高二数学上 第七章 直线和圆的方程 75曲线的方程二教案.docx
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高二数学上第七章直线和圆的方程75曲线的方程二教案
2019-2020年高二数学上第七章直线和圆的方程:
7.5曲线的方程
(二)教案
教学目的:
1.了解什么叫轨迹,并能根据所给的条件,选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程,画出方程所表示的曲线
2.在形成概念的过程中,培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想,以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法
3.培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
教学重点:
求曲线方程的方法、步骤.
教学难点:
定义中规定两个关系(纯粹性和完备性)
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教法分析:
第一课时概念强、思维量大、例题习题不多使用启发方法符合学生的认知规律
第二、第三课时规律性强,题目多,可结合实际灵活采用教学方法.在探索一般性解题方法时,可采用发现法教学,在方法的应用及拓广时,可采用归纳法;在训练与反馈部分,则主要采用讲练结合法进行
教学过程:
一、复习引入:
1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性)
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线
2.定义的理解:
在领会定义时,要牢记关系
(1)、
(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件.两者满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.只有符合关系
(1)、
(2),才能将曲线的研究转化为方程来研究,即几何问题的研究转化为代数问题.这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法
二、讲解新课:
1.坐标法
在笛卡尔以前,人们对代数方程已经有了一定的研究,但是对于二元方程的研究较少,因为大家认识到二元方程的解都是不确定的对于这种“不定方程”,除了有少数人研究它的整数解以外,大多数人都认为研究它是没有意义的,是不必要的。
笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命,他没有把看成是未知数,而是创造性地把看成是变量(从此,变量引入了数学),让连续地变,则对每一个确定的的值,一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽)然后,他把这些点的集合便构成了一条曲线C由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系:
曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解;反之,方程的每一个实数解对应的点都在曲线上这就是说,曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究这种通过研究方程的性质,间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法(就是借助于坐标系研究几何图形的方法)
根据几何图形的特点,可以建立不同的坐标系最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标。
在目前的中学阶段只采用了直角坐标系
2.解析几何的创立意义及其基本问题
在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科,叫解析几何它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科,产生于十七世纪初期,法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者他们创立解析几何,在数学史上具有划时代的意义:
一是在数学中首次引入了变量的概念,二是把数与形紧密地联系起来了解析几何的创立是近代数学开端的标志,为数学的应用开辟了广阔的领域
3.平面解析几何研究的主要问题
根据已知条件求出表示平面曲线的方程;通过方程,研究平面曲线的性质
本节主要通过例题的形式学习第一个问题,即如何求曲线的方程小结时总结出求简单的曲线方程的一般步骤
4.求简单的曲线方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件P的点M的集合;
(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;
(4)化方程为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
三、讲解范例:
选题意图:
考查求轨迹方程的基本方法
例1、设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线 段AB的垂直平分线方程.
M
解:
设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合P={M||MA|=|MB|}由两点间距离公式,点M所适合的条件
可表示为:
将上式两边平方,整理得x+2y-7=0
(1)
证明:
方程
(1)是线段AB的垂直平分线的方程
1、由求解过程知,垂直平分线上点的坐标都是方程的解.
2、设(x1,y1)是方程
(1)的解,x1+2y1-7=0,x1=7-2y1
点M到A、B的距离分别是|MA|=,|MB|=
∴|MA|=|MB|,即M在线段AB的垂直平分线上
由
(1)
(2)知方程
(1)是线段AB的垂直平分线的方程
例2点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M的轨迹方程.
解:
取已知两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如图所示,设点M的坐标为,点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合
P={M||MR|=|MQ|},
其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值,所以条件|MR|=|MQ|可写成||=||即±=0①
下面证明①是所求轨迹的方程
(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程①的解;
(2)设点的坐标是方程①的解,那么±=0,即
||=||,而||、||正是点到纵轴、横轴的距离,因此点到这两条直线的距离相等,点是曲线上的点
由
(1)
(2)可知,方程①是所求轨迹的方程,图形如图所示.
点评:
建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐”
例3设A、B两点的坐标是(1,0)、(-1,0),若,求动点M的轨迹方程
解:
设M的坐标为,M属于集合P={M|}.由斜率公式,点M所适合的条件可表示为
,
整理后得(≠±1)
下面证明(x≠±1)是点M的轨迹方程
(1)由求方程的过程可知,M的坐标都是方程(x≠±1)的解;
(2)设点的坐标是方程(x≠±1)的解,
即
,
∴
由上述证明可知,方程(x≠±1)是点M的轨迹方程
说明:
所求的方程后面应加上条件x≠±1
例4已知一条曲线在轴的上方,它上面的每一个点到A(0,2)的距离减去它到轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程
分析:
这条曲线是到A点的距离与其到轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一部分
解:
设点是曲线上任意一点,MB⊥轴,垂足是B,那么点M属于集合P={M||MA|-|MB|=2}
即=2
整理得,∴
因为曲线在轴的上方,所以y>0,虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应是:
(≠0)
它的图形是关于轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点
例5在△ABC中,已知顶点A(1,1),B(3,6)且△ABC的面积等于3,求顶点的轨迹方程
解:
设顶点的坐标为,作H⊥AB于H,则动点C属于集合P={|},
∵
∴直线AB的方程是,即.
∴|CH|=
化简,得|-3|=6,即-9=0或+3=0,这就是所求顶点的轨迹方程.
点评:
顶点的轨迹方程,就是定直线AB的距离等于的动点的轨迹方程
例6已知△ABC,,第三个顶点在曲线上移动,求△ABC的重心的轨迹方程
解:
设△ABC的重心为,顶点的坐标为,由重心坐标公式得
代入得3
,即为所求轨迹方程
说明:
在这个问题中,动点与点之间有关系,写出与之间的坐标关系,并用的坐标表示的坐标,而后代入的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法
四、课堂练习:
1.求点P到点F(4,0)的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程
解:
设P为所求轨迹上任意一点,
∵点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.
故点P到F(4,0)的距离与点P到直线+4=0的距离|PD|相等
∴|PF|=|PD|
∴=|-(-4)|
∴
2.过点P(2,4)作互相垂直的直线,,若交轴于A,交轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程
解法一:
设M为所求轨迹上任一点,
∵M为AB中点,∴A(2,0),B(0,2),
∵⊥且,过点P(2,4),∴PA⊥PB∴
∵=(x≠1),=
∴·=-1即+2-5=0(≠1)
当=1时,A(2,0)、B(0,4),此时AB中点M的坐标为(1,2),它也满足方程+2-5=0.
∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0
解法二:
连结PM.
设M,则A(2,0),B(0,2)
∵⊥,∴△PAB为直角三角形
∴|PM|=|AB|
即
化简:
+2-5=0
∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0
五、小结:
求简单的曲线方程的一般步骤
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
2019-2020年高二数学上第七章直线和圆的方程:
7.6圆的方程
(二)教案
教学目的:
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点;
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程,进而求出圆心和半径;
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程;
4.渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新、勇于探索
教学重点:
圆的一般方程
的形式特征
教学难点:
对圆的一般方程
的认识直线与圆的位置关系(尤其是圆的切线)
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
内容分析:
遵循从特殊到一般的原则,在学习圆的标准方程的基础上,再过渡到学圆的一般也就不难,它们可以通过形式上的互相转化而解决直线与圆的位置关系(尤其是圆的切线)由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难,因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用突破难点的关键是抓住一般方程的特点,把握住求圆的方程的两个基本要素:
圆心坐标和半径
本节为第二课时讲解圆的一般方程
教学过程:
一、复习引入:
1.圆的定义:
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
2.求曲线方程的一般步骤为:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略,直接列出曲线方程)
(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;
(4)化方程为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)
3.建立圆的标准方程的步骤:
建系设点;写点集;列方程;化简方程
4.圆的标准方程:
圆心为,半径为,
若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是
5.圆的标准方程的两个基本要素:
圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要三个量确定了且>0,圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决
二、讲解新课:
圆的一般方程:
将圆的标准方程的展开式为:
取
得
①
再将上方程配方,得
②
不难看出,此方程与圆的标准方程的关系
(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;
(2)当时,方程只有实数解,,即只表示一个点(-,-);
(3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
综上所述,方程
表示的曲线不一定是圆
只有当时,它表示的曲线才是圆,我们把形如
的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较,圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:
(1)和的系数相同,且不等于0;
(2)没有这样的二次项
但要注意:
以上两点是二元二次方程
表示圆的必要条件,但不是充分条
看来,要想求出圆的一般方程,只要根据已知条件确定三个系数就可以了
1.点与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
直线和圆的方程联立得到一元二次方程,若
三、讲解范例:
例1求过三点的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标
分析:
据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
解:
设所求的圆的方程为:
∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组,
即
解此方程组,可得:
∴所求圆的方程为:
;
得圆心坐标为(4,-3).
或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3)
例2已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线
分析:
在求出曲线方程之前,很难确定曲线类型,所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解:
在给定的坐标系里,设点是曲线上的任意一点,也就是点属于集合
即,
整理得:
所求曲线方程即为:
将其左边配方,得
∴此曲线是以点C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.如右上图所示
例4求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆和的交点的圆的方程
解:
设经过两已知圆的交点的圆的方程为
则其圆心坐标为
∵所求圆的圆心在直线上,
∴
∴所求圆的方程为
说明:
此题也可先求出两圆的交点,然后用待定系数法求出圆的方程
例5如图,已知定点A(2,0),点Q是圆上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于M,当Q点在圆上移动时,求动点M的轨迹方程
解:
由三角形的内角平分线性质,得,∴.
设M、Q的坐标分别为、,则
∵Q在圆上,∴=1,
∴
∴动点M的轨迹方程为
说明:
注意三角形内角平分线性质的应用.
例6.已知直线,曲线有两个公共点,求b的取值范围
解:
由方程组得
消去得,()
和有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解,于是
解得1≤b<为所求
点评:
此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题.此题也可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出及的图形(如图)易得b的取值范围是1≤b<
四、课堂练习:
课堂练习
1.下列方程各表示什么图形?
(1);
解:
此方程表示一个点O(0,0)
(2)
;
解:
可化为:
∴此方程表示以点(1,-2)为圆心,为半径的圆
(3)
解:
可化为:
,
∴此方程表示以(-,0)为圆心,为半径的圆
2.求下列各圆的半径和圆的坐标:
(1)答案:
即,圆心为(3,0),半径为3
(2)答案:
即,圆心为(0,-b),半径为|b|
(3)
答案:
即
,圆心为(,),半径为||
五、小结:
1.对方程
的讨论(什么时候可以表示圆)
2.方程
表示一个圆的充要条件
3.与标准方程的互化
4.用待定系数法求圆的方程
5.圆与圆的位置关系
六、课后作业:
补充:
若实数x、y满足等式,那么的最大值为()
A.B.C.D.
解:
∵实数满足,
∵()是圆上的点,记为P,
∵是直线OP的斜率,记为
∴OP:
代入圆方程,消去,得
直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0,
∴,所以,选D
七、板书设计(略)
八、课后记:
- 配套讲稿:
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- 高二数学上 第七章 直线和圆的方程 75曲线的方程二教案 数学 第七 直线 方程 75 曲线 教案