初中数学培优竞赛讲座第18讲乘法公式Word下载.docx
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一种是由已知的公式,通过推导,得到一些新的公式;
另一种是从大量的特殊的数量关系入手,并用字母表示数来揭示一类数量关系的
【例4】
(1)已知x、y满足x2十y2十
=2x十y,求代数式
的值.(“希望杯”邀请赛试题)
(2)整数x,y满足不等式
,求x+y的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题)
(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:
第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b,乙商场:
两次提价的百分率都是
(a>
0,b>
o),丙商场:
第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?
说明理由.(河北省竞赛题)
思路点拔对于
(1),
(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;
对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.
注:
有些问题常常不能直接使用公式,而需要创造条件,使之符合乘法公式的特点,才能使用公式.常见的方法是:
分组、结合,拆添项、字母化等.
完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论:
(1)
;
揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题.
(2)
应用于代数式的最值问题.
代数等式的证明有以下两种基本方法:
(1)由繁到简,从一边推向另一边;
(2)相向而行,寻找代换的等量.
【例5】已知a、b、c均为正整数,且满足
,又a为质数.
证明:
(1)b与c两数必为一奇一偶;
(2)2(a+b+1)是完全平方数.
思路点拨从
的变形入手;
,运用质数、奇偶数性质证明.
学力训练
1.观察下列各式:
(x一1)(x+1)=x2一l;
(x一1)(x2+x+1)=x3一1;
(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1.
根据前面的规律可得(x一1)(xn+xn-1+…+x+1)=.(武汉市中考题)
2.已知
,则
=.(杭州市中考题)
3.计算:
(1)1.23452+0.76552+2.469×
0.7655:
;
(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992=;
(3)
.
4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式.(大原市中考题)
5.已知
=.(菏泽市中考题)
6.已知
,则代数式
的值为().
A.一15B.一2C.一6D.6(扬州市中考题)
7.乘积
等于().
A.
B.
C.
D.
(重庆市竞赛题)
8.若
的值是().
A.4B.20022C.22002D.42002
9.若
的个位数字是().
A.1B.3C.5D.7
10.如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>
b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是().
B.
C.
D.
(陕西省中考题)
11.
(1)设x+2z=3z,判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?
如果是定值,求出它的值;
否则请说明理由.
(2)已知x2一2x=2,将下式先化简,再求值:
(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1).(上海市中考题)
12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.
13.观察:
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;
(2)根据
(1),计算2000×
2001×
2002×
2003+1的结果(用一个最简式子表示).(黄冈市竞赛题)
14.你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.
(1)通过计算,探索规律.
152225可写成100×
1×
(1+1)+25;
252=625可写成100×
2×
(2+1)+25;
352=1225可写成100×
3×
(3+1)+25;
452=2025可写成100×
4×
(4+1)+25;
……752=5625可写成;
852=7225可写成.
(2)从第
(1)题的结果,归纳、猜想得(10n+5)2=.
(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=.(福建省三明市中者题)
15.已知
=.(天津市选拔赛试题)
16.
(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=.
(2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=.
17.1,2,3,……,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是.(初中数学联赛)
18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=().A.4B.0C.2D.一2
19.方程x2-y2=1991,共有()组整数解.A.6B.7C.8D.9
20.已知a、b满足等式
,则x、y的大小关系是().
A.x≤yB.x≥yC.x<
yD.x>
y(大原市竞赛题)
21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为().
A.0B.1C.2D.3(全国初中数学竞赛题)
22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.(西安市竞赛题)
23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式
的值.(河北省竞赛题)
24.若
,且
,求证:
.(北京市竞赛题)
25.有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用xl,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;
用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数;
……;
用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数.
求证:
.
26.
(1)请观察:
写出表示一般规律的等式,并加以证明.
(2)26=52+12,53=72+22,26×
53=1378,1378=372+32.
任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?
你能说出其中的道理吗?
有人称这样的数“不变心的数”.数学中有许多美妙的数,通过分析,可发现其中的奥秘.
瑞士数学家欧拉曾对26
(2)的性质作了更进一步的推广.他指出:
可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个平方数之和.即
(a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2.这就是著名的欧拉恒等式.
第十八讲乘法公式参考答案
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