学年苏教版必修一23映射的概念教案.docx
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学年苏教版必修一23映射的概念教案
在某次数学测试中,高一·(16)班的60名同学都取得较好的成绩.把该班60名同学构成一个集合A,他们的成绩构成一个集合B.
问题1:
集合A中的每一个同学,在集合B中能找到惟一成绩与其对应吗?
提示:
是的.
问题2:
集合B中的每一个元素,在集合A中有几个元素与之对应?
提示:
可能一个也可能多个.
问题3:
从集合A到集合B中的对应是函数吗?
为什么?
提示:
不是函数.因为函数的对应是数集到数集的对应.
问题4:
你能举出两个满足上述的对应,且不是函数吗?
提示:
①数轴上的点集与实数集的对应;
②某中学同学与学号的对应.
映射的含义:
设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作:
f:
A→B.
1.映射定义中的两个集合A、B是非空的,可以是数集,也可以是点集或其他集合,A、B是有先后次序的,A到B的映射与B到A的映射一般是不同的,即f具有方向性.
2.在A到B的映射中,A中每一个元素都可以在B中找到惟一一个元素和它对应,但A中的不同元素允许对应B中的相同元素.
3.映射是特殊的对应,它只允许“多对一”“一对一”,但不允许“一对多”.函数又是一种特殊的映射,它是建立在两个数集上的映射.
[例1]
(1)在如下图所示的对应中是A到B的映射的是________.
(2)集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:
A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:
A→B的个数是________.
[思路点拨]
(1)紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断;
(2)把满足条件的映射一一列举出来.
[精解详析]
(1)结合映射的定义,对于①,②,集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应,因而构不成映射,而③,④符合要求,能构成映射.
(2)由f(a)=0,f(b)=0得f(a)+f(b)=0;f(a)=1,f(b)=-1得f(a)+f(b)=0;由f(a)=-1,f(b)=1得f(a)+f(b)=0.共3个.
[答案]
(1)③④
(2)3
[一点通] 判断一个对应是A到B的映射,应从两个角度去分析:
①“对于集合A中的每一个元素”;②在B中“有惟一的元素与之对应”,这两个条件缺一不可;若判断不是A到B的映射,只要举出一个反例,即说明集合A中的某一元素,在B中无对应元素或有多个对应元素即可.
1.给出下列四个对应,是映射的是________.
解析:
①不是映射,因为元素c没有对应元素;④不是映射,因为元素a有两个对应元素.只有②③符合映射的定义.
答案:
②③
2.判断下列对应是否是映射,是否是函数.
(1)A=N,B=N*,f:
x→y=|x-1|,x∈A,y∈B;
(2)A=R,B={1,2},f:
x→y=
(3)A={平面M内的三角形},B={平面M内的圆},对应法则是“作三角形的外接圆”.
解:
(1)∵1∈A,在f作用下,1→|1-1|=0∉B,
∴不是映射,故也不是函数.
(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应,而当x<0时与B中的元素2对应,因此能构成映射.又A,B均为数集,因此也能构成函数.
(3)由于平面内的三角形都有其外接圆,且外接圆惟一,因此能构成从A到B的映射,但由于A,B都不是数集,因此不能构成函数.
[例2] 设集合P=Q={(x,y)|x,y∈R},f:
P→Q是从集合P到集合Q的映射f:
(x,y)→(x+y,xy).求
(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素;
(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素.
[思路点拨]
(1)把(3,2)代入到对应法则就可求出对应元素;
(2)可以采用方程(组)的思想求解.
[精解详析]
(1)由3+2=5,3×2=6得到,集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素为(5,6).
(2)设集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素为(x,y),
则
解得
或
∴集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素为(2,1)或(1,2).
[一点通] 求对应元素的一般思路是:
若已知A中的元素a,求B中与之对应的元素b,这时只要将元素a代入对应法则f求解即可;若已知B中的元素b,求A中与之对应的元素a,这时需构造方程(组)进行求解即可,这时需注意解得的结果可能有多个.
3.在映射f:
A→B中,A=R,B=R,且f:
x→|2x+3|,则与B中的元素5对应的A中的元素为________.
解析:
由|2x+3|=5得2x+3=5或2x+3=-5.
∴x=1或x=-4.
答案:
1或-4
4.已知映射:
f:
A→B,A=B={(x,y)|x,y∈R},f:
A中的元素(x,y)对应B中的元素为(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(1,2)在B中对应的元素;
(2)B中元素(1,2)与A中哪个元素对应?
解:
(1)A中元素(1,2),即x=1,y=2,
此时
所以B中对应的元素为(0,9).
(2)当B中元素为(1,2)时,
即
解得
[例3] 已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:
A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:
A→B的个数.
[思路点拨] 需分“三对一”“三对二”和“三对三”讨论,用图示表示.
[精解详析]
(1)当A中元素都对应一个元素时,由于f(a)+f(b)=f(c),所以a,b,c必须都对应元素0.(如图)共有1个映射.
(2)当A中元素对应两个元素时,根据f(a)+f(b)=f(c),有下面4种情况
(3)当A中元素对应三个元素时,由于f(a)+f(b)=f(c),有下面两种情况.
因此,满足题设条件的映射有7个.
[一点通] 对于两个集合间映射个数的问题,常见的题目有两类,一类是给定两个集合A,B,问由A→B可建立的映射的个数.这类问题与A,B中元素的个数有关系.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则从A→B共有nm个不同的映射.另一类是含条件的映射个数的确定如本例.解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件,要采用分类讨论的思想方法来解决.
5.已知A={a,b},B={0,1},则有A到B的映射共有________个.
解析:
共有22=4个.
答案:
4
6.设M={a,b},N={-2,0,2},则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________.
解析:
由f(a)≥f(b)知,f(a)>f(b)或f(a)=f(b),
当f(a)>f(b)时,
有
或
或
共三种可能;
当f(a)=f(b)时,也有f(a)=f(b)=0、2、-2三种可能.
综上所述,满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个.
答案:
6
对映射定义的理解
(1)A、B必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合);
(2)对应关系有“方向性”,即从集合A到集合B的对应与从B到A的对应关系一般是不同的;
(3)集合A中每一个元素,在集合B中必须有对应元素,并且对应元素是惟一的;
(4)集合A中不同元素,在集合B中对应的元素可以是相同的;
(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应元素.
一、填空题
1.下列对应中是集合A到集合B的映射的为________.
①A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}.对应法则f:
x→y=x+1,x∈A,y∈B.
②A={x|0° y=sinx,x∈A,y∈B. ③A={x|x∈R},B={y|y≥0},对应法则f: x→y=x2,x∈A,y∈B. 解析: 根据映射的定义,①②③都是从A到B的映射. 答案: ①②③ 2.设集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},则下列的对应不表示从P到Q的映射的是________. ①f: x→y= x ②f: x→y= x ③f: x→y= x ④f: x→y=x 解析: 通过对比发现,在对应法则f: x→y= x的作用下,4× = >2,不符合映射的概念对应法则;在对应法则f: x→y=x的作用下,4×1=4>2也不符合. 答案: ③④ 3.设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},点(x,y)在映射f: A→B的作用下对应的点是(x-y,x+y),则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为________. 解析: 由 得, 即对应A中点的坐标是 . 答案: 4.若集合A={0,1,2},f: x→x2-2x是从A到B的映射,则集合B中至少有________个元素. 解析: 由A={0,1,2},f: x→x2-2x,分别令x=0,1,2, ∴x2-2x=0,-1,0.又根据集合中元素的互异性, ∴B中至少有2个元素. 答案: 2 5.已知A={a,b},B={c,d,e},则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________. 解析: 如果a,b指向B中某一个元素,共3个,如果a,b指向B中某两个元素(如c,d有a→c,b→d或a→d,b→c),共有6个,A→B的映射共9个. 答案: 9 6.观察数表: x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) 4 1 -1 -3 3 5 g(x) 1 4 2 3 -2 -4 则f[g(3)-f(-1)]=________. 解析: 由表中对应数据可知g(3)=-4,f(-1)=-1. ∴f[g(3)-f(-1)]=f(-4+1)=f(-3)=4. 答案: 4 二、解答题 7.已知: 集合A={x|-2≤x≤2},B={x|-x≤x≤1}.对应关系f: x→y=ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f: A→B,求实数a的取值范围. 解: ①当a≥0时,由-2≤x≤2得-2a≤ax≤2a. 若能够建立从A到B的映射. 则[-2a,2a]⊆[-1,1], 即 ,∴0≤a≤ . ②当a<0时,集合A中元素的象满足2a≤ax≤-2a, 若能建立从A到B的映射, 则[2a,-2a]⊆[-1,1], 即 ∴0>a≥- . 综合①②可知- ≤a≤ . 8.集合A、B是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A→B的映射f: (x,y)→(x2+y2,xy),求B中的元素(5,2)所对应A中的元素. 解: 依题可得 ①+2×②,得(x+y)2=9,∴x+y=±3. 于是,原方程组可化为如下的两个方程组: 或 解得 ∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1). 9.已知A={1,2,3,m},B={4,7,n4,n2+3n},其中m,n∈N*,若x∈A,y∈B,有对应法则f: x→y=px+q是从集合A到集合B的一个函数,且f (1)=4,f (2)=7,试求m,n,p,q的值. 解: 由f (1)=4,f (2)=7可得 ∴ ∴对应法则f: x→y=3x+1. 因此,A中元素3的对应元素是n4或n2+3n. 若n4=10,因n∈N*不能成立,所以n2+3n=10, 解得n=2,或n=-5(舍去). 当集合A中的元素m对应B中的元素n4时,即3m+1=16,解得m=5; 当集合A中的元素m对应B中的元素n2+3n时,即3m+1=10,解得m=3,由元素的互异性舍去m=3. 故p=3,q=1,m=5,n=2. 一、函数的概念 1.函数 一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记作: y=f(x),x∈A. (1)函数的定义域: 在函数y=f(x),x∈A中,所有的输入值x组成的集合. (2)函数的值域: 在函数y=f(x),x∈A中,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域. 2.函数的表示方法 解析法、列表法和图象法. (1)确定函数的解析式: ①给出函数形式 解析式 ②已知y=f(x) y=f(g(x)); ③已知y=f(g(x)) y=f(x). (2)确定函数的定义域: 条件 方法 解析式中含分母的 使分母不为零 含开偶次方的 被开方数为非负数 含对数符号的 真数大于零,底数大于零且不等于1 实际问题 要使实际问题有意义 由y=f(x)的定义域D,求y=f(g(x))的定义域 解g(x)适合D的不等式 由y=f(g(x))的定义域D求y=f(x)的定义域 求g(x)在D上的值域 (3)确定函数的值域的方法: ①观察法;②配方法;③换元法;④分离常数法;⑤图象法;⑥单调性法等等. (4)判断两个函数为相同函数的方法: (5)函数图象的作法: ①描点法: 列表―→描点―→连线; ②图象变换法: 平移变换、对称变换、翻折变换. (6)分段函数: 形式为f(x)= 二、函数的基本性质 1.函数的单调性 (1)单调增区间和单调减区间: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A. 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1 (2)单调性和单调区间: 如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 2.函数的最值 (1)定义: 一般地,设y=f(x)的定义域为A. ①如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤ ,那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0); ②如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0). (2)求函数最值的常用方法: ①观察法. ②图象法. ③单调性法. 3.函数的奇偶性 定义 性质 奇函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)是奇函数 奇函数的图象关于(0,0)对称 偶函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数f(x)是偶函数 偶函数的图象关于y轴对称 函数奇偶性的判断方法: ①利用定义法判断函数的奇偶性的步骤是: 首先考察定义域是否关于原点对称;然后验证f(-x)=-f(x)(f(-x)+f(x)=0)或f(-x)=f(x)(f(-x)-f(x)=0)对定义域中的任意x是否成立. ②利用图象观察. 三、映射 1.定义 设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作: f: A→B. 2.两个“特殊” 映射是一种特殊的对应; 函数是一种特殊的映射. 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上) 1.函数y= + 的定义域为________. 解析: 由 得1≤x<3. 答案: [1,3) 2.下列四个对应中,从A到B的映射是________. 解析: 根据映射的概念知(4)是从A到B的映射. 答案: (4) 3.已知f(x)=-ax3+2bx+4a-b是奇函数,且其定义域为[3a-4,a],则f(a)=________. 解析: 因为f(x)=-ax3+2bx+4a-b是奇函数,所以其定义域应关于原点对称,且f(-x)=-f(x)恒成立,所以由3a-4=-a,得a=1,由f(-x)=-f(x)恒成立,得-a(-x)3+2b(-x)+4a-b=-(-ax3+2bx+4a-b),所以4a-b=0,所以b=4,f(x)=-x3+8x,所以f(a)=-1+8=7. 答案: 7 4.函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的表达式为________. 解析: 设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,又函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(x+1)=-x-1. 答案: f(x)=-x-1 5.函数f(x)= 若f(x0)=8,则x0=________. 解析: 当x0≤2时,则x +2=8, 解得x0=- 或x0= (舍去) 当x0>2时,则2x0=8,解得x0=4. 综上可知x0=- 或4. 答案: - 或4 6.已知函数f(x)=ax3+bx+2013,若f(2014)=4025,则f(-2014)的值为________. 解析: 设F(x)=f(x)-2013=ax3+bx,因为F(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-F(x),所以F(x)为奇函数,F(-2014)=-F(2014),即f(-2014)-2013=-[f(2014)-2013],所以f(-2014)=4026-f(2014)=4026-4025=1. 答案: 1 7.函数y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则f(3),f(-4),f(-π)的大小关系为________. 解析: 因为函数y=f(x)是偶函数, 所以有f(-4)=f(4),f(-π)=f(π). 又因为在[0,+∞)上是增函数, 所以有f(3) 即f(3) 答案: f(3) 8.已知f(x)为奇函数,在区间[3,6]上是增函数,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=________. 解析: 因为函数在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15. 答案: -15 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,x≥0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式是________. 解析: 设x<0,则-x>0, 即有f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以有f(-x)=-f(x),即f(x)=-x2-2x. 所以f(x)= 答案: f(x)= 10.已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是________. 解析: x>0时,f(x)∈(2,3], ∵f(x)为奇函数, ∴x<0时,f(x)∈[-3,-2), 那么函数f(x)的值域是[-3,-2)∪(2,3]. 答案: [-3,-2)∪(2,3] 11.f(x)=x2,g(x)是一次函数,且是增函数,若f(g(x))=4x2-20x+25,则g(x)=________. 解析: 设g(x)=ax+b(a>0), 则f(g(x))=(ax+b)2=a2x2+2abx+b2, 所以有 解得a=2,b=-5, 所以g(x)=2x-5. 答案: 2x-5 12.若函数f(x)= 为奇函数,则a=________. 解析: ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f (1). ∴ =- ,即1+a=3(1-a),解得a= . 答案: 13.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)≤0的解集为________. 解析: 因为函数f(x)在[-5,5]上为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由图可知,当x∈[0,2]时,f(x)≥0,当x∈[2,5]时,f(x)≤0,所以当x∈[-5,-2]时,-x∈[2,5],f(x)=-f(-x)≥0,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],f(x)=-f(-x)≤0,所以不等式f(x)≤0的解集为[-2,0]∪[2,5]. 答案: [-2,0]∪[2,5] 14.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是________. 解析: 设F(x)=f(x)-3=-x5-3x3-5x,则F(x)为奇函数,且在R上为单调递减函数,因为F(0)=0,所以当x<0时,F(x)>0,f(a)+f(a-2)>6等价于f(a-2)-3>-f(a)+3=-[f(a)-3],即F(a-2)>-F(a)=F(-a),所以a-2<-a,即a<1. 答案: (-∞,1) 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)已知f(x)= ,g(x)=x2+2. (1)求f (2),g (2)的值; (2)求f(g (2))的值; (3)求f(g(x))的解析式. 解: (1)f (2)= = ,g (2)=22+2=6. (2)f(g (2))= = = . (3)f(g(x))= = = . 16.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2,求a,b的值. 解析: 依题意,f(x)的对称轴为x=1,函数f(x)在[1,3]上是单调递增函数, 故当x=3时,该函数取得最大值,即f(x)max=f(3)=5,3a-b+3=5, 当x=1时,该函数取得最小值,即f(x)min=f (1)=2,即-a-b+3=2, 联立方程得 解得a= ,b= . 17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间. 解: (1)当a=-2时, f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1. 又∵x∈[-4,6], ∴函数f(x)在[-4,2]上为减函数,在[2,6]上为增函数. ∴f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35, f(x)min=f (2)=-1. (2)∵函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-a, 且f(x)在[-4,6]上是单调函数, ∴-a≥6或-a≤-4,即a≤-6或a≥4. 即a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞) (3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6], 且f(x)= ∴f(|x|)的单调增区间是(0,6],单调减区间是[-6,0]. 18.(本小题满分16分)某商品在近30天内,每件的销售价格P(元)与时间t(天)有如下函数关系: P= 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(0 解: 设日销售额为y元,则 y=PQ= = 若0 若25≤t≤30, 则t=25时,y
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