24数学符号表.docx
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24数学符号表
数学符号表
数学上,有一组常在数学表达式中出现的符号。
数学工作者熟悉这些符号,不是每次使用都加以说明。
所以,对于数学初学者,下面的列表给出了很多常见的符号包括名称、读法和应用领域。
另外,第三栏有一个非正式的定义,第四栏有个简单的例子。
注意,有时候不同符号有相同含义,而有些符号在不同的上下文中有不同的含义。
注意:
本条目含有特殊字符。
符号
名称
定义
举例
读法
数学领域
=
等号
x=y表示x和y是相同的东西或其值相等。
1+1=2
等于
所有领域
≠
不等号
x≠y表示x和y不是相同的东西或数值。
1≠2
不等于
所有领域
<
>
严格不等号
x x>y表示x大于y。 3<4 5>4 小于,大于 序理论 ≤ ≥ 不等号 x≤y表示x小于等于y。 x ≥y表示x大于等于y。 3≤4;5≤5 5≥4;5≥5 小于等于,大于等于 序理论 + 加号 4+6表示4加6。 2+7=9 加 算术 − 减号 9−4表示9减4。 8−3=5 减 算术 负号 −3表示3的负数。 −(−5)=5 负 算术 补集 A−B表示包含所有属于A但不属于B的元素的集合。 {1,2,4}−{1,3,4} = {2} 减 集合论 × 乘号 3×4表示3乘以4。 7×8=56 乘以 算术 直积 X×Y表示所有第一个元素属于X,第二个元素属于Y的有序对的集合。 {1,2}×{3,4}={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} …和…的直积 集合论 叉乘 u×v表示向量u和v的叉乘。 (1,2,5)×(3,4,−1)=(−22,16,−2) 叉乘 向量代数 ÷ / 除号 6÷3或6/3表示6除以3。 2÷4=0.5 12/4=3 除以 算术 √ 根号 √x表示其平方为x的正数。 √4=2 …的平方根 实数 复根号 若用极坐标表示复数z=rexp(iφ)(满足-π<φ≤π),则√z=√rexp(iφ/2)。 √(-1)=i …的平方根 复数 || 绝对值 |x|表示实数轴(或复平面)上x和0的距离。 |3|=3,|-5|=|5| |i|=1,|3+4i|=5 …的绝对值 数 ! 阶乘 n! 表示连乘积1×2×…×n。 4! =1×2×3×4=24 …的阶乘 组合论 ~ 概率分布 X~D表示随机变量X概率分布为D。 X~N(0,1): 标准正态分布 满足分布 统计学 ⇒ → ⊃ 实质蕴涵 A⇒B表示A真则B也真;A假则B不定。 →可能和⇒一样,或者有下面将提到的函数的意思。 ⊃可能和⇒一样,或者有下面将提到的父集的意思。 x=2 ⇒ x2=4为真,但x2=4 ⇒ x=2一般情况下为假(因为x可以是−2)。 推出,若…则… 命题逻辑 ⇔ ↔ 实质等价 A⇔B表示A真则B真,A假则B假。 x+5=y+2 ⇔ x+3=y 当且仅当 命题逻辑 ¬ ˜ 逻辑非 命题¬A为真当且仅当A为假。 将一条斜线穿过一个符号相当于将"¬"放在该符号前面。 ¬(¬A)⇔A x≠y ⇔ ¬(x= y) 非,不 命题逻辑 ∧ 逻辑与或交运算 若A为真且B为真,则命题A∧B为真;否则为假。 n<4 ∧ n>2 ⇔ n=3,当n是自然数 与 命题逻辑,格理论 ∨ 逻辑或或并运算 若A或B(或都)为真,则命题A∨B为真;若两者都假则命题为假。 n≥4 ∨ n≤2 ⇔n≠3,当n是自然数 或 命题逻辑,格理论 ⊕ ⊻ 异或 若A和B刚好有一个为真,则命题A⊕B为真。 A⊻B的意义相同。 (¬A)⊕A恒为真,A⊕A恒为假。 异或 命题逻辑,布尔代数 ∀ 全称量词 ∀x: P(x)表示P(x)对于所有x为真。 ∀n∈N: n2≥n 对所有;对任意;对任一 谓词逻辑 ∃ 存在量词 ∃x: P(x)表示存在至少一个x使得P(x)为真。 ∃n∈N: n为偶数 存在 谓词逻辑 ∃! 唯一量词 ∃! x: P(x)表示有且仅有一个x使得P(x)为真。 ∃! n∈N: n+5=2n 存在唯一 谓词逻辑 : = ≡ : ⇔ 定义 x: =y或x≡y表示x定义为y的一个名字(注意: ≡也可表示其它意思,例如全等)。 P: ⇔Q表示P定义为Q的逻辑等价。 coshx: =(1/2)(expx+exp(−x)) AXORB: ⇔(A∨B)∧¬(A∧B) 定义为 所有领域 {,} 集合括号 {a,b,c}表示a,b,c组成的集合。 N={0,1,2,…} …的集合 集合论 {: } {|} 集合构造记号 {x: P(x)}表示所有满足P(x)的x的集合。 {x|P(x)}和{x: P(x)}的意义相同。 {n∈N: n2<20}={0,1,2,3,4} 满足…的集合 集合论 ∅ {} 空集 ∅表示没有元素的集合。 {}的意义相同。 {n∈N: 1 空集 集合论 ∈ ∉ 集合属于 a∈S表示a属于集合S;a∉S表示a不属于S。 (1/2)−1∈N 2−1∉N 属于;不属于 所有领域 ⊆ ⊂ 子集 A⊆B表示A的所有元素属于B。 A⊂B表示A⊆B但A≠B。 A∩B⊆A;Q⊂R …的子集 集合论 ⊇ ⊃ 父集 A⊇B表示B的所有元素属于A。 A⊃B表示A⊇B但A≠B。 A∪B⊇B;R⊃Q …的父集 集合论 ∪ 并集 A∪B表示包含所有A和B的元素但不包含任何其他元素的集合。 A⊆B ⇔ ;A∪B=B …和…的并集 集合论 ∩ 交集 A∩B表示包含所有同时属于A和B的元素的集合。 {x∈R: x2=1}∩N={1} …和…的交集 集合论 \ 补集 A\B表示所有属于A但不属于B的元素的集合。 {1,2,3,4}\{3,4,5,6}={1,2} 减;除去 集合论 () 函数应用 f(x)表示f在x的值。 f(x): =x2,则f(3)=32=9。 f(x) 集合论 优先组合 先执行括号内的运算。 (8/4)/2=2/2=1;8/(4/2)=8/2=4 所有领域 ƒ: X →Y 函数箭头 ƒ: X→Y表示ƒ从集合X映射到集合Y。 设ƒ: Z→N定义为ƒ(x)=x2。 从…到… 集合论 ⃘ 复合函数 f⃘g是一个函数,使得(f⃘g)(x)=f(g(x))。 若f(x)=2x,且g(x)=x+3,则(fog)(x)=2(x+3)。 复合 集合论 N ℕ 自然数 N表示{0,1,2,3,…},另一定义参见自然数条目。 {|a|: a∈Z}=N N 数 Z ℤ 整数 Z表示{…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。 {a: |a|∈N}=Z Z 数 Q ℚ 有理数 Q表示{p/q: p,q∈Z,q≠0}。 3.14∈Q π∉Q Q 数 R ℝ 实数 R表示{limn→∞an: ∀n∈N: an∈Q,极限存在}。 π∈R √(−1)∉R R 数 C ℂ 复数 C表示{a+bi: a,b∈R}。 i=√(−1)∈C C 数 ∞ 无穷 ∞是扩展的实数轴上大于任何实数的数;通常出现在极限中。 limx→01/|x|=∞ 无穷 数 π 圆周率 π表示圆周长和直径之比。 A=πr²是半径为r的圆的面积 pi 几何 |||| 范数 ||x||是赋范线性空间元素x的范数。 ||x+y||≤||x||+||y|| …的范数;…的长度 线性代数 ∑ 求和 ∑k=1nak表示a1+a2+…+an. ∑k=14k2=12+22+32+42=1+4+9+16=30 从…到…的和 算术 ∏ 求积 ∏k=1nak表示a1a2···an. ∏k=14(k+2)=(1 +2)(2+2)(3+2)(4+2)=3×4×5×6=360 从…到…的积 算术 直积 ∏i=0nYi表示所有(n+1)-元组(y0,…,yn)。 ∏n=13R=Rn …的直积 集合论 ' 导数 f'(x)函数f在x点的倒数,也就是,那里的切线斜率。 若f(x)=x2,则f'(x)=2x …撇;…的导数 微积分 ∫ 不定积分或反导数 ∫f(x)dx表示导数为f的函数. ∫x2dx=x3/3 …的不定积分;…的反导数 微积分 定积分 ∫abf(x)dx表示x-轴和f在x=a和x=b之间的函数图像所夹成的带符号面积。 ∫0bx2 dx=b3/3; 从…到…以…为变量的积分 微积分 ∇ 梯度 ∇f(x1,…,xn)偏导数组成的向量(df/dx1,…,df/dxn). 若f(x,y,z)=3xy+z²则∇f=(3y,3x,2z) …的(del或nabla或梯度) 微积分 ∂ 偏导数 设有f(x1,…,xn),∂f/∂xi是f的对于xi的当其他变量保持不变时的导数. 若f(x,y)=x2y,则∂f/∂x=2xy …的偏导数 微积分 边界 ∂M表示M的边界 ∂{x: ||x||≤2}= {x: ||x||=2} …的边界 拓扑 ⊥ 垂直 x⊥y表示x垂直于y;更一般的x正交于y. 若l⊥m和m⊥n则l||n. 垂直于 几何 底元素 x=⊥表示x是最小的元素. ∀x: x∧⊥=⊥ 底元素 格理论 ⊧ 蕴含 A⊧B表示A蕴含B,在A成立的每个模型中,B也成立. A⊧A∨¬A 蕴含; 模型论 ⊢ 推导 x⊢y表示y由x导出. A→B⊢¬B→¬A 从…导出 命题逻辑,谓词逻辑 ◅ 正则子群 N◅G表示N是G的正则子群. Z(G)◅G 是…的正则子群 群论 / 商群 G/H表示G模其子群H的商群. {0,a,2a,b,b+a,b+2a}/{0,b}={{0,b},{a,b+a},{2a,b+2a}} 模 群论 ≈ 同构 G≈H表示G同构于H Q/{1,−1}≈V, 其中Q是四元数群V是克莱因四群. 补充说明 然而原表中虽然有六十余个符号,却对初等数学的符号尚未罗列完整,随便点出几处: 原表 有阶乘符号而无排列组合符号; 有函数符号而无反函数符号; 有代数符号而基本无几何、三角、反三角符号(仅有一个垂直符号); 有平方根符号而无立方根、n次方根符号; 有导数符号而无极限符号; 有等于符号而无恒等于、同余符号; 有向量叉乘符号而无有向线段、向量、向量数量乘积(点乘积)符号; 有复数绝对值(应为模)符号而无复数、共轭复数、复数实虚部符号; 无对数符号、指数符号 对于高等数学,表中所列符号仅占全部符号的1/3。 另外表中所列符号还有错误和赘疣: 符号||: 对实数是绝对值,对复数是模(尤其对虚数); 符号Φ: 表示空集,空集不是用{}表示; 符号≌: 几何中表示全等,近世代数(群论)中表示同构,同构不是用≈号; 符号-: 集合论中的补集,这在过去是对的,但现在集合论中的补集已不是这个符号, 复合函数符号没有省去或简化任何一个字符,反而多出一个赘疣,有悖定义符号的原则,不知是哪位教授独创? 符号规定应有部颁标准,当然也符合绝大多数数学工作者的习惯,少数独创的应不在此列。
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- 24 数学 符号