高中数学新人教A版必修5第一章 12第二课时 三角形中的几何计算.docx
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高中数学新人教A版必修5第一章12第二课时三角形中的几何计算
第二课时 三角形中的几何计算
预习课本P16~18,思考并完成以下问题
(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积?
(2)已知三角形的面积如何求其他量?
三角形的面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absinC=bcsinA=acsinB.
[点睛] 三角形的面积公式S=absinC与原来的面积公式S=a·h(h为a边上的高)的关系为:
h=bsinC,实质上bsinC就是△ABC中a边上的高.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)公式S=absinC适合求任意三角形的面积( )
(2)三角形中已知三边无法求其面积( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )
解析:
(1)正确,S=absinC适合求任意三角形的面积.
(2)错误.已知三边可利用余弦定理求角的余弦值,再求得正弦值,进而求面积.
(3)正确.已知两边和两边的夹角可直接求得面积,已知两边和一边的对角,可求得其他边和角,再求面积.
答案:
(1)√
(2)× (3)√
2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则S△ABC=( )
A. B.
C.D.3
解析:
选B S△ABC=absinC=×2×3×=.
3.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A的大小为( )
A.60°或120° B.60°
C.120°D.30°或150°
解析:
选A 由S△ABC=bcsinA得
=×2××sinA,
所以sinA=,
故A=60°或120°,故选A.
4.等腰△ABC中,顶角A=30°,腰长AB=1,则底边BC=________.
解析:
易知∠B=∠C=75°,
由正弦定理知:
=,
∴BC=.
答案:
三角形面积的计算
[典例] (2017·北京高考)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
[解]
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sinC==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积
S=bcsinA=×8×3×=6.
(1)求三角形面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法,这样不仅能减少一些不必要的计算,还能使计算结果更加接近真实值.
(2)事实上,在众多公式中,最常用的公式是S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积,反过来,给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式.
[活学活用]
△ABC中,若a,b,c的对角分别为A,B,C,且2A=B+C,a=,△ABC的面积S△ABC=,求边b的长和B的大小.
解:
∵A+B+C=180°,又2A=B+C,∴A=60°.
∵S△ABC=bcsinA=,sinA=,
∴bc=2.①
又由余弦定理得3=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2×2×,
即b2+c2=5.②
解①②可得b=1或2.
由正弦定理知=,∴sinB==.
当b=1时,sinB=,B=30°;
当b=2时,sinB=1,B=90°.
三角恒等式证明问题
[典例] 在△ABC中,求证:
=.
证明:
[法一 化角为边]
左边==·
====右边,
其中R为△ABC外接圆的半径.
∴=.
[法二 化边为角]
左边==
===右边(cosC≠0),
∴=.
1.三角恒等式证明的三个基本原则:
(1)统一边角关系.
(2)由繁推简.
(3)目标明确,等价转化.
2.三角恒等式证明的基本方法
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系,然后进行化简、变形.
(2)把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理,然后利用三角函数公式进行恒等变形.
[活学活用]
在△ABC中,求证:
=.
证明:
右边=
=·cosB-·cosA
=·-·
=-
=
=左边,
所以=.
与三角形有关的综合问题
题点一:
与三角形面积有关的综合问题
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
解:
(1)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,
得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1,
即cos(B+C)=-,
从而cosA=-cos(B+C)=.
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