平行线分线段成比例教学设计.docx
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平行线分线段成比例教学设计
冀教版第25章第2节平行线分线段成比例
河北省唐山市迁安(县)市第三初级中学张艳军
一、内容及内容解析
“平行线分线段成比例”是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一,是平面几何的一个重要定理,也是研究相似形的最重要和最基本的理论。
它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。
把平行线分线段成比例应用在三角形上,就得到了定理的一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础。
在学习平行线分线段成比例定理要让学生有足够的体验,很难达到对定理的理解,进而影响了后续知识的掌握。
所有的新知识,都要通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而能发展的知识,优化和发展了数学认知结构。
因此在教学过程中,要给学生充足的研讨时间,化未知为已知,掌握相应的数学思想方法,发展学生的认知,这样才能达到对基本事实的理解,进而为后续学习奠定基础。
二、目标及目标解读
1.经历探索“平行线分线段成比例”的过程.
2.掌握“平行线分线段成比例”基本事实:
两条直线被一组平等线所截,截得的对应线段成比例.
3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中,进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法,发展学生的数学思维,锻炼学生识图能力和推理论证能力.
4.体验数学活动与人们生活的密切联系,增强应用数学的意识.
在本节课的教学中,根据学生的认知基础以及之前学习的知识体系,确定上述教学目标。
“活动一”中,我以学生熟知的三角形、平行四边形和梯形三个图形作为探究的特殊图形,根据题目中所给出的条件,去发现得出相同的结论,从而抽象三个图形的共同特征,得到“等距平行行线”截任意直线,截得的两部分长度相等,纠其实质就是“等距平行行线”截得的两条线段之比等于两平行线之间的距离之比,并且非常特殊,这个比值为1:
1,以“活动一”作为探究问题的载体,使学生经历探究基本事实的过程。
结合“活动一”向学生渗透我们研究数学问题的思想方法:
类比,转化,从特殊到一般。
由“活动一”进入“活动二”是一个由特殊到一般的过程,改变三条平行线之间的距离,继续探究任意直线被这组平行线所截,截得的两条线段之比与平行线间距离之比的关系,利用第一组图形发现结论的方法,设计研究方案,利用测量法或转将非等距平行线转化为等距平行线的方式,发展学生的数学思维,在探究问题的过程中,锻炼学生的几何识图能力和推理论证能力,引导学生自主建构“平行线分线段成比例”基本事实,进而应用基本事实解决问题。
三、教学问题诊断分析
“平行线分线段成比例”基本事实是等距平行线截任意直线的推广,我采用“以旧导新”的方法进行,即通过复习旧知识体系,结合特殊图形得出基本图形,类比推广导出新知,降低问题难度。
根据教材内容来看,本节的难点是对对应线段,以及对应线段成比例的理解,由于图形和比例式变式较多,学生在找对应线段时常常出现错误;在研究平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程的方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,运用代数方法研究几何问题。
因此,在得出“平行线分线段成比例”基本事实之后,要帮助学生通过不断变化的几种最具典型性和代表性的变式图形,深化对基本事实的认识。
后面通过练习的设计,实现了对知识的典型应用,让学生较深刻地理解了所学的内容,
四、教学支持条件分析
本节课改变了以“讲授”为主,以“灌输”结果为特征的数学教学模式,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则。
就学生的学情来看,七年级已经系统学习过平行线的相关内容,在九年级本节课前面已经学习了比例线段,在本节课新授课之前,曾经经历过以“观察——猜想——操作——证明”等步骤探究问题的方式来学习新知,因此具备一定的学习经验。
教学过程中,给予学生探究问题的时间,并且组内进行充分讨论交流,达到对于问题的辨析性认识,学生利用测量法得出猜想结论需要进行理论提升和验证,因此,在教学过程中补充演绎证明,从而认可结论的正确性。
此处,结合学生的猜测以及测量之后,充分利用媒体优势,使用几何画板再次演示发现结论的正确性,从而为学生进一步理解“平行线分线段成比例”基本事实提供了有利的依据。
25.2平行线分线段成比例
单位:
迁安市第三初级中学编者:
张艳军审核领导:
张杰新日期:
2019年10月
【自学培训】
第一步:
要求先读题,自己分析,用双色笔勾画出重点、难点,自己解答,对问题要有自己的认识,并记录自己的疑惑点,独学要认真;
第二步:
与对子交流、讨论、互查,通过对学、群学,让各小组进行充分交流,生成最佳问题解决方案;
第三步:
适时聚焦、展示,并通过教师点拨形成科学、规范的问题解决办法或格式,从而形成数学方法.
课题:
平行线分线段成比例
【课前培训】
1.先自己对新学内容进行简单梳理,并对自己的疑点进行标注。
2.在小组长的带领下,讨论要有针对性,尤其是解答出现问题的思路及方法。
3.展示:
注意数学语言的严密性,要对展示的内容进行概括性的展示,只展示要点。
补充学生要用简洁的语言对知识进行补充和提出异议,对探究点进行分析。
4.小组长注意及时对本组成员进行培训,注意本组学生的课堂参与。
【教学过程】
导入语:
七年级我们学习了“平行线”,上节课我们研究了“比例线段”,那么,当“平行线”遇到“比例线段”时,又会产生什么奇妙的结论呢?
让我们共同去探索和发现。
下面我们首先进入“活动一”
教学目标
1.经历探索平行线分线段成比例的过程.
2.掌握基本事实:
两条直线被一组平等线所截,截得的对应线段成比例.
3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中,进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法,发展学生的数学思维,锻炼学生识图能力和推理论证能力.
4.体验数学活动与人们生活的密切联系,增强应用数学的意识.
重难点
“平行线分线段成比例”基本事实的理解及应用.
“平行线分线段成比例”基本事实中对应线段的理解.
重难点突破
1.利用“活动一”作为铺垫,引导学生认识等距平行线截直线获得的结论,引导学生自主建构“平行线分线段成比例”的基本事实.
2.通过归纳“两直线被一组平行线所截”不同形式的图形之间的比较,加深对“平行线分线段成比例”基本事实的理解.
教学反思
“平行线分线段成比例定理”是平面几何的一个重要定理,它是研究相似形的最重要和最基本的理论,是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。
它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比。
把平行线分线段成比例定理应用在三角形上,就得到了定理的一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础。
然而,关于平行线分线段成比例定理,学生没有足够体验,很难达到对定理的理解,进而影响了后续知识的掌握。
所有的新知识,都要通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而能发展的知识,优化和发展了数学认知结构。
因此在教学过程中,要让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”等一系列的数学活动,不断体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
要给学生充足的研讨时间,化未知为已知,从而不断完善学生的认知体系。
学习过程
教学过程
【活动一】
观察下面一组图形,回答下面的问题
结论:
结论:
结论:
1.结合前两组图形,你能发现什么相同的结论?
.你是如何发现上述结论的?
2.观察三组图形,它们的共同特征是什么?
你能用一个简单的图形来描述这个共同特征吗?
3.结合问题2中的图形,用几何语言描述:
从学生熟悉的三角形和平行四边形入手,观察图形,回答问题.
1.分析题目中已知条件,学生根据已有知识体系,获得尽可能多的结论.
【设计意图】从学生的认知体系入手,发散思维,为下面的继续学习奠定基础.
注意:
此处要给学生较为充足的时间;指导学生以小组为单位,分类汇总得出的结论,汇报结果,发现问题.
2.通过对比结论,能得到两个图形的相同结论有哪些?
【设计意图】异中求同,变中求定,引导学生发现问题的本质特征.
【课堂预设】学生中出现的相同结论可能集中在“三线八角”基本图形,以及一条边被平分上.教师引导:
“三线八角”在七年级时已经做过重点研究,不作为本节课的重点内容.引发学生得出边被平分.
追问:
你是如何发现这个结论的?
学生可能通过猜测或测量或证明等方式,预计以测量居多.
【教师点拨】测量法是我们常用的一种研究数学问题的方法,以后还要广泛运用.可通过“测量法”或“演绎证明”的方式来说明猜想的正确性.
3.继续出示第三组图形,你能发现与前两组图形相同的结论吗?
学生有了之前的学习经验,预计能快速得到答案.
4.继续观察三个图形,你能发现它们具备什么样的共同特征,才会产生相同的结论吗?
请同学们尝试用一个简单的图形来描述这个共同特征.
【设计意图】通过对于特殊图形的观察理解,提升学生的识图能力,认识图形的内在不变性,抽象简单图形.
预计会出现多种情况,教师注意引导分析:
(1)三个图形中,哪些条件是固定不变的?
(不变的量:
本质特征)
(2)哪些条件是可以变化的.(变化的量:
灵活应用)
5.揭示课题:
平行线分线段成比例
回顾“活动一”的整个研究过程,从特殊图形出发,由共同特征抽象基本图形,得到一个一般性结论,这体现了我们在研究数学时的基本思想:
类比、从特殊到一般.
【活动二】
如图2,两条直线AC、DF被三条互相平行的直线
、
、
所截,截得的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线
、
之间的距离为
,平行线
、
之间的距离为
.平行线
、
之间的距离为
.
【猜想】
=,
=.由此得出结论:
2.请验证你的猜想.(提示:
可以设
=1,
=2或其它距离均可)
3.【探究结论】两条直线被一组平行线所截,.
让学生体会从特殊图形到一般结论的抽象的过程.等距平行线截任意直线截得的两条线段相等,即被截得的两条线段之比等于两平行线间的距离之比,并且比值为1:
1.此处利用“几何画板”演示这个一般性的发现.规范几何语言.
【大家思考】平行线间的距离可以改变吗?
当平行线间的距离发生改变时,被截得两条线段与两平行线间的距离还成比例吗?
【设计意图】由等距平行线到一般平行线,落实数学从特殊到一般、类比的思想.
学生应该很容易猜想:
成比例.带着这样的猜想,让我们进行入“活动二”
1.学生大胆猜想结论;
2.问题2进行开放性设置,没有给出一致性的验证方法,但基于学情,给予提示.
【设计意图】问题开放化,引发学生深度思考,便于发现问题.
3.学生在完成验证猜想的过程中,教师要特别关注学情,去发现学生中出现的好的想法或误区.预计学情:
(1)测量法;
(2)个别同学能够将不等距的平行线,转化为“活动一”中的等距平行线,从而化“未知”为“已知”;
4.通过上述探究,得出“平行线分线段成比例”基本图形,并且规范几何语言.追问:
(1)大家如何理解“对应线段”,结合图形进行说明;
(2)如何理解“对应线段成比例”
(3)除了基本比例式,你还能再写出几组比例式吗?
【设计意图】突出重点,突破难点.
提出的问题,可结合上节课比例的基本性质,得出大致类型:
(1)“上下型”
(2)“上全型”(3)“下全型”
还可视学生情况拓展到“上上”“下下”“全全”之比相等.
【活动三】
如图,
∥
∥
,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长.
注意:
在利用“平行线分线段成比例”定理的过程中,最重要的是:
,从而利用比例的基本性质求出线段的长度.
“活动三”应用基本事实.
1.分析图形和条件,选取适合的比例式.
2.找两名同学到黑板同步板演,便于发现问题;
3.大屏幕展示正确结果,进行比对.
4.强调基本事实应用过程中应该注意的问题.
【设计意图】此处练习,“抛砖引玉”,重在让学生对本节课产生一个完整性的认识.然后分析从“基本图形”到“变式图形”中常见图形.
【目标检测】
题组一
1.如图1,两条直线
,
被三条平行线
、
、
所截,交点分别是A,D,F和B,C,E.下列等式中正确的是:
(填序号)
1
②
③
④
2.如图2,直线
∥
∥
,若AC=3,CE=4,则
=,
=.
3.如图2,直线
∥
∥
,若AC:
CE=2:
3,若DF=9,则BD=.
4.已知,如图3,AD∥BE∥CF,
求证:
题组二
1.如图,直线BF∥DE∥AG,且BD=3,AB=7,EF=2,求EG的长.
2.如图,直线
∥
∥
,两条直线a和b分别交这组平行线于点A、B、C及D、E、F.,且AB=3,DE=4,EF=2,则下列说法中正确的是…………………………【】
A.BC:
DE=1:
2B.BC:
DE=2:
3C.BC×DE=8D.BC×DE=6
3.已知,如图4,AD∥BE∥CF,若
,AC=12,求AE的长.
4.如图5,直线
∥
∥
,AC=a,BC=b,DE=c,求DF的长.
【总结与反思】
总结本节课的重点内容,也可以是自己总结的方法、易错点、感受。
【布置作业】
1.梳理本节课知识框架,标注疑点,进一步掌握“平行线分线段成比例”基本事实.
2.课本65页B组1、2题.
目标检测涉及两组练习
【设计意图】
题组一中第1、2、3小题以填空题的形式对“基本事实”直接应用,图形变式不多,侧重夯实基础,加强基本应用,帮助学生实现理解并掌握“基本事实”;
第4小题,以平行线截两条直线作为问题背景,衍生出一个基本的比例式变形证明,让学生灵活运用“基本事实”,体会应用形式的多样化.
限时完成练习,同步板演,基础问题,学生比对,特殊问题,强化分析.
题组二中第1小题,改变平行线的常态存在形式,难度不大,重在拓宽学生的视野,增强学生的几何识图能力;
第2小题,变化基本图形,结合基本比例式,改变结论出现的形式,体会等积式与比例式之间的转换,既是本节课的直接应用同时又是上节课比例线段的基本性质的延伸,灵少运用“基本事实”,发展学生的数学思维.
第3小题,第4小题改变条件的给出方式,以倍数关系、字母的形式来呈现线段之间的数量,近而应用“基本事实”解决问题,实现对事实的理解及灵活运用.
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