三角形证明与计算题练习文档格式.docx
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11.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.
△ADE≌△CBF;
(2)若AC与BD相交于点O,求证:
AO=CO.
12.如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
,点E在AB上.求证:
△CDA≌△CEB.
13.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、F.
BE=CF.
14.如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.
△AOB≌△DOC;
(2)求∠AEO的度数.
15.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:
BE=CD.
16.如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,∠ABC=∠ABD.点E为BC中点,点F为BD中点,连接AE,AF.求证:
AE=AF.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.求证:
∠DBC=∠DCB.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:
AD=CE.
19.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD.对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F.求证OE=OF.
20.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
21.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
AD是△ABC的角平分线.
22.已知:
△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,BQ=AC,点F在CE的延长线上,CF=AB,求证:
AF⊥AQ.
23.(本题有3小题,第
(1)小题为必答题,满分5分;
第
(2)、(3)小题为选答题,其中,第
(2)小题满分3分,第(3)小题满分6分,请从中任选1小题作答,如两题都答,以第
(2)小题评分.)
在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
注意:
第
(2)、(3)小题你选答的是第2小题.
24.如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
25.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:
AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?
若是请给出证明;
若不是,请说明理由.
26.已知:
如图,等腰三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧),AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D、E.
△ADC≌△CEB.
27.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°
,∠C=30°
.
(1)求∠BAE的度数;
(2)求∠DAE的度数;
(3)探究:
小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°
,也能得出∠DAE的度数?
你认为可以吗?
若能,请你写出求解过程;
若不能,请说明理由.
28.如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:
∠CEF=∠CFE.
29.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°
,求∠DBC的度数;
(3)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
30.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°
时,求∠DEF的度数.
参考答案与试题解析
1.(2016•吉安校级一模)如图,Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°
【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF,证明∴△DGC≌△AGF,根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG,根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解:
∵Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°
,
∴BC=BF,BD=BA,
∴CD=AF,
在△DGC和△AGF中,
∴△DGC≌△AGF,
∴GC=GF,又∠ACB=∠DFB=90°
∴∠CBG=∠FBG,
∴∠GBF=(90°
﹣28°
)÷
2=31°
【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定,掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.
2.(2015秋•瑶海区期末)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°
【分析】由△ABC≌△ADE,可得∠DAE=∠BAC=
(∠EAB﹣∠CAD),根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B,因为∠FAB=∠FAC+∠CAB,即可求得∠DFB的度数;
根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB﹣∠D,即可得∠DGB的度数.
∵△ABC≌△ADE,
∴∠DAE=∠BAC=
(∠EAB﹣∠CAD)=
∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°
+55°
+25°
=90°
∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°
﹣25°
=65°
综上所述:
∠DFB=90°
,∠DGB=65°
【点评】本题主要考查三角形全等的性质,找到相应等量关系的角是解题的关键,做题时要结合图形进行思考.
3.(2015春•长春期末)如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C=42°
【分析】
(1)根据全等求出∠EBA的度数,根据邻补角的定义求出即可;
(2)根据全等三角形的性质得出AC=AB=9,AE=AD=6,即可求出答案.
(1)∵△ABE≌△ACD,
∴∠EBA=∠C=42°
∴∠EBG=180°
﹣42°
=138°
;
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴AC=AB=9,AE=AD=6,
∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3.
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键,注意:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
4.(2016秋•定陶县期末)如图,A、D、E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE,试说明:
(1)根据全等三角形的性质求出BD=AE,AD=CE,代入求出即可;
(2)根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°
,推出∠BDE=90°
,根据平行线的判定求出即可.
【解答】
(1)解:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)解:
△ABD满足∠ADB=90°
时,BD∥CE,
理由是:
∴∠E=∠ADB=90°
(添加的条件是∠ADB=90°
),
∴∠BDE=180°
﹣90°
=∠E,
∴BD∥CE.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用,关键是通过三角形全等得出正确的结论,通过做此题培养了学生分析问题的能力,题型较好.
5.(2010•南京)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABC≌△BAD.求证:
(1)要证OA=OB,由等角对等边需证∠CAB=∠DBA,由已知△ABC≌△BAD即可证.
(2)要证AB∥CD,根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD,由已知和
(1)可证∠OCD=∠ODC,又因为
∠AOB=∠COD,所以可证∠CAB=∠ACD,即AB∥CD获证.
【解答】证明:
(1)∵△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA,
∴OA=OB.
(2)∵△ABC≌△BAD,
∴AC=BD,
又∵OA=OB,
∴AC﹣OA=BD﹣OB,
即:
OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠AOB=∠COD,∠CAB=
,∠ACD=
∴∠CAB=∠ACD,
∴AB∥CD.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质.解答时,除必备的知识外,还应将条件和所求联系起来,即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来.
6.(2015•黄冈模拟)已知:
【分析】要证
(1)△BAD≌△CAE,现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°
很易证得.
(2)BD、CE有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂直关系,可向这方面努力.要证BD⊥CE,需证∠BDE=90°
,需证∠ADB+∠ADE=90°
可由直角三角形提供.
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
证明如下:
由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°
∴∠E+∠ADE=90°
∴∠ADB+∠ADE=90°
即∠BDE=90°
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;
全等问题要注意找条件,有些条件需在图形是仔细观察,认真推敲方可.做题时,有时需要先猜后证.
7.(2015•泸州)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:
【分析】先证出∠CAB=∠DAE,再由SAS证明△BAC≌△DAE,得出对应边相等即可.
∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
∴△BAC≌△DAE(SAS),
∴BC=DE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;
熟练掌握全等三角形的判定方法,证明三角形全等是解决问题的关键.
8.(2016•南充)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)由SAS证明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可
(2)证出∠BAN=∠CAM,由全等三角形的性质得出∠B=∠C,由AAS证明△ACM≌△ABN,得出对应角相等即可.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
(2)证明:
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM,
由
(1)得:
△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C,
在△ACM和△ABN中,
∴△ACM≌△ABN(ASA),
∴∠M=∠N.
证明三角形全等是解决问题的关键.
9.(2014•吉林)如图,△ABC和△DAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证:
【分析】根据∠BAC=∠DAE,可得∠BAD=∠CAE,再根据全等的条件可得出结论.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,
在△ABD和△AEC中,
∴△ABD≌△AEC(SAS).
【点评】本题考查了全等三角形的判定,判断三角形全等的方法有:
SSS,SAS,ASA,AAS,以及判断两个直角三角形全等的方法HL.
10.(2016•丹东模拟)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
【分析】此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件,证明△ABD≌△BCE,然后利用全等三角形的性质证明题目的结论.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵CE⊥BD,
∴∠BEC=90°
∵∠A=90°
∴∠A=∠BEC.
∵BD=BC,
∴△ABD≌△BCE.
∴AD=BE.
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质;
此题把全等三角形放在梯形的背景之下,利用全等三角形的性质与判定解决题目问题.
11.(2016•连云港)四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.
(1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°
,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
(2)如图,连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,根据平行四边形的性质即可得到结论.
(1)∵BE=DF,
∴BE﹣EF=DF﹣EF,
即BF=DE,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°
在Rt△ADE与Rt△CBF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL);
(2)如图,连接AC交BD于O,
∵Rt△ADE≌Rt△CBF,
∴∠ADE=∠CBF,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
12.(2016•泉州)如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定证明即可.
∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
∴CE=CD,BC=AC,
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE,
∴∠ECB=∠DCA,
在△CDA与△CEB中
∴△CDA≌△CEB.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键.
13.(2016•沛县校级一模)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、F.
【分析】易证△BED≌△CFD,根据全等三角形对应边相等的性质即可解题.
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴BE=CF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中找出全等三角形并证明是解题的关键.
14.(2012•河源)如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.
(1)由已知可以利用AAS来判定其全等;
(2)再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角.
在△AOB和△DOC中
∵
∴△AOB≌△DOC(AAS)
∵△AOB≌△DOC,
∴AO=DO
∵E是AD的中点
∴OE⊥AD
∴∠AEO=90°
【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握,要熟练掌握这些性质并能灵活运用.
15.(2016•孝感)如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:
【分析】要证明BE=CD,只要证明AB=AC即可,由条件可以求得△AEC和△ADB全等,从而可以证得结论.
【解答】证明;
∵BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,
∴∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中,
∴△ADB≌△AEC(ASA)
∴AB=AC,
又∵AD=AE,
∴BE=CD.
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
16.(2015•武汉模拟)如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,∠ABC=∠ABD.点E为BC中点,点F为BD中点,连接AE,AF.求证:
【分析】根据BC=BD,以及中点的定义证得BE=BF,然后利用SAS即可证得△ABE≌△ABF,然后根据全等三角形的对应边相等即可证得.
∵BC=BD,点E为BC中点,点F为BD中点,
∴BE=BF,
∵在△ABE和△ABF中,
∴△ABE≌△ABF(SAS),
∴AE=AF.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质,证明线段相等的常用方法就是转化为证明三角形全等.
17.(2012•常州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.求证:
【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD,从而证得BD=CD,利用等边对等角证得结论即可.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∴在△ACD和△ABD中
∴△ACD≌△ABD,
∴BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,特别是在应用SAS进行判定三角形全等时,主要A为两边的夹角.
18.(2015•陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:
【分析】根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB,再利用ASA证出△ABD≌△CAE,从而得出AD=CE.
∵AE∥BD,
∴∠EAC=∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EAC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE,
∴AD=CE.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的性质,关键是利用ASA证出△ABD≌△CAE.
19.(2015•孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD.对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F.求证OE=OF.
【分析】欲证明OE=OF,只需推知BD平分∠ABC,所以通过全等三角形△ABD≌△CBD(SSS)的对应角相等得到∠ABD=∠CBD,问题就迎刃而解了.
∵在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ABD=∠CBD,
∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB,OF⊥CB,
∴OE=OF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
20.(2015春•启东市校级月考)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.
∵BD为∠ABC的平分线,
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键.
21.(2016秋•饶平县期末)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形.
∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL),
∴DE=DF,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是角平分线.
【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理,综合运用了直角三角形全等的判定
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