同济第六版《高等数学》教案WORD版第07章空间解析几何与向量代数.docx
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同济第六版《高等数学》教案WORD版第07章空间解析几何与向量代数
高等数学教案§7空间解析几乎与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数
教学目的:
1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的
条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相
互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。
教学重点:
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算;
2、两个向量垂直和平行的条件;
3、平面方程和直线方程;
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件;
5、点到直线以及点到平面的距离;
6、常用二次曲面的方程及其图形;
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点:
1、向量积的向量运算及坐标运算;
2、平面方程和直线方程及其求法;
3、点到直线的距离;
4、二次曲面图形;
5、旋转曲面的方程;
§71向量及其线性运算
一、向量概念
向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有
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高等数学教案
§7空间解析几乎与向量代数
方向
例如力、力矩、位移、速度、加速度等
这一类量叫做向量
在数学上
用一条有方向的线段
(称为有向线段)来表示向量
有向线段的长度表示向量的大
小
有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作
AB
向量可用粗体字母表示
也可用
上加箭头书写体字母表示
例如a、r、v、F或a、r
、v、F
自由向量
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向
所以在数学上我们只研究与起点无
关的向量
并称这种向量为自由向量
简称向量
因此
如果向量a和b的大小相等
且方向相同
则说向量a和b是相等的
记为a
b相等的向量经过平移后可以完全重合
向量的模
向量的大小叫做向量的模
向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|
单位向量
模等于
1的向量叫做单位向量
零向量
模等于0的向量叫做零向量
记作0或0
零向量的起点与终点重合
它的方向可
以看作是任意的
向量的平行
两个非零向量如果它们的方向相同或相反
就称这两个向量平行
向量a与b
平行
记作a//
b零向量认为是与任何向量都平行
当两个平行向量的起点放在同一点时
它们的终点和公共的起点在一条直线上
因此
两向
量平行又称两向量共线
类似还有共面的概念
设有k(k3)个向量
当把它们的起点放在同一点时
如果k个终点和
公共起点在一个平面上
就称这k个向量共面
二、向量的线性运算
1.向量的加法
向量的加法
设有两个向量
a与b
平移向量使b的起点与a的终点重合
此时从a的起点
到b的终点的向量c称为向量a与b的和
记作a+b即ca+b.
三角形法则
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则
平行四边形法则
当向量a与b不平行时
平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形
从
公共起点到对角的向量等于向量
a与b的和a
b
向量的加法的运算规律
C
D
C
c
c
b
b
A
a
B
A
a
B
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高等数学教案§7空间解析几乎与向量代数
(1)交换律abba
(2)结合律(ab)ca(bc)
由于向量的加法符合交换律与结合律故n个向量a1a2an(n3)相加可写成
a1a2an
并按向量相加的三角形法则可得n个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的
起点相继作向量a1a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向
量这个向量即为所求的和
负向量
设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a
向量的减法
我们规定两个向量b与a的差为
bab(a)
即把向量a加到向量b上便得b与a的差ba
特别地当ba时有
aaa(a)0
a
b
ba
b
a
b
a
显然任给向量AB及点O有
ABAOOBOBOA
因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b
与a的差ba
三角不等式
由三角形两边之和大于第三边的原理有
|ab||a||b|及|ab||a||b|
其中等号在b与a同向或反向时成立
2.向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义
向量a与实数的乘积记作a规定a是一个向量它的模|a||||a|它的方向当>0时与a
相同当<0时与a相反
当0时|a|0即a为零向量这时它的方向可以是任意的
特别地当1时有
1aa
(1)aa
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§7空间解析几乎与向量代数
运算规律
(1)结合律
(
a)
(a)
(
)a;
(2)分配律(
)a
a
a;
(ab)
ab
例1
在平行四边形
ABCD中
设AB
a
AD
b
试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD
其中M是平行四边形对角线的交点
解
由于平行四边形的对角线互相平分
所以
ab
AC2AM
即(ab)
2MA
D
C
于是
MA
1
(a
b)
2
b
M
因为MC
MA
所以
MC
1(ab)
2
又因ab
BD
2MD
所以MD
1(ba)A
a
B
2
MB
MD
MB
1
由于
所以
2(ab)
例1
在平行四边形
ABCD中
设AB
a
ADb
试用a和b表
示向量MA、MB、MC、MD
其中M是平行四边形对角线的交点
解
由于平行四边形的对角线互相平分
所以
D
C
a
bAC
2AM
2MA
b
M
于是MA
1(ab)MCMA
1(ab)
2
2
1(b
A
a
B
因为
a
b
BD2MD
所以MD
a)
MB
MD
1(ab)
2
2
向量的单位化
设a
0
则向量a
是与a同方向的单位向量
记为ea
|a|
于是a|a|ea
向量的单位化
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设a0
则向量a是与a同方向的单位向量
记为ea
|a|
于是a|a|ea
定理1
设向量a
0那么
向量b平行于a的充分必要条件是
存在唯一的实数
使b
a
证明
条件的充分性是显然的
下面证明条件的必要性
设b//
a
取|
||b|
当b与a同向时
取正值
当b与a反向时取负值即b
a这是因为
|a|
此时b与a同向
且
|a||||a|
|b||a||b|
|a|
再证明数
的唯一性
设b
a又设ba
两式相减便得
(
)a
0
即|
||a|0
因|a|0故|
|
0
即
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴
设点O及单位向量i确定了数轴Ox对于轴
上任一点P
对应一个向量OP
由OP//i
根据定理
1必有唯一的实数x使OP
xi(实数x叫做
轴上有向线段OP的值)
并知OP与实数x一一对应
于是
点P向量OP
xi实数x
从而轴上的点
P与实数x有一一对应的关系
据此
定义实数x为轴上点P的坐标
由此可知
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是
OP
xi
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系
注:
(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位
(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线
(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面
在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面
x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面
卦限
三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限
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§7空间解析几乎与向量代数
它位于xOy面的上方
在xOy面的上方
按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限
在
xOy面的下方
与第一卦限对应的是第五卦限
按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第
八卦限八个卦限分别用字母
I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示
向量的坐标分解式
任给向量r
对应有点M
使OM
r
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体
有
r
OM
OPPN
NMOPOQOR
设
OP
xi
OQ
yj
OR
zk
则
r
OM
xiyjzk
上式称为向量
r的坐标分解式
xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量
显然给定向量
r
就确定了点
M
及OPxi
OQ
yj
OR
zk三个分向量
进而确定了
、、
xy
z三个有序数
反之
给定三个有序数
x、y、z也就确定了向量r与点M于是点M、向量r与三
个有序x、y、z之间有一一对应的关系
M
rOMxiyj
zk
(x,y,z)
据此定义
有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标
记作r(xyz)
有序数x、y、
z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标
记为M(xyz)
向量r
OM称为点M关于原点O的向径
上述定义表明
一个点与该点的向径有相同的坐
标记号(x
yz)既表示点M
又表示向量OM.
坐标面上和坐标轴上的点
其坐标各有一定的特征
例如
点M在yOz面上
则x0
同相
在zOx面上的点
y
0
在xOy面上的点
z0
如果点M在x轴上则yz0
同样在y轴上,有
zx0在z轴上的点
有x
y0
如果点
M为原点
则xyz0.
四、利用坐标作向量的线性运算
设a(axayaz)b(bxbybz)
即aaxiayjazkbbxibyjbzk
则ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbxaybyazbz)
ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)
(axbx)i(ayby)j(azbz)k
(axbxaybyazbz)
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a(axiayjazk)
(ax)i(ay)j(az)k
(axay
az)
利用向量的坐标判断两个向量的平行
设a(axayaz)0b(bxbybz)
向量b//ab
a即
b
by
b
b//a(bxbybz)(ax
ayaz)于是
x
z
ax
ay
az
例2求解以向量为未知元的线性方程组
其中a(212)b(112).
5x3ya
3x2yb
解如同解二元一次线性方程组可得
x2a3by3a5b
以a、b的坐标表示式代入
即得
x2(2
1
2)
3(
1
1
2)
(7
1
10)
y3(2
1
2)
5(
1
1
2)
(11
2
16)
例3已知两点A(x1
y1
z1)和B(x2
y2
z2)以及实数1
在直线AB上求一点M
使AM
MB
解由于AMOMOAMBOBOM
因此OMOA(OBOM)
从而OM1(OAOB)
1
(x1x2,x1x2,x1x2)
111
这就是点M的坐标
另解设所求点为M(xyz)则AM(xx1,yy1,zz1)MB(x2x,y2y,z2z)依题意有
AMMB即
(xx1yy1zz1)(x2xy2yz2z)
(xyz)(x1y1z1)(x2y2z2)(xyz)
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(x,y,z)
1(x1
x2,y1
y2,z1
z2)
1
x
x1x2
y1
y2
z1
z2
1
y
z
1
1
点M叫做有向线段
AB的定比分点
当
1点M的有向线段AB的中点
其坐标为
x
x1x2
y1
y2
z
z1z2
2
y
2
2
五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量r(xyz)作OMr则
rOMOPOQOR
按勾股定理可得
|r||OM||OP|2|OQ|2|OR|2
设OPxiOQyjORzk
有|OP||x||OQ||y||OR||z|
于是得向量模的坐标表示式
|r|
x2
y2z2
设有点A(x1
y1z1)、B(x2
y2
z2)
则
ABOBOA(x2y2z2)(x1y1z1)(x2x1y2y1z2z1)
于是点A与点B间的距离为
|AB||AB|
(x
2
x)
2(y
y)2
(zz)2
1
2
1
2
1
例4
求证以M1(43
1)、M2(71
2)、M3(52
3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解
因为|M1M2|2
(7
4)2
(1
3)2
(2
1)2
14
2
(5
2
(2
2
(3
2
6
|M2M3|
7)
1)
2)
|M1M3|2
(5
4)2
(2
3)2
(3
1)2
6
所以|M2M3||M1M3|即M1M
2M3为等腰三角形
例5
在z轴上求与两点
A(
417)和B(3
5
2)等距离的点
解
设所求的点为
M(00
z)
依题意有|MA|2
|MB|2
即
(0
4)2(0
1)2
(z7)2(30)2
(5
0)2(2z)2
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解之得z14
所以
所求的点为M(0,0,14)
9
9
例6
已知两点A(40
5)和B(713)
求与AB方向相同的单位向量e
解因为AB
(7,1,3)
(4,0,
5)(3,1,
2)
|AB|3212
(2)2
14
所以e
AB
1
(3,1,
2
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