圆的标准方程.docx
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圆的标准方程
课题:
圆的标准方程
克拉玛依市第十三中学彭菊
一、设计思路:
教师引导、学生自主阅读、合作交流思考、探索新知。
二、教材分析:
、地位:
本节课是人教A版必修二第四章圆与方程的第一节课——圆的标准方程,本节内容是在学生认识圆,熟知圆的几何性质,研究了直线与方程,知道了在直角坐标系中,通过方程可以研究直线的相关问题,对数形结合的思想有了初步的体验,在此基础上进一步探究圆的方程,是后面通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆问题的基础。
2、作用:
承上:
和直线方程相结合,进一步完善解析几何的本质学习:
用代数方法研究图形的几何性质,体现数形结合的重要数学思想。
启下:
是后面运用代数方法研究圆的其它相关知识的基础和关键,也是培养学生学习思想、学习方法的关键。
3、三维目标:
知识与技能:
1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法:
培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,化归与转化思想。
通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数法处理几何问题的思想。
情感态度与价值观:
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,锻炼学生的意志品质,培养学生的爱国热情。
4、教学重点:
圆的标准方程。
解决办法:
通过教师引领,学生自学,层层递问,巩固练习五种手段解决
5、教学难点:
根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
解决办法:
教师示范,学生小组交流,相互补充
三、学情分析:
小学阶段学生已初步认识了圆,学生具备了一定的生活经验和知识基础.但这些认识较多的是感性认识。
初中阶段学生已经具备一定的分析、归纳能力,以及研究直线图形的经验,并且对圆的几何性质有了一定的认识。
高二的学生已经学习了直线与方程。
知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步的体验。
四、教学方法:
教法:
教师主要采用“引导”的方式.教师巧设情境和活动,以旁激侧引的方式使学习不断深入。
学法:
“自主交流探究”的方法学生在自主交流探究互相协作和谐发展,感受知识的生成过程。
五、教学流程:
新课导入学生自主阅读,共同探究圆的标准方程练习巩固探究用代数的方法判断点与圆的位置关系例题讲解小结巩固练习作业布置。
六、教学过程:
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
活动1
新课导入
展示祖冲之图像、生活中圆的图片。
直角坐标系里点、直线的表示。
师:
认识图像中的人吗?
生:
祖冲之
师:
他的主要成就是什么?
生:
圆周率
师:
圆周率跟那种几何图形有关
生:
圆
师:
圆与我们的生活是密不可分,比如(放幻灯)。
大家知道在直角坐标系中点可以用坐标来表示,任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示,那么圆是否也可以用代数方程来表示呢?
这就是这节课我们研究的问题------圆的标准方程(板书)。
1、在陌生环境中拉近师生关系。
2、回顾学生对圆的认识。
3、引出新课
活动2
探索新知一
圆的标准方程:
圆心(a,b)半径r
师:
请同学们阅读教科书P118至P119第一行,并思考以下几个问题:
1、确定圆的基本要素有哪些?
2、假设圆心C为(a,b),半径为r,点M(x,y)是圆上任意一点,则|MC|与半径r有何关系?
3、你能用数学表达式表示出|MC|与半径r的关系吗?
4、你能得到圆的标准方程吗?
从方程中你能看到圆的圆心和半径吗?
反过来,给你圆心和半径能写出圆的方程吗?
1、培养学生阅读能力
2、学生体会圆的标准方程的生成过程
3、感受代数式所表达的几何意义。
活动3
课堂练习
1、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
(2)
(3)
圆心(-1,-2),半径|m|
2、写出下列各圆的方程:
(1)圆心在点C(3,4),半径是
(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(3)已知两点P1(4,9),P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程。
学生口答完成第1题的三个小题。
若出现问题,教师引导,其余学生补充及完善。
学生动笔完成第2题。
教师巡视,并指导。
若第三小题出现问题严重,则采取下列步骤:
(师:
那第三题呢?
第三题圆心、半径都不知道。
学生:
直径的中点就是圆心。
用到中点公式得到圆心为(2,2)
学生:
半径是直径的一半得2。
(或者计算圆心到P1的距离)所以圆的方程为
)
1、加深学生对圆的标准方程的认识
2、培养学生分析问题的能力
3、体会用代数方法解决几何问题的过程。
4、总结求圆的方程圆心和半径的寻求方法。
活动4
探求新知二、
你能判断下列各点与圆
的位置关系吗?
M(6,9)
N(3,3)
Q(5,3)
师:
你能解决这个问题吗?
若能,请你说出判断方法,若有困难,请阅读教科书P119例一并完成。
生:
将三点分别带入方程得到M点在圆上N、Q点不在圆上
师:
那么N点、Q点不在圆上,不在圆上又可以有哪几种位置关系?
生:
圆内,圆外。
师:
我们再观察N点、Q点代到原方程左端不等于右端,那不等于有可以分为哪几种情况?
生:
大于和小于。
点在圆内则左端小于右端,点在圆外则左端大于右端。
师:
同学们现在具体判断点N和点Q与圆的位置关系。
生:
点N在圆外,点Q在圆内。
师:
太棒了!
其实初中我们已经学过判断点与圆的位置关系的方法:
只需要对比点与圆心的距离d与r的大小。
(1)点在圆上时d=r;
(2)点在圆内时d (3)点在圆外时d>r。 师: 现在我们又有了代数方法: 若圆为 点为( )。 则: (幻灯打出来)(其实代数式左端开方就是两点的距离) 1、培养学生阅读,提取信息的能力。 2、培养学生观察事物之间联系的能力 3、利用代数方法判断点与圆的位置关系 4、体会代数式所表达的几何意义 活动5 例题讲解 例: 已知 ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。 解: 设所求圆的方程是 ,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程。 于是 解得: 所以圆的方程为: 师: 刚才研究了点与圆的位置问题,现在请问同学们几点确定一条直线 生: 两点确定一条直线。 师: 那么几点确定一个圆呢? 生: 不共线的三点确定一个圆。 师: 对,而且只能确定一个圆。 现在老师给出三个点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)(幻灯上: 在坐标系中给出这三个点)它们确定唯一的圆(幻灯出示),那同学们想一下这个圆的方程如何求解呢? 生: 三点在圆上,则可带入圆的标准方程中,得到方程组,解方程组即可。 生: 连接三点,相当于求三角形的外接圆。 师: 那外接圆的圆心你能找到吗? 生: 两条边中垂线的交点。 师: 那中垂线的方程怎么求? 生: 找到中点,和斜率。 师: 现在请同学们选择你们支持的方法求解这个圆的标准方程。 师: 有困难吗? (学生尝试两分钟) 生: 方程组不好解 师: 那老师来帮助你们,解方程组主要方法是消元,如何消元呢? 先消谁容易些呢? 学生: a,b在括号里面,消r容易一些,前两个式子相减。 师: 板书前两个式子相减的过程。 学生: 计算后两个式子相减的过程。 师: 相减得到的等式a-2b-8=0以及a+b+1=0,将两式联立即可解得a=2,b=-3,再带入方程组第一个等式中即可得到 =25 回顾: 这道题我们用了两种方法,方法一: 先设出圆的标准方程,根据题设列出关于a,b,r的(3个方程组成)方程组,解得a,b,r的值,写出圆的标准方程即可。 方法二: 主要是利用几何知识确定圆的要素,分别找到圆心和半径,然后写出圆的标准方程。 2、圆心和半径如何寻求。 (圆心: 中垂线交点,半径: 圆心到圆上一点的距离。 )下面同学们来练习一道。 (师: 两条垂直平分线的方程分别是a-2b-8=0和a+b+1=0与我们方法一中两方程相减得到的等式相同,也就是说方法一中两方程相减得到的方程就是中垂线的方程,这是为什么呢? 学生回家思考,课下交流。 ) 提示: 从代数式表达的几何意义出发。 (若时间允许老师引导学生理解) 1、圆的幻灯展示目的是使得“数形结合”思想的教学落到实处。 2、圆的标准方程的应用 3、让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法使用的过程。 4、培养学生多角度思考问题。 5、归纳几何法找圆心和半径的方法 6、归纳求解圆的标准方程的两种方法。 活动7 小结 1、圆的标准方程 2、圆心寻找方法 3、半径的求法 4、圆的标准方程的求解方法 5、数形结合思想。 学生先说,老师补充。 作业 教科书P124习题4.1A组 第2、3、5、6题。 板书设计 备选习题: 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l: x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程。 七、教学反馈:
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 标准 方程
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