泛函分析总结Word格式.docx
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全体.对ca,b1中任意两点
x<
(t)-y(t).
rm
oO'
lp(1乞p<
+立)空间记lph
X=°
k匕
z
Xk
p
<
0>
k=1
J
x,y,定义d(x,y)=鹦耳
d(x,y)=送Xi—%
2
i
设x=%a,y=M二j,定义
二度量空间的进一步例子
例1序列空间S
令S表示实数列(或复数列)的全体,对-X二:
匚,y二;
、y匸,
风-yk
1Xk-yk
例2有界函数空间BA
设A是一个给定的集合,令BA表示A上有界实值(或复值)函数的全
体.-x,yBA,定义dx,y=supxt-yt.
teA
例3可测函数空间MX
设MX为X上实值(或复值)的可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若mX:
:
:
对任意两个可测函数ft及gt,由于
fft)-g(tj
诃W1,故不等式左边为X上可积函数■令
2度量空间中的极限
设"
xn二是X,d中点列,若-x■X,s.t.
limdxn,x=0
n»
则称\n和是收敛点列,x是点列*鳥的极限.
收敛点列的极限是唯一的.若设Xn既牧敛于x又收敛y,则因为
0-dx,y-dx,xn'
dy,xn>
0n「:
,而有dx,y=0.所以
x=y.
注()式换一个表达方式:
limdxn,x=dlimxn,x.即当点列
0苇样nyfj
极限存在时,距离运算与极限运算可以换序.更一般地有
距离dx,y是x和y的连续函数.
证明dx,y_dx,xo+dx°
yo+dy°
y=
dx,y-dxo,yo<
dx,x°
+dy°
y;
dxo,yo-dx°
x+dx,y+dy,y°
-■dx°
yo-dx,y
_dx,xo+dyo,y.所以|dx,y-dx°
y°
|—dx,x°
y
具体空间中点列收敛的具体意义:
1.欧氏空间RnXm=x「,X2m,…,Xnm,m=1,2,…,为Rn中的点列,X=Xi,X2,,Xn-Rn,
dXm,x=:
jX!
-X!
x2_X2Xn-Xn.Xm“X
(mt临)二对每个1兰i兰n,有xjm匚Xj(mt比).
2.Ca,b1设乂魚Ca,b1,xCa,b】,贝U
dXn,X=maXXnt-Xt>
0n•'
=火‘心在1一致收敛于
X.
3.序列空间S设Xm=/,「「,「,…,m=1,2,,及X=!
「2,…「n,…分别是S中的点列及点,贝U
-1|缎)7|
d(Xm,^^——TO(mTd)uXm依坐标收敛于X.
“21平•
4.可测函数空间MX设CfnMX,fMX,则
因dfn,
fn(t)一f(t)
II
Vfnt-ft
3度量空间中的稠密集可分空间
定义设X是度量空间,N和M是X的两个子集,令M表示M的闭包,若NM,则称集M在集N中稠密,当N=X时,称M为X的一个稠密子集•若X有一个可数的稠密子集,则称X是可分空间.
例1n维欧氏空间Rn是可分空间.事实上,坐标为有理数的点的全体是Rn的可数稠密子集.
例2离散距离空间X可分二X是可数集.
例3I:
是不可分空间.
4连续映照
定义设X=X,d,Y=Y,d是两个度量空间,T是X到Y中的
T〜
映射:
X=X,d>
Y=Y,d.X。
X,若-;
0,:
0,s.t.
-x•X且dx,x。
,都有〜Tx,Tx0:
;
,则称T在X。
连续:
定理1设T是度量空间X,d到度量空间Y,〜中的映射:
T
X,d:
rY,d,则T在xo连续=当xn>
xo时,必有TXn>
Txo.
定理2度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映射=任意开集MY,T’M是X中的开集.
定理2度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映照=任
意闭集MY,TJM是X中的闭集.
5柯西点列和完备度量空间
定义1设X=(X,d)是度量空间,2爲是X中的点列.若
V名>
0,三N=N(e卢N,s.t.当m,naN时,有d(xn,xme,则称
汶n:
需是X中的柯西点列或基本点列•若度量空间(X,d)中每个柯西点列都收敛,则称(X,d)是完备的度量空间.
在一般空间中,柯西点列不一定收敛,如点列1,1.4,1,41,1.412,
在R1中收敛于2,在有理数集中不收敛.
但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.
定理1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间=M是X中的闭子空间.
常见例子:
(1)C(收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间
(2)ca,b1是完备的度量空间
(3)pa,b】
(实系数多项式全体)是不完备的度量空间
6度量空间的完备化
定义1设(X,d),(只,~)是两个度量空间,若存在X到久上的
保距映射T(-X1,X2•X,有d(TX1,TX2)=d(x「x?
)),则称(X,d)
和(乂,~)等距同构,此时称T为X到文上的等距同构映照。
等距同构映照是1-1映射.因设-x1,x^X,且x^x2,则因
d(X1,X2)0及d(TX1,TX2)=d(X1,X2)0,知Tx^TX2.
定理1(度量空间的完备化定理)设X=(X,d)是度量空间,那么一定存在一完备度量空间文=(文,~),使X与乂的其个稠密子空间W等
距同构,并且文在等距同构意义下是唯一的,即若(X,d?
)也是一完备
度量空间,且X与X的其个稠密子空间w等距同构,则(只,3)与
(X,(?
)等距同构.
7压缩映照原理及其应用
定义设X是度量空间,T是X到X中的压映照,若存在一个数:
•:
0:
:
:
1,s.t.-x、yX,成立
dTx,Ty乞:
dx,y
则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照).
定理1.(压缩映射定理)设X是完备度量空间,T是X上的压缩映照,则T有且只有一个不动点(即方程Tx=x有且只有一个解).
补充定义:
若TX=X,则称X是T的不动点,即X是T的不动点二X是方程TX=X的解。
定理2.设函数fx,y在带状域a一x一b,-二:
y:
■二中处处连续,且处处有关于y的偏导数fyx,y,若存在常数m和M,满足m:
M,0m<
fyx,y<
M,则方程fx,y=0在区间G,b】上必有唯一的连续函数y=逍x作为解:
fx,「x三0,la,bl
8赋范线性空间和Banach空间
线性空间+范数=线性赋范空间线性赋范空间+完备性=巴拿赫空间定义1设X是任一非空集合,若K是一个数域(R或C),如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭,且-x,y,zX,■,…LK,满足:
1)
(加法交换律)
(加法结合律)
(零元素存在性)
(逆元存在性)
x+y=y+x
2)(x+y)+z+x+(x+y)
3)X,使x+=x
4)3x'
X,使x+x'
=8
称X为线性空间或
则称x+y为x与y的和,■x为数■与x的数乘,向量空间(实或复),X中的元素称为向量。
定义(范数,赋范线性空间)设X为是实
(或复)数域F的线性空间,若对*X,存
在一个实数x于之对应,且满足下列条件:
⑵|ax|=|c(|||x||,弋F;
(正齐(次)
性)
⑶Xy|.|xy,x,yx;
(三角不等
式)
则称x为x的范数(norm),称(X,•)(或:
X)为赋范线性空间
定义完备的赋范线性空间称为巴拿赫(Banach)空间。
例子:
C[a,b],空间|p,n维Euclidean空间Rn,L[a,b],
都是Banach空间。
度量空间与赋范线性空间区别:
度量空间是定义了度量的线性空间,也就是两个元素之间的长度”满足非负性、对称性、三角不等式。
赋范线性空间就是定义了范数的线性空间,其满足范数公理(非负性,齐次性,三角不等式)
联系:
都是在线性空间的前提下讨论的。
赋范线性空间是一种特殊的度量空间
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