不用极限怎样讲微积分.docx
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不用极限怎样讲微积分
不用极限怎样讲微积分
张景中
(广州大学计算机教育软件研究所)
讲微积分必须讲极限,否则就讲不清楚,这几乎是两百年来数学
界的共识,但逆反心理总是有的,越说不用极限不能讲微积分,就越有人想打破框框,想不用极限讲讲微积分,这不,有本书就叫做《不用极限的微积分》(原文:
CalculusWith-outLimit)[1]。
在网上看到这书名如获至宝,带着激动的心情下载解包急欲一读为快.一看
封面,心先凉了一半,原来在书名后面有一条小尾巴:
一almost.(图
1)
这就是说不是不用极限,是“几乎”不用极限,再看内容,就知道了所谓“几乎”不用极限,就是用直观描述代替严谨的极限定义,这和许多微积分的通俗读物本质上没有区别,是模模糊糊的说不清楚的微积分,听有些在大学里讲微积分的老师说,学生根本没有学过微积分还好教,如果学过一些说不清楚的微积分,成了夹生饭,就更不容易教他学懂微积分了,是否真的如此,没有调查研究不敢妄言.但不用极限讲微积分这个题目,就显得更诱人.
五十年前学微积分,三十年前又教微积分,常常想一个问题:
怎样把微积分变得容易些,曾经想过不用;一二来寇义极限[2],但不用极限讲微积分的问题更有意思,在数学教育中更有实际意义,近来
在林群先生一系列工作[3,4,5,6]的启发下,偶有所得,自以为是真正实现了不用极限讲微积分,而且是严谨地讲,不用almost.其中
有些思路好像以前没有人说过,于是抛砖引玉,希望对高中里的微积分的教学,以及大学里高等数学的教学改革有些用处.
1差商和差商有界的函数
讲这个问题总得有点预备知识,无非是函数,差分,差商.
高中数学课里函数总是要讲的,习惯上只讲一元函数.其实
大可以不必这么小气,同时提一下多元函数概念只有好处.小学里的加减乘除都是2元函数,求梯形面积公式就是3元函数,求圆面积公式才是一元函数,这样一讲,学生会感到函数不是新来的怪物,是老朋友,更直观更具体,然后先从一元函数来研究,多元函数概念立此存照.有此伏笔,将来把定积分看成区间两端点的2元函数就顺理成章了.
.接着要讲函数的递增递减.判断函数f(x)的增减性最好给学生一个工具,这工具就是差分f(x“)-f(x)或差商jy=f(xh)-f(x)湘
△xh
教版高中教材讲了差分:
当h>0时,差分正则函数增,差分负则函数减,人教版高中教材讲了差商:
差商正则函数增,差商负则函数减.知道了差分和差商,讲微积分就方便了,不管用不用极限,差分和差商总是要用的.
差商是函数在一个区间上的平均变化率.常见的函数,在有限区间上的差商多是有界的,这类函数很重要,干脆给个定义:
定义1.1若函数f(x)在区间|上有定义,且有正数M使得对I上任意两点u (Lipschitz条件). 定理1.1在区间[a,b]上差商有界的函数f(x)在区间[a,b]上必有界.这是因为 If(x)冃f(a)f(x)—f(a)|_|f(a)||f(x)-f(a)| _|f(a)|M|x-a|_|f(a)|M|b-a| 之故。 例1.1求证函数y=X2在区间[a,b]上差商有界. 证明对[a,b]上任意两点u |f(v)「f(u)|=|v2「u2|=|vu||v「u|乞2(|a||b|)|v「u| 取M=2(|a||b|),即知函数y=x2在[a,b]上差商有界. 例1.2求证函数yhjx在区间[0,1]上非差商有界,但对于 任意的a>0,它在[a,上差商有界. 证明先用反证法证明其在区间[0,1]上非差商有界.若不然,有正数M,使得对[0,1]上任意两点u 4M2 而当a>0时在[a,垃]上,由于匚且=亠,可见它是差 v-uJu+Jv2ja 商有界的。 几何上看,差商有界的函数,其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界,也就是不能太陡, 多项式函数,三角函数,指数函数和对数函数,在有定义的闭区间上,总是差商有界的.两个差商有界函数的和,积.以及复合函数也是差商有界的, 显然有 定理1.2如果函数F(x)在区间[a,c]上和区间[c,b]上都是差商有界的,则它在区间[a.b]上也是差商有界的.反过来,若函数F(x)在区间[a,b]上差商有界,则它在[a,b]的任意子区间上也是差商有界的. 差商有界的函数,都是规规矩矩的“好函数”.练习计算函数的差分差商,估计差商的绝对值的上界,难度不大,对进一步学微积分却 很有帮助. 2换一个眼光看3个经典例子 不用极限,如何看待微积分的几个经典案例呢? 例2.1用S=S(t)表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程,V二V(t)表示它在时刻t的瞬时速度,则它在时间区间[u,v]上的平均速度的大小,应当在[u,v]上的某两个时刻的瞬时速度之间. 也就是说,有[u,v]上的p和q,使得下面的不等式成立: u-v V(p)乞S(u)_S(v)乞V(q)(2.1) 上式可用语言表达为“函数S(t)的差商是v(t)的中间值”. 要注意的是,尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间”,但要提炼出不等式(2.1)并不容易.从直观的表述得到数学的符号语言,对学生是很好的锻炼, 例2.2记函数y=F(x)的曲线上在点x处的切线的斜率为k(x).则过两点A=(u,F(u))和B=(v,F(v))的割线的斜率,应当在[u,v]上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间(图3). 图3割践絆車在两切线無率之间 也就是说,有[u,v]上的p和q,使得下面的不等式成立: k(p)J(U)_F(v)mk(q)(2.2) u—v 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是k(x)的中间值”上面两个例子,在数学上是一回事.但从平均速度和瞬时速度的问题中,更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值. 例2.3考虑[a,b]上的函数f(x)的曲线和x轴之间的面积.若记[a,b]上曲边梯形面积为F(x)(如图4),则[u,v]上这块面积为F(v)-F(u).如果把这块面积去高补低折合成长为v-u的矩形,则矩形的高应当在[u,v]上的某两个变量值对应的f(x)的值之间(图5). \ /(X) \ O «工$X 也就是说,有[u,v]上的p和q,使得下面的不等式成立: f(p^F(U)~F(v^f(q)(2.3) u—v 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是f(x)的中间值” 注意,我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义.但从几何 直观上看,这面积应当存在,并且折合成长为v-u的矩形后,矩形的 上面3个例子中,都涉及两个函数,其中一个函数的差商是 另一个函数的中间值, 从这些例子中,提炼出一个问题,这是微积分的基本问题: 若f(x)的差商是g(x)的中间值,知道了一个函数,如何求另 一个? 这个问题解决了,求作曲线切线的问题,求瞬时速度问题,求曲边梯形面积问题就都解决了. 牛顿和莱布尼兹是天才,他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题: 无穷小也好,极限也好,都属于天才的思想,所以长时期内使普通人困惑,普通人的平常的推理,只能想到平常的不等式(2.1),(2.2)和(2.3).对这些不等式,小学生都不会困惑。 问题在于,从这些不等式出发,不借助无穷小或极限概念, 能得到问题的答案吗? 3用平常的推理寻求答案 我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型: 若函数f(x)的差商是g(x)的中间值,知道了一个函数,如何求另一个? 为了方便,引入 定义3.1若在I的任意闭子区间[u,v]上,函数f(x)的差商都是g(x)的中间值,则把f(x)叫做g(x)在I上的甲函数,把g(x)叫做f(x)在I上的乙函数, 显然有定理3.1若g(x)是f(x)在[a,b]上的乙函数,又是f(x) 在[b,c]上的乙函数,贝卩g(x)是f(x)在[a,c]上的乙函数, 这是因为,对于任意的uvvvw,差商f(w)一f(u)总在f(w)—f(u)w-uw-u 和f(v)-f(u)之间的缘故.‘ V-u 学过一些微积分的读者心知肚明,f(x)的乙函数似乎就应当 是f(x)的导数.但是,用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗? 例3.1函数g(x)=2x是f(x)=x2的乙函数. 事实上,对任意u f(V)-f(u)V2-u2 (3.1) uV V—uV一u 不等式g(u)=2u 函数. 例3.2函数g(x)=3x2是f(x)=x3的乙函数. 这里有 (3.2) f(v)—f(u)d=u2uvv2 V-uV-u 当UV>0时,u2uvv2显然在g(u)=3u2和g(v)=3v2之间;这表明,在(一汽O]和[O,+C0)上,g(x)=3x2都是f(x)的乙函数.因此在(一°°,+00)上函数g(x)=3x2是f(x)=x3的乙函数, 例3.3对任意正整数n,函数g(x)=nx2是f(x)=xn的乙函数. 推导类似于上例,从略. 例3.4在(0,+°)上,函数g(x)=—1_是f(x)=、,x的乙函数.2品 同样道理,对Ovuvv有 f(V)—f(u)__1(33) v-u_卞丁「右一°() 不等式g(v)1-1-1=g(u)表明,g(x)是f(x)的乙函 2JvJu2Ju 数. 例3.5在(0,+°)和(一°,O上,函数g(x)二丄是f(x)=丄 xx 的乙函数.此时 f(v)-f(u)_V__=z! (34): v-uv-uuv 不等式g(u)二丄_二二g(v)表明,g(x)是f(x)的乙函数. uuvV 例3.6在(一°,+oo)上,函数g(x)=cosx是f(x)=sinx 的乙函数. 只要对任意的整数n,证明在[牛,豊丄]上函数g(x)=cosx是 f(x)=sinx的乙函数即可. 注意当0: : : h时,有sinh : : $^: : : 1;于 2h 是对警,[宁,斗}]上的任意两点u v_uv+u sinv-sinusin(^)cos(-^) V-u 另一方面,有 2sin(匕土)cos匸巴) sinv-sinu'22 V-U“v+u、cosu+cosv-cos()cos( 这表明,在[宁,呼]上COSX是sInx的乙函数. 成立. 例3.7在[0宀)上,函数g—是f(x"的乙函数. 这个例子计算起来稍繁,但方法大体相同,对owu 算出 f(v)-f(u)(而)3-(vu)3u+v+vuv v-u(M2-(‘u)2 (3・7) 再根据owu 3、u(,u亠.v)=3(u亠,uv)_2(uv.uv)_3(v“uv)=3、v(、u亠-v)(3.8) 从而得到兰匕昇一,表明g(x)=乞$是f(X)=X2的乙函数, 2石+W2yk72' 例3.7值得注意: 所得到的乙函数在包含0的区间有定义, 但不是差商有界的. 例3.8探索问题,g(x)23x,2a是不是 f(x)=x3ax2bxc的乙函数呢? 如果对f(x)分项求乙函数再加起来确实得到g(x).但是现在还没有证明分项计算乙函数的法则,所以只能直接计算.先求出f(x)在[u,v]上的差商,记做D二一=v2uvu2a(uv)b考虑它 和g(u)以及g(v)之差: 222 D-g(u)=v-uuv-ua(v-u)=(v-u)(v2ua)(3.9) 222 g(v)-D=v-uv-uva(v-u)=(v-u)(2vua)(3.10) 因为(v-u)总是正数,故当3u+a>0时,(3.9)和(3.10) 都非负,即g(u) •: : )上g(x)是f(x)的乙函数;3 当3v+a<0时,(3.9)和(3.10)都非正,即g(v) 上g(x)也是f(x)的乙函数.这肯定了在(°°,+^°)上g(x)3 是f(x)的乙函数. 上面求出来的乙函数和用取极限方法求出来的导数是一样 的.普普通通的推理和天才巨匠的方法得到了相同的结论.奇怪的是, 这样平常的推理,过去居然没人提到! 由定义直接推出: 定理3.2(i)函数g(x)=0是常数函数f(x)=C的乙函数. (ii)函数g(x)=k是一次函数f(x)=kx+b的乙函数. (iii)若函数g(x)是f(x)的乙函数,则函数kg(x)是kf(x) +c的乙函数. (iv)若函数g(x)是f(x)的乙函数,则函数kg(kx+c)是f(kx +c)的乙函数. 乙函数还有什么用? 下面的定理说明,乙函数用处很大. 定理3.3设在区间I上函数g(x)是f(x)的乙函数,在I的 任意子区间[u,v]上,若g(x)为正则f(x)递增;若g(x)为负则f(x)递减;若g(x)为0则f(x)为常数. 根据乙函数的定义就知道,这个命题显然成立. 上面诸例中得到的乙函数其实就是导数.在当前的高中教材 中,根据导数正负判断函数增减是导数的最重要的应用,可是道理说 不清楚.在大学里非数学专业的高等数学课程里,也只能讲一部分道 理,不要求完全严谨证明.因为涉及实数理论,板限概念和连续性,完全说清楚至少要两周的课时.现在,平平常常的推理,就说清楚了.既直观又严谨. 由例3.8和定理3.3,三次函数单调区间的确定以及最大最小值问题就完全而严谨地解决了.新方法的好处露出了冰山一角. 4导数概念 上面几个例子中找出来的乙函数,除了例3.7,在有定义的闭区间上都是差商有界的. 差商有界的函数有何特色呢? 定理4.1(差商有界函数的局部保号性)设函数f(x)在区间
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