函数的应用高一新教材A版必修第一册.docx
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函数的应用高一新教材A版必修第一册
函数的应用
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型
f(x)=
1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y=20-x,0 C.y=40-x,0 [答案] A 2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( ) A.一次函数模型B.二次函数模型 C.分段函数模型D.无法确定 C [由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型.] 3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个________元. 60 [设涨价x元,销售的利润为y元, 则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250 =-2(x-10)2+450, 所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.] 一次函数模型的应用 【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( ) A.2000套 B.3000套 C.4000套D.5000套 D [因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.] 1.一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则. 2.一次函数的最值求解 一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 1.如图所示,这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象.根据图象填空: ①通话2分钟,需要付电话费________元; ②通话5分钟,需要付电话费________元; ③如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________. ①3.6 ②6 ③y=1.2t(t≥3) [①由图象可知,当t≤3时,电话费都是3.6元. ②由图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元. ③易知当t≥3时,图象过点(3,3.6),(5,6),待定系数求得y=1.2t(t≥3).] 二次函数模型的应用 【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? [思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题. [解] (1)根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200, 所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元. 二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 2.A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月. (1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域; (2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小. [解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2, ∴甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2. ∵λ=0.25, ∴y=5x2+ (100-x)2(10≤x≤90). (2)由y=5x2+ (100-x)2= x2-500x+25000 = 2+ , 则当x= 时,y最小. 故当核电站建在距A城 km时,才能使供电总费用最小. 分段函数模型的应用 【例3】 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位: 百件)时,销售所得的收入约为5t- t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位: 百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大? [解] (1)当0 所以f(x)= 即f(x)= (2)当0 x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值, f(x)max=10.78125(万元). 当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域求法: 逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 3.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地. (1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数; (2)求汽车行驶5小时与A地的距离. [解] (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时,这时x=60t;当2.5 x= (2)当t=5时,x=-50×5+325=75, 即汽车行驶5小时离A地75千米. 1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图形的直观性. 2.数学建模的过程图示如下: 1.思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,判断下列说法的对错. (1)甲比乙先出发.( ) (2)乙比甲跑的路程多.( ) (3)甲、乙两人的速度相同.( ) (4)甲先到达终点.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( ) A B C D B [图反映随着水深h的增加,注水量V增长速度越来越慢,这反映水瓶中水上升的液面越来越小.] 3.某人从A地出发,开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地,在B地停留2小时,则汽车离开A地的距离y(单位: 千米)是时间t(单位: 小时)的函数,该函数的解析式是________. [答案] y= 4.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试由图象解决下列问题: (1)求y与x的函数解析式; (2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元,每天至少卖出多少张门票? [解] (1)由图象知,可设y=kx+b(k≠0),x∈[0,200]时,过点(0,-1000)和(200,1000),解得k=10,b=-1000,从而y=10x-1000;x∈(200,300]时,过点(200,500)和(300,2000),解得k=15,b=-2500, 从而y=15x-2500, 所以y= (2)每天的盈利额超过1000元,则x∈(200,300],由15x-2500>1000得,x> ,故每天至少需要卖出234张门票. 课后作业 函数的应用 (建议用时: 60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套( ) A.2000双 B.4000双 C.6000双D.8000双 D [由5x+40000≤10x,得x≥8000,即日产手套至少8000双才不亏本.] 2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( ) A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域 B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域 C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域 D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域 A [由图像,可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域,故选A.] 3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为: y= 其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( ) A.15B.40 C.25D.130 C [令y=60. 若4x=60,则x=15>10,不合题意; 若2x+10=60,则x=25,满足题意; 若1.5x=60,则x=40<100,不合题意. 故拟录用25人.] 4.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率 由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于( ) A.12B.15 C.25D.50 B [设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组: 解这个方程组,消去a,x,可得r=15.] 5.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么( ) A.此人可在7s内追上汽车 B.此人可在10s内追上汽车 C.此人追不上汽车,其间距最少为5m D.此人追不上汽车,其间距最少为7m D [设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s= t2,车与人的间距d=(s+25)-6t= t2-6t+25= (t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.] 二、填空题 6.经市场调查,某商品的日销售量(单位: 件)和价格(单位: 元/件)均为时间t(单位: 天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位: 元)与时间t的函数解析式为S(t)=________. 2t2+108t+400,t∈N [日销售额=日销售量×价格,故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)=2t2+108t+400,t∈N.] 7.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2. 2 [设一个三角形的边长为xcm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,两个三角形的面积和为S= x2+ (4-x)2= (x-2)2+2 ≥2 , 这两个正三角形面积之和的最小值是2 cm2.] 8.国家规定个人稿费纳税办法为: 不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一书共纳税420元,这个人的稿费为________元. 3800 [若这个人的稿费为4000元时,应纳税(4000-800)×14%=448(元). 又∵420<448,∴此人的稿费应在800到4000之间,设为x,∴(x-800)×14%=420,解得x=3800元.] 三、解答题 9.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说: “如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说: “包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”.若全票价为240元. (1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式; (2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样? (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠? [解] (1)y甲=120x+240(x∈N+), y乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x∈N+). (2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4人时,两家旅行社的收费一样. (3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠. 10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别是40cm与60cm,现在将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪才能使剩下的残料最少? 并求出此时残料的面积. [解] 设直角三角形为△ABC,AC=40,BC=60,矩形为CDEF,如图所示,设CD=x,CF=y,则由Rt△AFE∽Rt△EDB得 = ,即 = ,解得y=40- x, 记剩下的残料面积为S,则 S= ×60×40-xy= x2-40x+1200= (x-30)2+600(0<x<60), 故当x=30时,Smin=600,此时y=20, 所以当x=30,y=20时,剩下的残料面积最小为600cm2. [等级过关练] 1.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况: 一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f (2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g (2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图象,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是( ) C [根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C中的图象可能正确.] 2.一个体户有一批货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%.如果月末售出,可获利120元,但要付保管费5元.这位个体户为获利最大,则这批货( ) A.月初售出好B.月末售出好 C.月初或月末售出一样D.由成本费的大小确定 D [设这批货物成本费为x元,若月初售出时,到月末共获利为100+(x+100)×2.4%; 若月末售出时,可获利为120-5=115(元). 可得100+(x+100)×2.4%-115=2.4%×(x-525). ∴当成本费大于525元时,月初售出好;当成本费小于525元时,月末售出好;当成本费等于525元时,月初或月末售出均可.] 3.已知直角梯形ABCD,如图 (1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图 (2)所示,则△ABC的面积为________. (1) (2) 16 [由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5, 所以AB=5+ =5+3=8. 所以S△ABC= ×8×4=16.] 4.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=13,BC=3,在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x,则x=________时,四边形EFGH的面积最大,最大面积为________. 3 30 [设四边形EFGH的面积为S,则 S=13×3-2 =-2x2+16x=-2(x-4)2+32,x∈(0,3]. 因为S=-2(x-4)2+32在(0,3]上是增函数, 所以当x=3时,S有最大值为30.] 5.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间: 讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强),x表示提出和讲授概念的时间(单位: 分),可有以下的公式 f(x)= (1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强? 能维持多长时间? (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受能力何时强一些? [解] (1)当0 由f(x)的图象(图略)可知,当x=10时,f(x)max=f(10)=59; 当10 当16 因此,开讲后10分钟,学生的接受能力最强,并能持续6分钟. (2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.
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