实验报告材料四线性方程组地求解迭代Word文件下载.docx
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1)Jacobi迭代法;
2)Gauss-Seidel迭代法;
3)松弛迭代法(松弛因子依次取1.334,1.95,0.95)。
2-3分析应用题
考虑方程组
,其中系数矩阵
为Hilbert矩阵,
选择问题的维数
分别为2、3、5、10,并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题,解的给定可以使用函数
定义,并取迭代初始向量
为零向量,迭代误差为
,编写程序:
其中n为Hilbert矩阵的维数,分别构造求解该问题的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代,看它们是否收敛。
2-4分析应用题
解线性方程组
的解向量,取
,其中
为任一非零的六元向量;
编写程序输出结果:
认真观察之,能发现什么有趣的现象?
【MATLAB相关函数】
⏹提取(产生)对角阵
v=diag(x)若输入向量x,则输出v是以x为对角元素的对角阵;
若输入矩阵x,则输出v是x的对角元素构成的向量
v=diag(diag(x))输入矩阵x,输出v是x的对角元素构成的对角阵,可用于迭代法中从A中提取D。
⏹提取(产生)上(下)三角阵
v=triu(x)输入矩阵x,输出v是x的上三角阵;
v=tril(x)输入矩阵x,输出v是x的下三角阵;
v=triu(x,1)输入矩阵x,输出v是x的上三角阵,但对角元素为0,可用于迭代法中从A中提取U。
v=tril(x,-1)输入矩阵x,输出v是x的下三角阵,但对角元素为0,可用于迭代法中从A中提取L。
⏹矩阵特征值
b=eig(A)输入矩阵A,输出b是A的所有特征值。
⏹范数
n=norm(x)输入x为向量或矩阵,输出为x的2范数;
n=norm(x,p)输入x为向量或矩阵,当p=1,inf时分别输出为x的1,无穷范数;
⏹Hilbert矩阵
h=hilb(n)输出h为n阶Hilbert矩阵
三.操作方法与实验步骤(包括实验数据记录和处理)
1)Jacobi迭代:
function[X]=Jacobimethod(A,b,X0,P,Nmax,eps)
%A和b分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量;
x0为迭代初始向量X0;
Nmax为容许迭代最大%次数,eps为迭代终止条件的精度(容许误差),终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数%P=1,2,inf或’fro.’
%输出的量:
系数矩阵
的
的值和有关雅可比迭代收敛性的相关信息及AX=b的精确解jX和近似解X
[nm]=size(A);
forj=1:
m
a(j)=sum(abs(A(:
j)))-2*(abs(A(j,j)));
end
fori=1:
n
ifa(i)>
=0
disp('
请注意:
系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛'
)
return
end
ifa(i)<
系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组由唯一解,且雅可比迭代收敛'
fork=1:
Nmax
k
forj=1:
X(j)=(b(j)-A(j,[1:
j-1,j+1:
m])*X0([1:
m]))/A(j,j);
X,djwcX=norm(X'
-X0,P);
xdwcX=djwcX/(norm(X'
P)+eps);
X0=X'
;
X1=A\b;
if(djwcX<
eps)&
&
(xdwcX<
eps)
雅可比迭代收敛,此方程的精确解jX和近似解X如下:
'
if(djwcX>
(xdwcX>
雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax'
a,X=X;
jX=X1'
2)Gauss-Seidel迭代:
function[x]=GaussSeidelmethod(A,b,x0,P,Nmax,wucha)
%输入的量:
线性方程组AX=b的系数矩阵A和b,初始向量x0,范数的名称P=1,2,inf或'
fro.'
,%近似解x的误差(精度)wucha和迭代的最大次数Nmax。
%输出的量:
以系数矩阵
的对角元构成对角矩阵D、A的上三角形矩阵U,但对角
%元为0、A的下三角矩阵L,但对角元为0和有关高斯-赛德尔迭代收敛性的相关信息及其AX=b
%的精确解jx和近似解x。
D=diag(diag(A));
U=-triu(A,1);
L=-tril(A,-1);
dD=det(D);
ifdD==0
因为对角矩阵D奇异,所以此方程组无解.'
else
因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解.'
iD=inv(D-L);
B2=iD*U;
f2=iD*b;
jx=A\b;
x=x0;
[nm]=size(A);
fork=1:
x1=B2*x+f2;
djwcx=norm(x1-x,P);
xdwcx=djwcx/(norm(x,P)+eps);
if(djwcx<
wucha)||(xdwcx<
wucha)
else
k;
x1'
k=k+1;
x=x1;
高斯-赛德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx和近似解如下:
高斯-赛德尔迭代的结果没有达到给定的精度,并且迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax,方程组的精确解jx和迭代向量x如下:
x=x'
jx=jx'
x=x'
D,U,L,jx=jx'
3)松弛迭代:
function[x]=SORmethod(A,b,x,Nmax,wucha,w)
线性方程组AX=b的系数矩阵A和b,初始向量x,范数名称P=1,2,inf,或'
,%松弛因子w,近似解x的误差(精度)wucha和迭代的最大次数Nmax。
谱半径mH,以系数矩阵A的对角元构成的对角矩阵D、A的上三角矩阵U,但对角%元为0、A的下三角矩阵L,但对角元为0,迭代次数i,有关超松弛迭代收敛性的相关信息
%及其AX=b的精确解jx和近似解x。
iD=inv(D-w*L);
B2=iD*(w*U+(1-w)*D);
H=eig(B2);
mH=norm(H,inf);
iD=inv(D-w*L);
f2=w*iD*b;
x1=B2*x+f2;
x=x1;
djwcx=norm(x1-jx,inf);
xdwcx=djwcx/(norm(x,inf)+eps);
谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx,迭代次数i如下:
mH,D,U,L,jx=jx'
i=k-1,
ifi>
迭代次数已经超过最大迭代次数Nmax,谱半径mH,方程组的精确解jx,迭代次数i如下:
ifmH>
=1
因为谱半径不小于1,所以超松弛迭代序列发散.'
谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jx,迭代次数i和迭代序列x如下:
i=k-1,mH,D,U,L,jx,
因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛,近似解x如下:
2-2分析应用题
解:
1)>
>
A=[4-10-100;
-14-10-10;
0-14-10-1;
-10-14-10;
0-10-14-1;
00-10-14];
b=[0;
5;
-2;
6];
X0=[000000]'
X=Jacobimethod(A,b,X0,inf,0.0001,100)
系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛
k=
1
X=
01.2500-0.50001.2500-0.50001.5000
2
0.62501.00000.50001.00000.50001.2500
3
0.50001.65630.31251.65630.31251.7500
4
0.82811.53130.76561.53130.76561.6563
5
0.76561.83980.67971.83980.67971.8828
6
0.91991.78130.89061.78130.89061.8398
7
0.89061.92530.85061.92530.85061.9453
8
0.96261.89790.94901.89790.94901.9253
9
0.94901.96510.93031.96510.93031.9745
10
0.98261.95240.97621.95240.97621.9651
11
0.97621.98370.96751.98370.96751.9881
12
0.99191.97780.98891.97780.98891.9837
13
0.98891.99240.98481.99240.98481.9944
14
0.99621.98960.99481.98960.99481.9924
15
0.99481.99650.99291.99650.99291.9974
16
0.99821.99520.99761.99520.99761.9965
17
0.99761.99830.99671.99830.99671.9988
18
0.99921.99770.99891.99770.99891.9983
19
0.99891.99920.99851.99920.99851.9994
20
0.99961.99890.99951.99890.99951.9992
21
0.99951.99960.99931.99960.99931.9997
22
0.99981.99950.99981.99950.99981.9996
23
0.99981.99980.99971.99980.99971.9999
24
0.99991.99980.99991.99980.99991.9998
25
0.99991.99990.99981.99990.99981.9999
26
1.00001.99990.99991.99990.99991.9999
27
0.99992.00000.99992.00000.99992.0000
雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jx和近似解x如下:
2)
x0=[000000]'
x=GaussSeidelmethod(A,b,x0,inf,100,0.0001)
因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解.
ans=
01.2500-0.18751.20310.11331.4814
0.61331.38480.51731.56100.60681.7810
0.73641.71510.76431.77690.81831.8956
0.87301.86390.88411.89380.91331.9494
0.93941.93420.94441.94930.95821.9756
0.97091.96840.97331.97560.97991.9883
0.98601.98480.98721.98830.99031.9944
0.99331.99270.99381.99440.99541.9973
0.99681.99650.99701.99730.99781.9987
0.99841.99830.99861.99870.99891.9994
0.99931.99920.99931.99940.99951.9997
0.99961.99960.99971.99970.99981.9999
0.99981.99980.99981.99990.99991.9999
x=
0.9998
1.9998
1.9999
0.9999
3)
当w=1.334:
A=[4-10-100;
x=SORmethod(A,b,x,100,0.0001,1.334)
mH=
0.4305
D=
400000
040000
004000
000400
000040
000004
U=
010100
001010
000101
000010
000001
000000
L=
100000
010000
101000
jx=
1.00002.00001.00002.00001.00002.0000
i=
0
2.0000
1.0000
当w=1.95:
x=SORmethod(A,b,x,100,0.0001,1.95)
0.9589
当w=0.95:
x=SORmethod(A,b,x,100,0.0001,0.95)
0.5260
2-3分析应用题
2-4分析应用题
四.实验结果与分析
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- 实验 报告 材料 线性方程组 求解