一轮复习课时作业简单的逻辑联结词全称量词与存在量词2.docx
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一轮复习课时作业简单的逻辑联结词全称量词与存在量词2
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.[2014·唐山市期末]已知命题p:
∀x∈R,x3<x4;命题q:
∃x∈R,sinx-cosx=-
,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬qD.¬p∧¬q
2.已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(¬p)∨qB.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)D.(¬p)∨(¬q)
3.已知命题p1:
∃x0∈R,x
+x0+1<0;p2:
∀x∈[1,2],x2-1≥0,以下命题为真命题的是( )
A.(¬p1)∧(¬p2)B.p1∨(¬p2)
C.(¬p1)∧p2D.p1∧p2
4.下列说法中错误的是( )
A.对于命题p:
∃x0∈R,使得x0+
>2,则¬p:
∀x∈R,均有x+
≤2
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
5.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a=1或a≤-2B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1D.-2≤a≤1
6.下列说法错误的是( )
A.如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:
若“a≠0,则ab≠0”
C.若命题p:
∃x0∈R,ln(x
+1)<0,则¬p:
∀x∈R,ln(x2+1)≥0
D.“sinθ=
”是“θ=30°”的充分不必要条件
7.命题p:
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:
若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )
A.“p或q”是真命题B.“p或q”是假命题
C.¬p为假命题D.¬q为假命题
8.已知命题p:
∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
9.下列命题中正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否定为:
“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”
D.已知命题p:
∃x∈R,x2+x-1<0,则¬p:
∃x∈R,x2+x-1≥0
10.已知命题:
p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数;
p2:
函数y=2x+2-x在R上为减函数;
则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
(¬p1)∨p2和q4:
p1∧(¬p2)中,真命题是( )
A.q1,q3B.q2,q3
C.q1,q4D.q2,q4
二、填空题
11.若命题“存在实数x0,使x
+ax0+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为__________(用区间表示).
12.已知命题p:
“∃x0∈R,4x0-2x0+1+m=0”,若命题¬p是假命题,则实数m的取值范围是__________(用区间表示).
13.已知命题p:
∃a0∈R,曲线x2+
=1为双曲线;命题q:
≤0的解集是{x|1<x<2}.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是真命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨(¬q)”是真命题.其中正确的是__________.
14.下列四个命题:
①∃x0∈R,使sinx0+cosx0=2;②对∀x∈R,sinx+
≥2;③对∀x∈
,tanx+
≥2;④∃x0∈R,使sinx0+cosx0=
.
其中正确命题的序号为__________.
三、解答题
15.已知命题p:
方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:
只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.
16.设命题p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:
实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
教师备选
1.有下列四个命题:
p1:
若a·b=0,则一定有a⊥b;
p2:
∃x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;
p3:
∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒过定点
;
p4:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F≥0.
其中假命题的是( )
A.p1,p4 B.p2,p3
C.p1,p3D.p2,p4
2.设函数f(x)=ax+bx-cx,其中a,b,c是△ABC的三条边,且c>a,c>b,则“△ABC为钝角三角形”是“∃x∈(1,2),使f(x)=0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.设有两个命题p:
不等式
+
>a的解集为R;q:
函数f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数a的取值范围是( )
A.1≤a<2B.2<a≤
C.2≤a<
D.1<a≤2
4.若命题p:
关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x>-
},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“¬p”“¬q”中,是真命题的有__________.
5.下列结论:
①若命题p:
∃x0∈R,tanx0=2;命题q:
∀x∈R,x2-x+
>0,则命题“p∧(¬q)”是假命题;②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;③“设a、b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:
“设a、b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为__________.(把你认为正确结论的序号都填上)
6.已知p:
方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.[2014·唐山市期末]已知命题p:
∀x∈R,x3<x4;命题q:
∃x∈R,sinx-cosx=-
,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬qD.¬p∧¬q
解析:
∵x=0时,x3=x4,∴命题p为假命题,¬p为真命题.又∵x=
时,sinx-cosx=-
,∴q为真命题.∴¬p∧q为真命题,故选B.
答案:
B
2.已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(¬p)∨qB.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)D.(¬p)∨(¬q)
解析:
不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,所以¬p为假命题,¬q为真命题,所以(¬p)∨(¬q)为真命题.
答案:
D
3.已知命题p1:
∃x0∈R,x
+x0+1<0;p2:
∀x∈[1,2],x2-1≥0,以下命题为真命题的是( )
A.(¬p1)∧(¬p2)B.p1∨(¬p2)
C.(¬p1)∧p2D.p1∧p2
解析:
∵方程x2+x+1=0的判别式Δ=12-4=-3<0,
∴x2+x+1<0无解,故命题p1为假命题,¬p1为真命题;
由x2-1≥0,得x≥1或x≤-1,∴∀x∈[1,2],x2-1≥0,故命题p2为真命题,¬p2为假命题.
∵¬p1为真命题,p2为真命题,∴(¬p1)∧p2为真命题.
答案:
C
4.下列说法中错误的是( )
A.对于命题p:
∃x0∈R,使得x0+
>2,则¬p:
∀x∈R,均有x+
≤2
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
解析:
显然选项A正确;对于B,由x=1可得x2-3x+2=0;反过来,由x2-3x+2=0不能得知x=1,此时x的值可能是2,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,选项B正确;对于C,原命题的逆否命题是:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,因此选项C正确;对于D,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,选项D错误,故选D.
答案:
D
5.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a=1或a≤-2B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1D.-2≤a≤1
解析:
若命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0真,则a≤1.
若命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0真,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,a≥1或a≤-2,又p且q为真命题,所以a=1或a≤-2.
答案:
A
6.下列说法错误的是( )
A.如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:
若“a≠0,则ab≠0”
C.若命题p:
∃x0∈R,ln(x
+1)<0,则¬p:
∀x∈R,ln(x2+1)≥0
D.“sinθ=
”是“θ=30°”的充分不必要条件
解析:
sinθ=
是θ=30°的必要不充分条件,故选D.
答案:
D
7.命题p:
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:
若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )
A.“p或q”是真命题B.“p或q”是假命题
C.¬p为假命题D.¬q为假命题
解析:
∵当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,
∴命题p是假命题;命题q是假命题,例如f(x)=
综上可知,“p或q”是假命题.
答案:
B
8.已知命题p:
∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
解析:
若p∨q为假命题,则p、q均为假命题,则¬p:
∀x∈R,mx2+1>0与¬q:
∃x∈R,x2+mx+1≤0均为真命题.根据¬p:
∀x∈R,mx2+1>0为真命题可得m≥0,根据¬q:
∃x∈R,x2+mx+1≤0为真命题可得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上,m≥2.
答案:
A
9.下列命题中正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否定为:
“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”
D.已知命题p:
∃x∈R,x2+x-1<0,则¬p:
∃x∈R,x2+x-1≥0
解析:
若p∨q为真命题,则p、q有可能一真一假,此时p∧q为假命题,故A错;易知由“x=5”可以得到“x2-4x-5=0”,但反之不成立,故B正确;选项C错在把命题的否定写成了否命题;特称命题的否定是全称命题,故D错.
答案:
B
10.已知命题:
p1:
函数y=2x-2-x在R上为增函数;
p2:
函数y=2x+2-x在R上为减函数;
则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
(¬p1)∨p2和q4:
p1∧(¬p2)中,真命题是( )
A.q1,q3B.q2,q3
C.q1,q4D.q2,q4
解析:
∵y=2x在R上是增函数,y=2-x在R上是减函数,∴y=2x-2-x在R上是增函数,p1为真,p2为假,故q1:
p1∨p2为真,q2:
p1∧p2为假,q3:
(¬p1)∨p2为假,q4:
p1∧(¬p2)为真,故真命题是q1,q4,故选C.
答案:
C
二、填空题
11.若命题“存在实数x0,使x
+ax0+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为__________(用区间表示).
解析:
由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图像知Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
答案:
(-∞,-2)∪(2,+∞)
12.已知命题p:
“∃x0∈R,4x0-2x0+1+m=0”,若命题¬p是假命题,则实数m的取值范围是__________(用区间表示).
解析:
若¬p是假命题,则p是真命题,即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解.
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.
答案:
(-∞,1]
13.已知命题p:
∃a0∈R,曲线x2+
=1为双曲线;命题q:
≤0的解集是{x|1<x<2}.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(¬q)”是真命题;③命题“(¬p)∨q”是真命题;④命题“(¬p)∨(¬q)”是真命题.其中正确的是__________.
解析:
因为命题p是真命题,命题q是假命题,所以命题“p∧q”是假命题,命题“p∧(¬q)”是真命题,命题“(¬p)∨q”是假命题,命题“(¬p)∨(¬q)”是真命题.
答案:
②④
14.下列四个命题:
①∃x0∈R,使sinx0+cosx0=2;②对∀x∈R,sinx+
≥2;③对∀x∈
,tanx+
≥2;④∃x0∈R,使sinx0+cosx0=
.
其中正确命题的序号为__________.
解析:
∵sinx+cosx=
sin
∈[-
,
],故①∃x0∈R,使sinx0+cosx0=2错误;④∃x0∈R,使sinx0+cosx0=
正确;∵sinx+
≥2或sinx+
≤-2,故②对∀x∈R,sinx+
≥2错误;③对∀x∈
,tanx>0,
>0,由基本不等式可得tanx+
≥2正确.
答案:
③④
三、解答题
15.已知命题p:
方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:
只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.
解析:
由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,
∴x=
或x=-a,
∴当命题p为真命题时,|
|≤1或|-a|≤1,
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0”,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.
∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题,
∴a>2或a<-2.
即a的取值范围为{a|a>2,或a<-2}.
答案:
{a|a>2,或a<-2}
16.设命题p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:
实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析:
(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.
又a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,1<x<3.
由
解得
即2<x≤3.
所以q为真时,2<x≤3.
若p∧q为真,则
⇔2<x<3,
所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)设A={x|x≤a,或x≥3a},B={x|x≤2,或x>3},
因为¬p是¬q的充分不必要条件,所以AB.
所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.
所以实数a的取值范围是(1,2].
答案:
(1)(2,3);
(2)(1,2].
教师备选
1.有下列四个命题:
p1:
若a·b=0,则一定有a⊥b;
p2:
∃x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;
p3:
∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒过定点
;
p4:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F≥0.
其中假命题的是( )
A.p1,p4 B.p2,p3
C.p1,p3D.p2,p4
解析:
对于p1:
∵a·b=0⇔a=0或b=0或a⊥b,当a=0,则a方向任意,a,b不一定垂直,故p1假,排除B、D,又p3显然为真,排除C,故选A.
答案:
A
2.设函数f(x)=ax+bx-cx,其中a,b,c是△ABC的三条边,且c>a,c>b,则“△ABC为钝角三角形”是“∃x∈(1,2),使f(x)=0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:
设g(x)=
x+
x-1,则g(x)在R上单调递减,且g
(1)=
-1>0,
g
(2)=
-1<0.所以在[1,2]上存在零点f(x)=0,故选A.
答案:
A
3.设有两个命题p:
不等式
+
>a的解集为R;q:
函数f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数a的取值范围是( )
A.1≤a<2B.2<a≤
C.2≤a<
D.1<a≤2
解析:
记A={a|不等式
+
>a的解集为R};
B={a|f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数}.
由于函数y=
+
的最小值为1,故A={a|a<1}.
又因为函数f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数,
故7-3a>1,即a<2,所以B={a|a<2}.
要使这两个命题中有且只有一个真命题,a的取值范围为[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A],
而(∁RA)∩B=[1,+∞)∩(-∞,2)=[1,2),
(∁RB)]∩A=[2,+∞)∩(-∞,1)=∅,
因此[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A]=[1,2),故选A.
答案:
A
4.若命题p:
关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x>-
},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“¬p”“¬q”中,是真命题的有__________.
解析:
依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“¬p”为真、“¬q”为真.
答案:
¬p,¬q
5.下列结论:
①若命题p:
∃x0∈R,tanx0=2;命题q:
∀x∈R,x2-x+
>0,则命题“p∧(¬q)”是假命题;②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;③“设a、b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:
“设a、b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为__________.(把你认为正确结论的序号都填上)
解析:
在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(¬q)”是假命题是正确的.在②中l1⊥l2⇔a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a、b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:
“设a、b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”正确.
答案:
①③
6.已知p:
方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
解析:
若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根x1,x2,
则
即
解得m>2,即p:
m>2.
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1<m<3,即q:
1<m<3.
∵p或q为真,p且q为假,
∴p、q两命题应一真一假,即p为真、q为假或p为假、q为真.
∴
或
解得m≥3或1<m≤2.
∴m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
答案:
(1,2]∪[3,+∞)
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