高中数学第2章统计22总体分布的估计223茎叶图自我检测苏教版必修.docx
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高中数学第2章统计22总体分布的估计223茎叶图自我检测苏教版必修
2019-2020年高中数学第2章统计2.2总体分布的估计2.2.3茎叶图自我检测苏教版必修
自我检测
基础达标
一、选择题
1.在用样本频率估计总体的过程中,下列说法中正确的是( )
A.总体容量越大,估计越精确
B.总体容量越小,估计越精确
C.样本容量越大,估计越精确
D.样本容量越小,估计越精确
答案:
C
2.对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系,下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图与总体密度无关
B.频率分布直方图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,各组的组距无限减小,那么相应的频率折线图会越来越接近一条光滑曲线,则这条光滑曲线为总体密度曲线
答案:
D
3.某地一种植物一年生长的高度如下表:
高度(cm)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
棵数
20
30
80
40
30
则该植物一年生长高度在[30,40)内的频率为( )
A.0.3 B.0.4C.0.8D.0.2
答案:
B
4.频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )
A.相应各组的频数
B.相应各组的频率
C.组数
D.组距
答案:
B
5.频率分布直方图中,小矩形的高表示( )
A.频率/样本容量
B.组距×频率
C.频率
D.频率/组距
答案:
D
二、填空题
6.完成下面的频率分布表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
频率
答案:
0.1 0.13 0.14 0.14 0.15 0.13 0.12 0.09
7.一个容量为150的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是30和x,则x=______.
答案:
0.2
8.作频率分布直方图时,横轴表示________,纵轴表示________,在横轴上以________为底,在纵轴上以_______为高作矩形.
答案:
样本数据 频率/组距 数据各组的两端点表示的线段 频率/组距
9.条形图用_________来表示取各值的频率,直方图用_________来表示频率.
答案:
高度 面积
10.总体密度曲线是指______________;它反映了_____________.
答案:
样本容量取得足够大,分组的组距足够小,相应的频率折线图将趋于一条曲线;它反映了总体的变化趋势.
三、计算题
11.有一容量为100的样本,数据的分组以及各组的频数如下:
[0,5)15,[5,10)20,[10,15)25,[15,20)18,[20,25)12,[25,30)10.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计总体在[5,20)之内的个体约占总体的多少?
解:
(1)
数据分组
频数
频率
频率/组距
[0,5)
15
0.15
0.03
[5,10)
20
0.2
0.04
[10,15)
25
0.25
0.05
[15,20)
18
0.18
0.036
[20,25)
12
0.12
0.024
[25,30)
10
0.1
0.02
(2)
(3)总体在[5,20)之内的个体约占0.2+0.25+0.18=0.63.
12.xx~xx年赛季,姚明在NBA某些场次的比赛所得的篮板球数为:
16,6,3,5,12,8,13,6,10,3,19,14,9,7,10,10,9,11,6,11,12,14,8,6,10,5,10,11,13,9,10,7,6,11,12,17,4,12,13,8,16,写出这些数据的茎叶图.
解:
由题意作如下所示茎叶图:
篮板球数
0
1
334556666677888999
00000011112222333446679
更上一层
1.将容量为100的样本数据,按由小到大排列分成8个组(如下表):
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率分别为( )
A.0.14和0.37B.和
C.0.14和0.36D.和
答案:
A
2.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下:
[10,20)2个,[20,30)3个,[30,40)4个,[40,50)5个,[50,60)4个,[60,70)2个,则总体在区间(-∞,50)上的频率约为( )
A.5%B.25%
C.50%D.70%
答案:
D
3.一个样本容量为n的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是50和0.2,则n等于( )
A.65B.100C.150D.250
答案:
D
4.已知样本:
12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10,那么频率为0.25的样本的范围是( )
A.[5.5,7.5)B.[7.5,9.5)
C.[9.5,11.5)D.[11.5,13.5)
答案:
D
5.10个小球分别编有号码1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2个,3号球3个,4号球1个,数0.4是指1号球占总体分布的( )
A.频数B.频率
C.频率/组距D.累计频率
答案:
B
6.某工厂生产的产品,可分为次品、二等品、一等品三类,抽查检验的记录显示:
次品6个,二等品140个,一等品54个.
(1)估计产品中的次品率,一等品率,二等品率;
(2)列出样本的频率分布表;
(3)画出样本频率分布条形图.
解析:
(1)次品率的估计值为3%;一等品率的估计值为27%;二等品率的估计值为70%.
(2)样本的频率分布表为:
产品
频数
频率
次品
6
0.03
一等品
54
0.27
二等品
140
0.7
合计[
200
1.00
(3)
7.为估计某产品寿命的分布,对产品进行追踪调查,记录如下:
寿命(小时)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500)
[500,600)
个数
20
30
80
40
30
(1)画出频率分布直方图;
(2)估计产品寿命在区间[200,500)内的百分比;
(3)估计产品寿命在400小时以上的百分比.
解析:
(1)由已知条件画频率分布直方图如下:
(2)在某区间百分比=此区间内的频数/样本容量.所以在区间[200,500)内的百分比为:
(30+80+40)/200=75%.
(3)同
(2)产品寿命在400小时以上的百分比为:
(40+30)/200=35%.
8.下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数,请设计适当的茎叶图表示这组数据,并据图说明这个车间此日的生产情况.
134 112 117 126 128 124 122
116 113 107 116 132 127 128
126 121 120 118 108 110 133
130 124 116 117 123 122 120
112 112
解析:
由题意作如下所示茎叶图
十位
个位
0
1
2
3
78
02223666778
0012234466788
0234
从上图可以看出,该生产车间的工人加工零件数大多都在110到130之间,且分布较对称,集中程度高,说明日生产情况较稳定,工人的技术水平较接近.
2019-2020年高中数学第2章统计2.2总体分布的估计互动课堂学案苏教版必修3
疏导引导
1.频率分布表
总体分布反映了总体在各个范围内取值的频率,由于总体很大或不便于获得,因此我们可以利用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.
疑难疏引
(1)在频率分布表中,频数是指落在各小组内的数据的个数.频率是各组的频数与数据总数的比值.
(2)编制频率分布表的步骤如下:
①计算数据中最大值与最小值的差,算出了这个差就可以知道这组数据的变动范围有多大.
②决定组数与组距.将这一批数据分组,目的是要描述数据的分布规律,要根据数据的多少来确定分组的数目.一般来说,数据越多,分的组也越多;通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
③决定分点.要使分点比数据多一位小数,并且把第1组的下限略去或把第1组的起点稍减小一点.
④列频率分布表.登记频数,计算频率,列出频率分布表.
频率分布表能反映数据在某一范围内出现的可能性.如果这一范围是由几组数据组成的,则其出现的可能性为这几组数据的频率之和.在编制频率分布表时,若题目已给出了组距和组数,可以直接列出频率分布表.
(3)频率分布表的优点和缺点
频率分布表的优点是:
能直接反映数据在各范围内的频数和频率;其缺点是:
不能直观地反映数据的频率分布,分布表是否正确.
案例1某班50名同学参加数学测验,成绩的分组及各组的频数如下:
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
列出样本的频率分布表.
【探究】
频率分布表如下:
分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100)
8
0.16
规律总结频率分布表有两条较为明显的性质:
①各组的频数之和为样本数据的个数.
②各组的频率和为1.
2.频率分布直方图
频率分布表虽然能体现出数据的分布规律,但它并不直观,为了直观地体现数据个数的分布规律,我们需要画频率分布直方图.在初中,我们学过如何绘制频数直方图,它能直观地体现数据的分布规律.同样我们可以用直方图来反映样本的频率分布规律.这种反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图,简称频率直方图.
疑难疏引
(1)绘制频率分布直方图的步骤
把横轴分为若干段,每一段对应一组的组距,然后以线段为底,作一个矩形,它的高等于该组的,作出一系列的矩形;每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1.
在这里,要特别注意纵轴表示.
(2)频率分布直方图的两种类型
用样本频率分布估计总体分布通常分两种情况:
①当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及其相应频率表示,其几何表示就是相应的条形图.条形图中,纵轴表示的是频率,条形图的高为该组数据的频率.但应注意:
“总体中的个体取不同数值很少”并不是指“总体中的个数很少.”
例如:
抛掷硬币的试验中,尽管样本的容量达到了72088,但试验结果只有两种,即正面向上和反面向上.如果记“正面向上”的结果为0,记“反面向上”为1,则样本中数据只有两个取值.此时,该样本的频率分布表的几何表示就为相应的条形图.
②当总体中个体取不同值较多,甚至无限时,对其频率分布研究用到初中学过的整理样本数据的知识,用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布.
(3)频率分布直方图的优点和缺点
频率分布直方图虽然能直观体现数的分布规律,但要绘制频率分布直方图过程比较复杂,且它不能直接体现数据的频数分布.
案例2下表给出了从某校500名12岁的男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料(单位:
厘米)
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
20
11
6
5
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高低于134厘米的人数占总人数的百分比和身高在区间[134,146)(厘米)内的人数占总人数的百分比.
【探究】
(1)样本频率分布表:
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158)
5
0.04
合计
120
1.00
(2)样本的频率分布直方图如下图所示.
(3)样本中身高低于134厘米的男生出现的频率为≈0.19,
∴由样本频率可估计该校身高低于134厘米的男生占这500名12岁男生总数的19%.
∵样本中身高在区间[134,146)(厘米)内的男生出现的频率为=0.625,
∴估计该校500名12岁男生中身高在区间[134,146)(厘米)内的有62.5%.
规律总结按要求制表、绘图,并根据样本的分布估计总体的分布时,要合理分组,并准确找出各组频数,而相应频率是通过求频数与样本容量的比计算出来的.本题已知条件已完成前期工作(即抽样、分组、确定频数).制作频率分布表,画频率分布直方图,注意纵轴表示的不是频率,而是频率与组距之比.体会用样本估计总体的统计思想方法.
3.频率折线图与总体分布的密度曲线
(1)频率折线图的定义
将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就可以得到一条折线,这条折线就是本组数据的频率折线图.
(2)频率折线图的画法
频率折线图是在频率分布直方图的基础上,取直方图中各小矩形的上底边的中点连结而成的.画频率折线图时还应注意:
取值区间两端点需分别向外延伸半个组距,以使折线首尾分别与横轴相连.
(3)频率折线图的优点与缺点
频率折线图的优点是它能反映数据的变化趋势,但它不能直接体现数据的分布规律.
(4)总体分布的密度曲线
在画频率折线图时,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,这条折线将趋于一条曲线,这一曲线为总体的密度曲线,它能反映出总体分布规律.
疑难疏引
(1)总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域取值的规律,根据这条曲线,总体在(a,b)内取值的百分率就是总体密度曲线与直线x=a,x=b及x轴所围成的图形的面积.
(2)总体密度曲线呈中间高、两边低的“钟”形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.
4.茎叶图
制作茎叶图的方法是:
当所给数据为一位数时,可将0作为茎叶较长的茎,而它本身作为叶;当所给数据为两位数时,将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”;当所给的数据为三位数时,可将百位和十位作为茎,而个位作为叶.茎相同的数据共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上到下排列,共用茎的叶一般要按从大到小(也可以从小到大)的顺序同行排出.制作茎叶图时,一般用一个竖线将茎叶隔开.由茎叶图我们可以粗略地看出一组数据的平均数、中位数、众数的范围.茎叶图不但可以分析单组数据,也可以对两组数据进行对比.当列两组数据的茎叶图时,它们可以共同用一个茎.
茎叶图的优点和缺点:
茎叶图的优点是:
所有信息都可以从茎叶图中得到体现,而且茎叶图便于记录和表示;它既可以分析单组数据,也可以对两组数据进行比较.
茎叶图的缺点是:
茎叶图不方便表示位数在三位以上的数据.
案例3某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:
甲的得分:
12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.
乙的得分:
8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图;
(2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.
【探究】当所给数据为两位数时,将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”.当列两组数据的茎叶图时,它们可以共同用一个茎.
【解析】按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图,然后分析.
(1)作出茎叶图如下图所示:
(2)由上面的茎叶图可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是26.因此甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.
规律总结在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且还可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.
画茎叶图的步骤如下:
(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,此例中茎为十位上的数字,叶为个位上的数字.
(2)将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧.
(3)将各数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.
(4)当数据是由整数部分和小数部分组成时,可以把整数部分作为茎,小数部分作为叶.
(5)比较时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来比较.
活学巧用
1.在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法中正确的是()
A.总体容量越大,估计越精确
B.总体容量越小,估计越精确
C.样本容量越大,估计越精确
D.样本容量越小,估计越精确
解析:
总体分布是指总体取值的分布规律,这种分布我们一般是不知道的.用样本去估计总体,是研究统计问题的一个基本思想,对于不易知道的总体分布,常常用样本的频率分布对它进行估计.样本的容量越大,这种估计就越精确.用样本估计的思想就是用部分考察全体、用离散考察连续、用有限考察无限的思想,是用观察测量值来探究客观规律的一种重要的基本思想.
答案:
C
2.一个容量为80的样本最大值是140,最小值是51,组距是10,则可以分成()
A.10组B.9组C.8组D.7组
解析:
极差=140-51=89,
∵==8.9不为整数.
∴组数应为9.
答案:
B
3.已知样本:
10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,11,11,9,10,11,12.那么频率为0.2的范围是()
A.5.5—7.5B.7.5—9.5C.9.5—11.5D.11.5—13.5
解析:
只要列出频率分布表,就可找到答案,频率分布表如下:
分组
频率累计
频数
频率
5.5—7.5
2
0.1
7.5—9.5
6
0.3
9.5—11.5
8
0.4
11.5—13.5
4
0.2
合计
0
从表中可以知道频率为0.2的范围是11.5—13.5.
答案:
D
4.在频率分布直方图中,各个矩形的面积表示()
A.落在相应各组的数据的频数
B.相应各组的频率
C.该样本所分成的组数
D.该样本的样本容量
解析:
在频率分布直方图中,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示.
答案:
B
5.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如下图所示,则新生婴儿的体重在[2700,3000]的频率为()
A.0.001B.0.01C.0.003D.0.3
解析:
本题考查总体分布的频率分布直方图.由图可知:
频率=×组距,易知:
=0.001,组距=3000-2700=300,∴频率=0.001×300=0.3.
答案:
D
6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()
A.0.6小时B.0.9小时C.1.0小时D.1.5小时
解析:
=0.9.
答案:
B
7.对50台某种电子设备的寿命逐台进行测试,得到下列数据(单位:
小时)
910,1220,1280,20,2330,900,860,1450,
1220,550,160,2020,1590,1730,490,1620,
560,530,500,240,1280,60,190,290,740,1160,220,910,
40,1410,3650,3410,70,510,1270,610,310,220,370,60,1750,890,790,1280,570,760,50,1530,1860,1280.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据所得结果估计,寿命小于2500小时的百分比约是多少?
解析:
(1)频率分布表如下:
组号
范围
频数
频率
1
[0,500]
16
0.32
2
[500,1000]
14
0.28
3
[1000,1500]
10
0.20
4
[1500,2000]
6
0.12
5
[2000,2500]
2
0.04
6
[2500,3000]
0
0.00
7
[3000,3500]
1
0.02
8
[3500,4000]
1
0.02
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如下图所示.
(3)观察上图表知,小于2500小时的约占96%.
8.在案例2中,怎样画出频率分布折线图呢?
解析:
把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图如下.
9.对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是()
A.频率分布折线图与总体密度曲线无关
B.频率分布折线图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
解析:
因为如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无限地接近于一条光滑曲线,这条曲线就是总体密度曲线.
答案:
D
点评:
频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.
(1)频率分布直方图中纵轴表示,频率=.
(2)频率分布表中各组中的频数之和等于样本容量,各组中频率之和等于1.
(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种不同形式,前者准确,后者直观.
(4)频率分布折线图依赖于频率分布直方图.
(5)总体密度曲线是总体中个体数较多,样本容量很大,样本分组数很多,这时频率分布折线图接近于一条光滑曲线.
10.某公司职工的月工资表如下:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职工
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
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