一元二次方程知识点汇总.docx
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一元二次方程知识点汇总
一元二次方程知识点汇总
一、一元二次方程的定义及一般形式:
只含有一个未知数x,未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。
因此,一元二次方程必须满足以下3个条件:
1方程两边都是关于未知数的等式
2只含有一个未知数
3未知数的最高次数为2
如:
2x2-4x+3=0,3x2=5为一元二次方程,而像
就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的特殊形式
(1)当b=0,c=0时,有:
ax2=0,∴x2=0,∴x=0
(2)当b=0,0≠0时,有:
ax2+c=0,∵a≠0,此方程可转化为:
①当a与c异号时,
,根据平方根的定义可知,
,即当b=0,c≠0,且a与c异号时,一元二次方程有两个不相等的实数根,这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时,
,∵负数没有平方根,∴方程没有实数根。
(3)当b≠0,c=0时,有ax2+bx=0,此方程左边可以因式分解,使方程转化为x(ax+b)=0,即x=0或ax+b=0,所以x1=0,x2=-b/a。
由此可见,当b≠0,c=0时,一元二次方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根,且两实数根中必有一个为0。
三、一元二次方程解法:
1.第一步:
解一元二次方程时,如果给的不是一元二次方程的一般式,首先要化为一元二次方程的一般式,再确定用什么方法求解。
2.解一元二次方程的常用方法:
(1)直接开方法:
把一元二次方程化为一般式后,如果方程中缺少一次项,是一个形如ax2+c=0的方程时,可以用此方法求解。
解法步骤:
①把常数项移到等号右边,ax2=-c;
②方程中每项都除以二次项系数,
;
③开平方求出未知数的值:
(2)因式分解法:
把一元二次方程化为一般式后,如果方程左边的多项式可以因式分解的话,可以使用此方法求解。
解法步骤:
①把方程的左边因式分解,转化为两个因式乘积的形式;
②令每个因式分别等于0,进而求出方程的两个根;
例:
解关于x的方程:
x2-(m+n)x+mn=0
解:
把方程左边因式分解成:
(x-m)(x+n)=0
∴x1=m,x2=n
(3)配方法:
当一元二次方程化为一般式后,不能用直接开方和因式分解的方法求解时,可以使用此方法。
解法步骤:
①若方程的二次项系数不是1,方程中各项同除以二次项系数,使二次项系数为1;
②把常数项移到等号右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④方程左边变成一个完全平方式,右边合并同类项,变为一个实数;
⑤方程两边同时开平方,从而求出方程的两个根;
例:
解方程:
3x2+12x-6=0
解:
方程两边同除以3得:
x2+4x-2=0
移项,得:
x2+4x=2
∴x2+4x+
(2)2=2+
(2)2
即:
(x+2)2=6
∴x+2=±√6
(4)公式法:
利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程,适用于所有的一元二次方程。
求根公式:
,其中a≠0。
解法步骤:
①先把一元二次方程化为一般式;’
②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值;
③计算出b2-4ac的值;
④把a、b、b2-4ac的值代入公式;
⑤求出方程的两个根;
例:
解方程:
x2-4x+4=0
解:
(1)方程中:
a=1,b=-4,c=4
△=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=0
∴x={-(-4)±√0}/2×1=2,∴原方程根为x1=x2=2
四、一元二次方程根的判别式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
利用根的判别式可以判断根的情况:
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
(1)当△≥0时
方程有两个实数根,{
(2)当△<0时,方程无实数根。
例:
关于x的一元二次方程(m-1)2-2(m-3)x+m+2=0有实数根,求m的取值范围。
解:
当m-1≠0时,即:
m≠1时,该方程是关于x的一元二次方程。
∵△≥0,即△=[-2(m-3)]2-4(m-1)(m+2)=-28m+44≥0,解得:
m≤11/7
∴m的取值范围是m≤11/7且m≠1。
五、一元二次方程根与系数的关系:
1.定理:
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且b2-4ac≥0)的两个根分别为x1和x2,则:
x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a
特别地:
对于一元二次方程x2+px+q=0,根与系数的关系为:
x1+x2=-p,x1·x2=q
注:
①此定理成立的前提是△≥0,也就是说方程必须有实根时才可以使用。
②此定理又叫韦达定理。
2.根与系数关系的应用举例:
练习1解一元二次方程
1.用直接开方法解一元二次方程
①x2+1=2②(2x-1)2=7③x2-36=0
④(3x-4)2=(3-4x)2⑤25x2-36=0⑥(x-3)2-144=0
2.用因式分解法解一元二次方程
①x2-5x+6=0②x2+4x-5=0③5x(x-3)=6-2x
④(x-5)(x-6)=x-5⑤(2x-5)2-(x+4)2=0⑥4(x-1)2-9(x+2)2=0
3.用配方法解一元二次方程
①x2-3x+1=0②x2+x-1=0③4x2-12x+3=0
④x(x+4)=8x+12⑤x2-4x+2=0⑥6x2-x-12=0
4.用公式法解一元二次方程
①3x2-5x+2=0②2x2-10x=3③3x2+5(2x+1)=0
④3x2-4x-1=0⑤2x2-7x-4=0⑥4x2-12x+3=0
5.选择适当的方法解一元二次方程
①3x2+1=4x②(x-2)2=9x2③2x2=x+6
④x(3x-7)=2x⑤t2-4t=5⑥4(x+1)2=4(2x-5)2
练习2根与系数关系
1、填空题
2、选择题
3、解答题
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