第三十三章概率的计算和估计教材分析.docx
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第三十三章概率的计算和估计教材分析
第三十三章概率的计算和估计教材分析
一、教学目标
1.在具体情境中理解概率的意义,能利用表格或树形图有条理地表示实验的可能结果,会求简单事件的概率.
2.通过实验,能获得事件发生的频率;根据频率的稳定性,会用频率估计事件的概率.
3.经历直观猜想、设计简单的实验、获得事件的频率、根据频率验证猜想的过程,能用摸球或用计算器模拟一些简单实验.
4.通过大量实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实际问题.
二、教科书设计说明
1.本章的内容及其地位和作用.
本章是在第十九章的基础上,进一步学习用表格或树形图求简单事件概率的方法.通过设计模拟实验了解事件发生的频率,对事件发生的概率作出估计,为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础.
2.本章内容在设计上突出了以下特点:
本章的问题情境有两类:
第一类是学生比较感兴趣的摸球实验或游戏,如掷均匀的四面体或六面体骰子,转盘游戏,闯关游戏等;第二类是具有一定实际意义的问题,如抽签问题,调查出生月份等.这些问题大多数可以在实验结果等可能的假定下,直接计算事件发生的概率.但有些随机事件,或者概率计算过于复杂,或者不能直接计算概率,通常要进行重复实验,用事件发生的频率来估计概率.
计算简单事件的概率,关键是明确实验的所有可能结果是什么,并判断这些结果是否等可能发生,计算所有可能结果的总数以及事件包含的结果数.利用表格和图形有条理地列举实验结果,便于进行概率计算.有些问题很难进行实际调查或实验,可以利用号码球(卡片)或用计算器模拟实验.
从研究方法上,多采用合情推理.鼓励学生对事件发生的概率进行直观猜想,然后直接计算概率或通过重复实验用频率估计概率,验证猜想的合理性.这样有利于激发学生的学习兴趣,引起数学思考.
从内容的展现方式上,对于概率的计算问题,突出利用表格或图形等多种方式表示或列举实验结果.根据问题的引导,经历观察思考、一起探究、相互交流、归纳和概括的过程,形成解决问题的一般策略.对于概率的估计,大多以提出问题,引导学生进行直观猜想,通过设计模拟实验,收集并整理实验数据,获得事件发生的频率,用频率来估计概率的模式展开.然后让学生交流,表达自己的观点,消除一些错误的认识,形成正确的经验.
三、教学活动的建议
1.对于用列举法计算概率的教学,重在引导学生经历探索的过程,包括用适当方法表示实验结果,列举所有的实验结果,判断实验结果的等可能性,正确地计数并求出概率.通过设计大量学生熟悉而有趣的问题,让学生充分观察思考和讨论交流,发现规律,形成解决问题的策略.在这个过程中,使学生进一步丰富对概率的背景的认识,理解概率的意义.
2.对于由两个分实验构成的实验,可以借助树形图列举实验的所有可能结果,在等可能的条件下计算事件的概率,也可以借助树形图利用乘积求某些事件的概率.在教学中,要结合具体问题,引导学生在观察与思考的基础上发现一般规律,理解用这种方法求概率的合理性.
3.对于概率的估计的教学,重点是根据现有条件设计适当的模拟实验.课前要准备好实验材料,有的实验可以让学生在课前进行.课堂上要精心组织好分组实验、汇总数据、统计分析和学生交流.在活动过程中,让学生体会用频率估计概率的思想.
四、课时安排建议
33.1用列举法求概率2课时
33.2概率树形图2课时
33.3概率的估计1课时
33.4几何概率1课时
回顾与反思1课时
合计7课时
五、评价建议
1.知识与技能的评价.
要结合实际背景和解决问题的过程,关注学生对概率意义的理解及在理解基础上的应用.关注学生能否用字母、符号、表格和图形等清晰地表达求事件的概率的过程.
2.数学思考的评价.
对于学生发现问题、思考问题能力的评价,要关注学生在学习活动过程中能否积极进行独立思考;能否从不同角度提出问题、发现规律而形成猜想,并有意识地直接计算或设计实验验证自己发现的规律.
3.情感与态度的评价.
关注学生能否清晰条理地与同学进行交流.了解学生直观经验的合理性与局限性,关注学生能否通过活动澄清一些认识.
33.1用列举法求概率教材说明
本节主要内容是利用表格和图形列举实验的可能结果,求事件的概率,选取的问题情景都是学生比较感兴趣的实验或游戏。
教学中不能忽视试验的作用,因为,要使学生真正理解概率的意义就必须重视概率实验。
教学时重在让学生经历观察思考、一起探究、相互交流的过程,包括用适当方法表示实验结果,列举所有的实验结果,判断实验结果的等可能性,正确计数并求出概率。
重点:
掌握用列表法求简单事件概率的方法。
难点:
了解概率的意义,探究抽签的公平性问题。
教学目标
知识与技能:
1.对于一些简单的问题,学会通过列举举出所有机会均等的结果以及其中所关注的结果,求出某一事件的概率。
2.会利用表格、图形表示实验的所有可能结果。
过程与方法:
小组讨论探究如何画出适当的表格,列举出事件的所有等可能结果,从而正确求出某事件发生的概率。
情感态度价值观:
通过用列举法求事件的概率,培养合作意识,形成缜密的思维习惯。
33.1用列举法求概率教学建议
第一课时
本节课在所有试验结果可能的条件下,学习利用表格条理地表示试验结果,求简单事件的概率。
本节课的重点是:
要求学生能理解掷一个四面体有4个等可能的结果,从而掷两次四面体有4×4=16个等可能的结果。
拥有序数对并列表表示所有可能的结果,正确计算两个数的和分别为2,3,…,8所包含的结果数,从而计算相关的概率。
关于“一起探究”的教学,建议根据提出的问题先让学生分组讨论,相互交流,理清解决问题的方法步骤,教师给予适当的概括。
让学生通过例题的学习,规范解题过程。
在本节课“一起探究”和例1的内容中,求事件概率的一般步骤为:
用数对表示试验结果,列表条理地表示试验的所有可能结果,判断所有试验结果的等可能性,计算所有可能结果的个数及各事件包含的可能结果数,求出相应实践的概率。
关于“做一做”,先让学生独立完成,然后交流求这些事件的概率的方法。
如,利用实验结果表,和为偶数包含8个可能结果,概率为
;还可以利用已有结论:
和为偶数的概率等于和为2,4,6,8对应的概率纸盒,即
。
第二课时
本节课难点是探究抽签的公平性问题,对于该问题有三种观点:
①先抽者有利(中奖概率大);②后抽者中奖概率大;③先抽后抽中奖概率相同。
首先让学生凭已有经验对三种观点展开讨论,充分展示学生的各种认识。
在现有的知识水平下,学生很难说清理由,教师要适当控制局面,不要争论不休。
带着这些疑惑进行下面的环节:
1.“一起探究”的过程,就是按照一定的步骤求每个人中奖的概率的过程。
建议以学生独立思考、小组交流、师生共同归纳概括的方式进行。
目的是让学生了解概率的一般方法步骤,积累经验,澄清错误的认识,进一步理解概率的意义。
其中的难点是不重不漏地列举实验的所有可能结果,对此可以借助于图形的帮助。
2.关于例题的教学,应根据学生的实际情况,尽可能让学生试着完成,然后教师可以提出如下思考问题让学生讨论交流。
①对解法1能用图形列举试验的所有可能结果吗?
②如果不考虑按按钮的顺序,6个结果为什么也是等可能发生的?
③两种解法中,哪种解法容易理解,哪种解法比较简便?
按第一按钮时有4种选择,按第二按钮时有3种选择,所以共有4×3=12个等可能结果。
从两种解法所列的可能结果看,有如下的对应关系:
考虑顺序的结果
1221
1331
1441
2332
2442
3443
不考虑顺序的结果
12
13
14
23
24
34
所以不考虑顺序时的6个结果也是等可能发生的。
解法1容易理解,当实验结果较多时解法2要简便些。
33.1用列举法求概率教学设计
教学设计思想
本节主要内容是利用表格和图形列举实验的可能结果,求事件的概率,选取的问题情景都是学生比较感兴趣的实验或游戏。
教学中不能忽视试验的作用,因为,要使学生真正理解概率的意义就必须重视概率实验。
教学时重在让学生经历观察思考、一起探究、相互交流的过程,包括用适当方法表示实验结果,列举所有的实验结果,判断实验结果的等可能性,正确计数并求出概率。
教学目标
知识与技能:
1.对于一些简单的问题,学会通过列举举出所有机会均等的结果以及其中所关注的结果,求出某一事件的概率。
2.会利用表格、图形表示实验的所有可能结果。
过程与方法:
小组讨论探究如何画出适当的表格,列举出事件的所有等可能结果,从而正确求出某事件发生的概率。
情感态度价值观:
通过用列举法求事件的概率,培养合作意识,形成缜密的思维习惯。
教学重难点
重点:
掌握用列表法求简单事件概率的方法
难点:
了解概率的意义,探究抽签的公平性问题
教学方法
合作探究
教学媒体
多媒体、正四面体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时:
一、观察与思考
一个质地均匀的正四面体(四个面都是等边三角形),四个面上分别标有数字1,2,3,4。
投掷这个四面体,观察地面上的数字。
请大家独立思考:
投掷一次,可能结果是什么?
它们出现的可能性相同吗?
概率各是多大?
学生回答:
掷一次四面体,底面上的数可能是1,2,3,4,它们出现的可能性大小相同,其概率都是
。
二、一起探究
探究1:
如果投掷投掷两次,共有多少种可能结果?
老师引导:
如果用(a,b)表示两次投掷的结果,其中a是第一次投出的数,b是第二次投出的数,那么,a和b分别可能是什么?
将所有可能结果用表格表示
学生活动:
分组讨论,相互交流
解决:
因为每掷一次四面体,都有4个等可能的结果,投掷两次四面体共有4×4=16个等可能的结果。
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
探究2:
将每种结果出现的两个数求和,共有多少个不同的和?
用表格列出
学生活动:
小组探究
+
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
探究3:
观察表格,两数和是4的概率为多少?
学生独立思考,教师给予适当指导。
解决:
从表中可以看出,投掷两次,“两个数的和是4”共有3个等可能的结果,分别为(1,3),(2,2),(3,1),所以
P(两个数的和为4)=
探究4如何计算两个数的和分别为2,3…,8的概率?
填写下表
两个数的和
2
3
4
5
6
7
8
可能结果数
3
对应概率
学生独自求解,然后小组交流,形成共识,老师点评。
探究5在上面的问题中,求两次投掷得到的两个数的和是3的倍数的概率。
学生思考,老师讲解,规范解题步骤
解:
设A=“两个数的和为3的倍数”,在2,3,…,8中,是3的整倍数的数只有3,6。
和为3的实验结果是(1,2),(2,1);和为6的实验结果是(2,4),(3,3),(4,2)。
事件A包含了5个等可能的结果,所以
P(A)=
总结求事件概率的一般步骤:
用数对表示试验结果,列表条理地表示试验的所有可能结果,判断所有试验结果的等可能性,计算所有可能结果的个数及各事件包含的可能结果数,求出相应事件的概率。
三、做一做
在上面问题中,求下列事件的概率。
(1)两个数的和是偶数;
(2)两个数的和是奇数;(3)两个数的和大于5;(4)两个数相同;(5)两个数不同。
学生活动:
独立完成,然后交流求这些事件的概率的方法。
四、练习
将四个面分别标有1,2,3,4的正四面体连续投掷两次,用两次投掷得到的底面上的数按投掷顺序组成一个两位数(第一次投出的数位十位数,第二次投出的数为个位数),求下列事件的概率:
(1)两位数是偶数
(2)两位数是奇数
(3)两位数的个位数和十位数相同。
五、小结
通过这节课我们可以知道求简单事件A的概率,首先要知道实验共有多少个等可能结果,以及事件A包含的可能结果的个数。
用各种表格、图形表示实验所有可能结果会给计算概率带来方便。
六、作业
课本P1641,2,3
七、板书设计
用列举法求概率
掷四面体探究3例题做一做练习
探究1
探究2探究4
第二课时:
一、情景引入
我们一起做个小游戏:
今天那个组做值日呢?
我们不按值日表,而是抽签决定。
然后把全部同学分成3组,然后每组选一个代表上台。
取3张大小相同并分别标有数字1,2,3的卡片,充分混合后扣到桌子上,按甲、乙、丙的顺序,每人分别从中任意抽取一张,规定取到1号卡片的人该小组值日。
游戏完毕后让学生提问:
抽到“幸运签”的概率与他们抽签的顺序有关吗?
学生畅所欲言,说出3种观点:
①先抽者有利(先发制人);
②后抽者中奖概率大;(后发而制人)
③先抽后抽中奖概率相同。
学生凭已有经验对三种观点展开讨论,充分展示学生的各种认识。
下面我们一起用科学的知识来解决这个问题。
二、一起探究
探究1首先大家列出三人按先后顺序抽签的所有可能结果,一共有几种?
这些结果出现的可能性相同吗?
学生小组讨论,列出6种等可能的结果。
探究2甲、乙、丙抽到1号卡片各有多少中可能结果?
学生独自思考,从图形很容易看出甲乙、丙抽到1号卡片均有两种可能结果。
探究3大家计算P(甲中奖)=_________;P(乙中奖)=_________;P(丙中奖)=_________;
探究4仍是三个人参加抽签,但奖品改为2份,并规定抽到1号或2号卡片的可以中奖,那么每个人中奖的概率各是多大?
学生先独立思考,然后小组交流,通过此题,进一步掌握求概率的一般方法步骤,积累经验,澄清错误的认识,理解概率的意义。
通过刚才的一起探究,我们可以知道抽签是一种简单公平的活动,无论谁先谁后,抽到某一签的概率是相同的。
三、做一做
例题(闯关游戏)四个开关按钮中有两个各控制一盏灯,另两个按钮控制一个发音装置。
当连续按对两个按钮点亮两盏灯时,闯关成功,而只要按错一个按钮就会发出“闯关失败”的声音,求闯关成功的概率。
解法一(略)
解法二(略,见课本P166)
四、练习
1.如果三个开关按钮中有两个各控制一盏灯,那么连续按两个按钮,能点亮两盏灯的概率是多大?
2.如果四个开关按钮中有三个各控制一盏灯,那么连续按三个按钮,能点亮三盏灯的概率是多大?
五、小结
通过这节课的学习你有什么收获呢?
六、作业
课本P1671,2,3
板书设计
用列举法求概率
抽签概率例2练习
33.2概率树形图教材说明
对于由两个分实验构成的实验,可以借助树形图列举实验的所有可能结果,在等可能的条件下计算事件的概率,也可以借助树形图利用乘积求某些事件的概率。
在教学时老师做好引导工作,结合具体问题,首先让学生通过独立思考、小组交流,然后老师引导学生发现规律,形成解决问题的策略,理解这种方法求概率的合理性。
重点:
用树形图计算简单事件的概率。
难点:
能读懂图形信息,计算简单事件的概率。
教学目标
知识与技能:
对于一些简单的问题,学会用树形图,列出所有等机会的结果,从而求出所关注的事件发生的概率。
过程与方法:
小组探究,探究用树形图列举事件的所有等可能结果的方法。
情感态度价值观:
通过用树形图求某事件概率,养成合作意识和探索精神,在学习中感悟数学在现实生活中的应用。
33.2概率树形图教学建议
第一课时:
本节提出的转盘游戏是否公平的问题转化为数学问题就是:
“两个数的和为偶数”的概率与“两个数的和是奇数”的概率是否相等。
先用列表的方式求概率,然后探究如何结合组树形图计算概率。
1.对于学生较熟悉的列表法求概率,教师可以提出如下问题:
①如何说明游戏是公平的?
②实验共有多少个可能结果?
这些可能结果是等可能发生的吗?
③事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果?
④如何计算上述两个事件的概率?
这些问题可在教师的引导下,由学生完成。
引导学生观察树形图33—4,回答上面的问题①②③④。
体会用树形图表示实验结果的优点,当实验结果较多时,用树形图表示实验结果就不太方便,可转向探究如何用图33—5这样的图形计算有关概率。
用33—5求概率有一定的难度,所以在图形中给出了全部信息。
建议让学生结合提出的问题,读懂图形所表达的信息,在和同学交流的基础上,发表自己的观点,然后师生共同归纳概括。
通过对比要使学生认识到这种解题方法的合理性,对此,只要求学生掌握一般方法步骤即可。
2.关于“做一做”的教学,应让学生独立完成。
只需注意:
奇×奇=奇,奇×偶=偶,偶×奇=偶,偶×偶=偶。
3.注意事项:
对得到的两个数,若只考虑和的奇偶性,则树形图有4个分支,每个分支对应的一种结果,每个结果的概率是一个乘积。
此处实际上用到了“两个独立事件乘积的概率等于两个事件概率的乘积”这个事实,和为偶数(奇数)的概率是对应两个分支的概率之和,对此,只要求学生能接受计算方法的合理性即可。
第二课时:
本节提供了猜3道题的答案和钉板游戏问题都是三次重复实验模型。
表示结果的树形图有3层。
由于有了上节课的活动经验,相信大多数学生能独立完成探索过程。
1.对于“一起探究”的教学,建议在明确问题的条件和要求下,先由学生独立思考探究,遇到困难可以和同学进行交流,教师根据情况作适当的引导,然后选代表表达他们的探索过程和结论,最后教师作归纳总结。
用列表的方法解决探究问题2,可帮助理解用乘积求概率的合理性。
设每道题的4个选择答案分别用代号a,b,c,d表示,不妨设每道题的正确答案都是a,连续猜两道题,有4×4=16个等可能的结果,所有可能结果及AA,AB,BA,BB的概率如下面表格所示。
a
b
c
D
aa
ab
ac
ad
b
ba
bb
bc
bd
c
ca
cb
cc
cd
d
da
db
dc
dd
事件
AA
AB
BA
BB
结果数
1
3
3
9
概率
2.关于例题的教学,要引导学生结合树形图思考以下问题:
①小球下落的不同路径有几条?
②沿每条路径小球落在哪个格子内?
③每条路径对应一个结果,这些结果是不是等可能发生的?
④小球落在1号、2号、3号、4号格子内有几条路径?
然后让学生理清解题思路的合理性。
33.2概率树形图教学设计
教学设计思想
对于由两个分实验构成的实验,可以借助树形图列举实验的所有可能结果,在等可能的条件下计算事件的概率,也可以借助树形图利用乘积求某些事件的概率。
在教学时老师做好引导工作,结合具体问题,首先让学生通过独立思考、小组交流,然后老师引导学生发现规律,形成解决问题的策略,理解这种方法求概率的合理性。
教学目标
知识与技能:
对于一些简单的问题,学会用树形图,列出所有等机会的结果,从而求出所关注的事件发生的概率。
过程与方法:
小组探究,探究用树形图列举事件的所有等可能结果的方法。
情感态度价值观:
通过用树形图求某事件概率,养成合作意识和探索精神,在学习中感悟数学在现实生活中的应用。
教学重难点
重点:
用树形图计算简单事件的概率
难点:
能读懂图形信息,计算简单事件的概率
教学方法
合作探究
教学媒体
多媒体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时:
一、情景引入
上节课我们学习了用列表法求事件的概率,下面我们就一起来看这道题。
出示题目:
如图,有两个可以转动的圆盘,圆盘
(1)被等分成3个扇形,圆盘
(2)被等分成4个扇形,小明和小亮利用转盘做游戏。
同时转动两个圆盘,等停下时,按圆盘
(1)和圆盘
(2)上指针指向区域的标示得到两个数。
规定:
若两个数的和为奇数,则小明胜;若两数的和为偶数,则小亮胜。
你认为这个游戏公平吗?
提问:
①如何说明游戏是公平的?
②实验共有多少个可能结果?
这些可能结果是等可能发生的吗?
③事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果?
④如何计算上述两个事件的概率?
学生活动:
独立思考,根据老师的提示回答问题,逐步分析题意,用表格表示出所有可能结果,并求解。
现在,我们利用表格清楚地表示了实验的所有可能结果,并分别计算出两数的和为偶数、两数的和为奇数的概率,还有更简便些的方法求解么?
这节课我们就来一起研究一下。
(板书:
概率树形图)。
二、一起探究
探究1我们一起来看小明的设计:
仔细观察上图,回答下面问题:
①实验共有多少个可能结果?
这些可能结果是等可能发生的吗?
②事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果?
③如何计算上述两个事件的概率?
学生对立思考,通过观察图形很快回答出上面问题,体会用树形图表示实验结果的优点。
探究2结合上面图形探讨下列问题
①圆盘
(1)出现奇数和偶数的概率各是多大?
圆盘
(2)出现奇数和偶数的概率各是多大?
②两个圆盘上指针指向的数分别为“奇奇”“奇偶”“偶奇”“偶偶”的概率各是多大?
③两个数的和是奇数和偶数的概率可以分别怎样计算?
探究3当实验结果较多时,用这种图形表示实验的结果就不太方便,请同学们观察下图
试对比两个图的异同,说明各自的优缺点。
学生活动:
小组交流,发表自己的观点
像上面这样的图形叫做树形图(treediagram)。
树形图可以清楚地表示实验结果,辩护计算结果总数。
三、做一做
转动引例中的两个圆盘,得到两个数。
用树形图计算:
P(积为奇数)=_____________,P(积为偶数)=_____________
学生活动:
独立完成
四、练习
课本P170
五、小结
通过这节课的学习,你们有什么收获?
六、作业
课本P1701,2,3
七、板书设计
概率树形图
引例树形图1树形图2做一做练习
法一(表格法)
第二课时:
一、情景引入
提问:
我们学习了计算概率的哪些方法?
请看着得到题目:
有3道竞猜题,每题的四个选项答案中只有一个是正确的。
如果每题任意猜一个答案,那么3道题全部猜对的概率是多大?
二、一起探究
探究1猜第一题的答案时可能猜对,也可能猜错。
用A表示猜对答案,B表示猜错答案,它们的概率各是多大?
学生独立思考,很快得出答案:
猜对的概率为
,猜错的答案概率为
。
探究2连续猜2道题的答案有几种可能结果?
用字母表示这些结果,并求每个可能结果的概率。
(提示:
列表法)
学生活动:
先独立思考,然后小组交流,理解乘积求概率的合理性。
探究3连续猜3道题,下图给出了所有可能结果及每个结果对应的概率。
这些概率是怎样计算的?
小组合作交流,老师做适当引导。
探究4将所有可能结果按猜对题的个数分类,计算下列事件的概率,并填表。
事件
全没有猜对
猜对1道题
猜对2道题
全部猜对
概率
利用你发现的规律,计算有10道四选一的选择题时全部选对的概率。
这个概率比百万分之一小吗?
学生独立思考,举手回答
探究5利用你发现的规律,计算有10道四选一的选择题时全部选对的概率。
这个概率比百万分之一小吗?
学生活动:
小组交流。
P(10道题全部猜对)=(
)10=
,这个概率小于百万分之一。
最后老师总结:
利用树形图将实验的可能结果像树枝分杈一样一层一层表示,每个分支对应一种可能结果,这
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