试确定常量、、、,以确定任意时刻t的交流电流(t);
(2)试说明在什么条件下左侧回路中会发生谐振?
并求在发生谐振的情形下左侧回路中电流iB(t)和谐振频率fH;
(3)试说明在什么条件下左侧回路中会发生RLC阻尼振荡?
并求此时左侧回路中电流为iD(t)和振荡频率fD;
(4)已知该隧道二极管D正常工作(即能保持其具有负微分电阻效应)的范围为Vmin≤VD≤Vmax,(Vmin、Vmax为已知常量)试求该隧道二极管上交流部分可能达到的最大平均功率、以及此时理想恒压直流电源的输出电压V0。
(1),,;
(2);
(3)
(1)左侧回路电势之和为零,有
题给的的一般形式是
②
由初始条件有
由③式知
,④
将②式代入①式得
得
两边对t微商得
不失普遍性,可设(因为可视为但的极限情形)。
上式对任意的时刻t都等于零;
因而,各指数项的系数均应为零,即
解得
另一种选择、,导致同样的结果。
由③⑥式得
,⑦
由②⑥⑦式得
(2)要在左侧回路中产生谐振(即电流i(t)持续等幅振荡),须使电路的能量不随时间耗损,同时电流随时间期性变化。
因而有
注意,⑨式第一式直接导致⑨式第二式。
所以,⑨式第一式是此电路发生谐振的条件。
由⑧式和⑨式第一式得
请振频率为
(3)要在左侧回路中产生RLC阻尼振荡(即电流i(t)振幅随时间t衰减),须使电路的能量不断随时间耗损,同时电流随时间周期性变化。
由②国式得
⑭
这是电路发生阻尼振荡条件。
由⑧⒁式得
振荡频率
(4)若要使得隧道二极管上交流部分的平均最大,同时以要确保隧道二极管始终工作在负电阻区域,则须使隧道二极道上的直流偏置电压处在工作电压范围的中间位置
此时的交流部分电压可达到最大振幅
考虑到右侧回路中电压源为理想恒压电源,且理想的高频扼流圈RFC的直流电阻为0,由回路电势之和为0可知
此时,隧道二极管交流部分的最大平均功率为
4.劳伦斯(E.O.Lawrence)在1930年首次提出了回旋加速器的原理:
用两个半圆形磁场,使带电粒子沿图弧形轨道旋转,反复通过两半圆縫陬间的高频电场加速而获得较高能量。
他因这个极富创意的方案而获得了1939年的诺贝尔物理学奖。
已知数据:
质子质量mp=938.3MeV/c2,真空中的光速e=300×
108m/s。
(1)目前全球最大的回旋加速器是费米实验室中的高能质子同步加速器Tevaron(粒子运行最大回旋圆轨道的周长为Lmax=6436m)。
可以将一质子加速到的最大能量为=1.00×
106MeV。
假设质子在被加速过程中始终在垂直于均匀磁场的平面内运动,不计电磁辐射引起的能量损失。
求该同步加速器Tevatron将质子加速到上述最大能量所需要的磁感应强度的最小值Bmin。
(2)高能入射质子轰击静止的质子(靶质子)。
可产生反质子,反应式为。
求能产生反质子时入射质子的最小动能,并判断第
(1)间中的Tevaton加速的质子是否可以袭击静止的靶质子而产生反质子。
5.星际飞行器甲、乙、丙如图所示:
在惯性系E(坐标系O-xy)中观测到飞行器甲和乙在同一直线上朝y轴负方向匀速飞行,飞行器丙在另一直线上朝y轴正方向匀速飞行:
两条飞行直线相互平行,相距d。
三艘飞行器的速度在惯性系中分别为、、(是沿y轴正方向的单位矢量),图中飞行器旁的箭头表示其飞行速度的方向。
假设飞行器甲、乙、丙的尺寸远小于d。
(1)某时刻,飞行器甲向乙发射一个光信号,乙收到该信号后立即将其反射回甲。
据甲上的原子钟读数,该光信号从发出到返回共经历了时间(Δt光信号)甲=T。
试求分别从惯性系和乙上的观测者来看,光信号从甲发出到返回甲,所经历的时间各是多少?
从甲上的观测者来看,从甲收到返回的光信号到甲追上乙需要多少时间?
(2)当飞行器甲和丙在惯性系S中相距最近时,从甲发射一个小货物(质量远小于飞行器的质量,尺寸可忽略),小货物在惯性系中的速度大小为。
为了让丙能接收到该货物,从甲上的观测者来看,该货物发射速度的大小和方向是多少?
从乙上的观测者来看,货物从甲发射到被丙接收所需时间(Δt货)乙是多少?
(1);
(2)
(1)光信号从飞行器甲发出到返回甲,从惯性系中的观测者来看,所需时间为
根据狭义相对论速度合成法则,飞行器甲相对于飞行器乙的速度为
式中,最后的等号右边的负号表示飞行器甲相对于乙的速度沿y轴负方向,余类推,从飞行器乙上的观测者来看,光信号从飞行器甲发出到返回甲所需时间为
从飞行器甲上观测者来看,飞行器甲收到返回的光信号时,飞行器甲和乙间的距离为
从甲收到返回的光信号到甲追上乙所需的时间为
(2)考虑小货物在惯性系中的速度,为了让小货物能被飞行器丙收到,小货物速度的y分量应该与飞行器丙相同
据题意,小货物在惯性系中的速度大小为
小货物速度的x分量为
由题意,这里取正号
惯性系相对于飞行器甲的速度为
,
根据狭义相对论速度合成法则,从飞行器甲上的观察者来看,小货物速度的两个分量分别为
从飞行器甲上的观测者来看,小货物发射速度的大小为
发射方向与飞行器甲的运动方向之间的夹角为
回到参考系,货物从发送到接收所用的时间为
货物在y方向上位移为
从飞行器乙上的观测者来看,设货物从发送到接收的时间为,由洛伦兹变换公式得
6.光纤陀螺仪是一种能够精确测定运动物体方位的光学仪器,它是现代航海、航空和航天等领域中被广泛使用的一种惯性导航仪器。
光纤陀螺仪导航主要基于下述效应:
在一个半径为R、以角速度Ω转动的光纤环路(见下图)中,从固定在环上的分束器A分出的两束相干光分别沿逆时针(CCW)和顺时针(CW)方向传播后回到A,两者的光程不一样。
检测两束光的相位差或干涉条纹的变化,可确定该光纤环路的转动角速度口。
真空中的光速为c。
(1)如下图,光纤由内、外两层介质构成,内、外层介质的折射率分别为n1、n2(n1>
n2)。
为了使光能在光纤内传输,光在输入端口(端口外介质的折射率为n0)的入射角i应满足什么条件?
(2)考虑沿环路密绕N匝光纤,首尾相接于分束器A,光纤环路以角速度Ω沿逆时针方向旋转。
从A分出两束相干光沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播,又回到A。
已知光传播介质的折射率为n1,两束光在真空中的波长为,间两束相干光分别沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播的时间tCCW和tCW为多少?
这两束光的相位差为多少?
试指出该相差与介质折射率n1之间的关系。
(3)为了提高陀螺系统的微型化程度,人们提出了谐振式光学陀螺系统。
该系统中含有-一个沿逆时针方向旋转的光学环形腔,其半径为R,旋转角速度为Ω(RΩ<
<
c),已知腔中的介质折射率为n,在腔内存在沿逆时针和顺时针方向传播的两类共振模式。
当环形腔静止时,这些模式的波长由周期边界条件决定,其中m为正整数,称为共振模式的级次。
当环形腔旋转时,同一级次(均为m)的沿顺时针和逆时针方向传播的共掘模式存在一-个共振频率差Δf,试导出环形腔转动角速度Ω与该共振频率差Δf之间的关系。
(2)见解析;
(1)设光在光纤端口以角度i入射到内层介质,折射角为i'
,进而以入射角i"
入射到内外层分界面上,如图所示
由折射定律得
为了使光能在光纤内传输(全反射),应有
式中,iC是内层介质(相对外层介质)的全反射的临界角,应该满足
由几何关系有
由上可行
即
(2)当圆环形陀螺仪沿逆时针以角速度Ω转动时,其环路切向线速率为ΩR,由狭义相对论速度变换公式知,沿逆时针和顺时针方向传播光相对实验室参照系的线速度分别为
式中,n1为光传播所通过的介质的折射率,沿逆时针和顺时针方向传播的光绕N周回到出发点所需要的赶时间为tCCW和tCW,它们分别由以下方程决定
由上可以解得
沿逆时针和顺时针方向传播的这两束的相差为
可知相差与介质的折射率无关
(3)在旋转的环形腔中,存在沿逆时针方向和顺时针方向传播的共振模式,沿顺时针和逆时针方向传播的共振光波的波长满足以下条件(m表示谐振波的级次)
这里,LCW、LCCW分别表示在环形腔旋转的情况下沿顺时针和逆时针方向传播的共振光波的波前从分束器A发出又回到A所经过的路程,即
取N=1及n1=n可得
可知,沿顺时针和逆时针方向传播的同一能次(m相同)的两个共振模式之间的频率差为
7.激光干沙引力波天文台(LIGO)2015年首次探测到了十亿光年外双黑洞并合产生的引力波,证实了爱因斯坦理论关于存在引力波和黑洞的预言。
黑洞并合过程分为三个阶段:
第一阶段(旋近阶段),两黑洞围绕系统质心在同一平面内做近似圆周的运动(见图),损失的机械能转化为引力辐射能,两者螺旋式逐渐靠近;
第二阶段(并合阶段),双黑洞并合为一个黑洞;
最后阶段(衰荡阶段),并合的黑洞弛豫至平衡状态,成为一个稳定的旋转黑洞。
在旋近阶段,若忽略黑洞的自转和大小,则双黑洞均可视为质量分别恒为M与m的质点。
它们之间距离I。
随时间而逐渐减小。
假定系统除了辐射引力波外无其它能量耗散,不考虑引力辐射的反作用,可用牛顿引力理论进行近似处理。
(1)引力波辐射功率除了与引力常量G成正比之外,还可能与两黑洞的质量M与m、两黑洞之间的距离L、以及系统绕质心的转动惯量I、转动角速度和辐射引力波的传播速度(其大小等于真空中的光速c)有关,试选取描述转动体系辐射的三个物理量与G一起导出引力波辐射功率的表达式(假设其中可能待定的无量纲比例常数为);
(2)若在初始时刻t=0时两黑洞之间的距离为L0,且引力波辐射功率表达式中的无量纲比例常数是已知的,求两黑洞从t=0时开始绕系统质心旋转360°
所需要的时间;
(3)当两黑洞从t=0时开始绕系统质心旋转多少度时,它们间的距离恰好是其初始距离的一半?
(1)
(2)(3)
(1)引力波辐射功率的表达式
式中是无量纲的比例系数,是待定幂次,则
由上式得
由方程组解得
,,
联立解得
(2)两黑洞绕质心做近似圆周运动,设质量为M和m的两黑洞相距L,到系统质心的距离分别为R和r,由牛顿引力定律得
由上式联立得
则系统总能量
则引力波辐射功率P满足
系统对其质心的转动惯量为
对上式两边积分
由得
式中两黑洞从时刻开始绕质心旋转一圈
代入上式得
(3)由上边联立得
当时
对应的旋转系数为
8.将电传输信号调制到光信号的过程称为电光调制。
电光调制器的主要工作原理是电光效应:
以铌酸锂电光晶体为例,其折射率在电场作用下发生变化,从而改变输入光束的光程,使电信号信息转移到光信号上。
电光调制器光路图如上图所示,P1、P2分别为起偏器和检偏器,两者结构相同但偏振方向相互垂直(图中P(‖x1)、P(‖x2)表示P1、P2的偏振方向分别x1与x2为坐标。
轴平行),长度为l、厚度为d的电光晶体置于P1、P2之间,晶体两端面之间加有电压V(以产生沿x3方向的电场,强度大小为E);
真空中波长为的光波经过起偏器P(‖x1)后沿x3方向入射至电光晶体,折射后分为两束偏振方向(分别与快轴x′1和慢轴x′2平行)相互垂直的光波,写轴x′1与x1轴、x′2轴与x2轴均成45°
夹角;
电光晶体内沿x′1、x′2方向的折射率分别为,其中n0为o光的折射率,为常量,由晶体本身性质决定:
两束光从电光晶体出射后经波片,最终由检偏器P(‖x2)获取。
(1)一束圆频率为的光入射到电光晶体左端面,电场强度为。
求光通过电光晶体后的相位变化和光强变化:
当出射光束之间的相位差为π时,电光晶体起到一个“波片”的作用,此时所用的外加电压称为半波电压,求。
(2)设外加电信号电压为,是调制信号频率。
若光波不经过波片而直接进入检偏器P2,求出射光束的光强透过率(出射光与入射光强度之比》与电信号电压的关系。
只有在电光调制器的透过率与调制电压具有良好的线性关系时,电信号转移到光信号后信号才不失真。
求光线经过波片和检偏器B时,出射的光束光强透过率与电信号电压的关系,并指出波片所起的作用。
(3)电光调制器的等效电路如下图左半部所示:
电光晶体置于两平行板电极间,两平行板间的电光晶体可等效为由电阻R和电容C的电阻-电容并联外电路:
v为外加信号电压,Rm为调制电源和导线的电阻,通常满足R>
Rm。
试证明:
在图中开关断开的情形下,当,实际加载至电光晶体上的电压的满足,即调制效率极低。
(4)为了提高调制效率,添加(即将图中开关合上)如图右半部所示的并联谐振回路(图中,RL为负载电阻,L为线圈的电感),试证明。
19
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2020 37 全国中学生 物理 竞赛 复赛 试题答案 详解