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pb,
[OF=CF
•••△OPA^ACPE(SAS),
•••AO=CE,
•AC=AE+CE=AO+AP;
故③正确;
过点C作CH丄AB于H,
•••/PAC=ZDAC=60°
AD丄BC,
•CH=CD,
•-Saabc=AB?
CH,
S四边形aocp=Saacp+Saaoc=—AP?
CH+—OA?
CD=—AP?
CH+—OA?
CH=—CH?
(AP+OA)=—CH?
AC,
222S22
•-SaABC=S四边形AOCP;
故④正确.
故选D.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定与性质,关键是正确作出辅助线.
2.如图,四边形ABCD是直角梯形,AB//CD,AD丄AB,点P是腰AD上的一个动点,要使PC+PB最小,则点P应该满足()
轴对称-最短路线问题;
直角梯形.
专题:
压轴题;
动点型.
分析:
首先根据轴对称的知识,可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点,利用轴对称和对顶角相等的性质可得.
解答:
解:
如图,作点C关于AD的对称点E,连接BE交AD于P,连接CP.
根据轴对称的性质,得/DPC=/EPD,根据对顶角相等知/APB=/EPD,所以/APB=/DPC.
此题的关键是应知点P是怎样确定的•要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小,则需要利用轴对称的性质进行确定.
3.
如图,△ABC是等腰直角三角形,△DEF是一个含30°
角的直角三角形,将D放在BC的中点上,转动△DEF,
DE,DF分别交AC,BA的延长线于E,G,则下列结论:
AG=CE②DG=DE
其中总是成立的是()
D.①②④
A.①②③B.①②③④C.②③④考点:
旋转的性质;
全等三角形的判定与性质.
开放型.
连DA,由厶ABC是等腰直角三角形,D点为BC的中点,根据等腰直角三角形的性质得AD丄BC,AD=DC,
/ACD=/CAD=45°
得到/GAD=/ECD=135°
由/EDF=90°
根据同角的余角相等得到/仁/2,所以
△DAG◎△DCE,AG=EC,DG=DE,由此可分别判断.
解答:
连DA,如图,
•••△ABC是等腰直角三角形,D点为BC的中点,•••AD丄BC,AD=DC,/ACD=/CAD=45°
•••/GAD=/ECD=135°
又•••△DEF是一个含30°
角的直角三角形,
•/EDF=90°
•/1=/2,
•△DAG◎△DCE,
•ag=ec,dg=de,所以①②正确;
-AB=AC,
•BG-AC=BG-AB=AG=EC,所以③正确;
故选B.
Ax
£
本题考查了旋转的性质:
旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等•也考查了等腰直三角形的性质,特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的半.
4.如图:
△ABC中,/ACB=90°
/CAD=30°
AC=BC=AD,CE丄CD,且CE=CD,连接BD,DE,BE,则下列结论:
①/ECA=165°
②BE=BC;
③AD丄BE;
④0=1.其中正确的是()
BD
A.①②③B.①②④C.①③④|D.①②③④
等腰直角三角形;
含30度角的直角三角形.
①根据:
/CAD=30°
AC=BC=AD,禾U用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出/ECA=165°
从而得证结论正确;
2根据CE丄CD,/ECA=165°
利用SAS求证△ACD◎△BCE即可得出结论;
3根据/ACB=90°
AC=BC,利用等腰三角形的性质和△ACD◎△BCE,求出/CBE=30°
然后即可得出结论;
4过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N.由/CAD=30°
可得CM=丄AC,求证△CMDCND,
2
可得CN=CM=>
!
aC=2bc,从而得出CN=BN.然后即可得出结论.
22
-
①•••/CAD=30°
AC=BC=AD,/-ZACD=/ADC=三(180°
-30°
=75°
•/CE丄CD,/.ZDCE=90°
•••ZECA=165°
••①正确;
2•/CE丄CD,ZECA=165°
(已证),
•ZBAE=ZECA-ZACB=165-90=75°
ACD◎△BCE(SAS),
•BE=BC,•②正确;
3tZACB=90°
ZCAD=30°
AC=BC,
•ZCAB=ZACB=45°
•ZBAD=ZBAC-ZCAD=45-30=15°
•/△ACD◎△BCE,
•ZCBE=30°
•ZABF=45+30=75°
•ZAFB=180-15-75=90°
•AD丄BE.
4证明:
如图,
过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N.
•••/CAD=30°
且DM=丄AC,
•/AC=AD,/CAD=30°
/-ZACD=75°
•••/NCD=90°
-ZACD=15°
ZMDC=ZDMC-ZACD=15°
CMD◎△CND,
•CN=CM=4C=〉BC,
22
•CN=BN.
•/DN丄BC,
•BD=CD.•••④正确.
所以4个结论都正确.
此题主要考查等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三
角形等知识点的理解和掌握,此题有一定的拔高难度,属于难题.
5.如图,BC//AM,ZA=90°
ZBCD=75°
点E在AB上,△CDE为等边三角形,BM交CD于F,下列结论:
①ZADE=45°
②AB=BC,③EF丄CD,④若ZAMB=30°
则CF=DF.其中正确的有()
A.①②③B.①②④C.①③④|D.②③④
直角梯形;
等边三角形的性质;
含30度角的直角三角形;
等腰直角三角形.
由BC//AM得ZCDA=105°
根据等边三角形的性质得ZCDE=60°
则ZEDA=105°
-60°
=45°
过C作
CG丄AM,则四边形ABCG为矩形,于是ZDCG=90。
-ZBCD=15°
而ZBCE=75°
-60°
15°
易证得Rt△CBE也Rt△CGD,贝UBC=CG,得到AB=BC;
由于AG=BC,而AG和D,贝UCF:
FD=BC:
MD鬥,不能得到F点是CD的中点,根据等边三角形的性质则不能得到
EF丄CD;
若/AMB=30°
则ZCBF=30°
在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到
BM=2AB,贝UBM=2BC,
易得ZBFC=75°
所以BF=BC,得MF=BF,由CB//AM得CF:
FD=BF:
MF=1,即可有CF=DF.
TBC//AM,
•ZBCD+ZCDA=180°
tZBCD=75°
•ZCDA=105°
•••△CDE为等边三角形,
•••/CDE=60°
•••/EDA=105°
45°
所以①正确;
过C作CG丄AM,如图,
•••/A=90°
•四边形ABCG为矩形,
•••/DCG=90°
而厶CDE为等边三角形,
•••/DCE=60°
CE=CD,
•••/BCE=75°
=15°
•Rt△CBE也Rt△CGD,
•BC=CG,
•AB=BC,所以②正确;
•/AG=BC,而AG和D,
•CF:
MD为,
•F点不是CD的中点,
•EF不垂直CD,所以③错误;
则/CBF=30°
•在Rt△AMB中,BM=2AB,
•BM=2BC,
•••/BCD=75°
•/BFC=180°
-30°
-75°
75°
•BF=BC,
•MF=BF,
而CB//AM,
MF=1,
•CF=FD,所以④正确.
本题考查了直角梯形的性质:
有一组对边平行,另一组对边不平行,且有一个直角•也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,/BAC=90°
直角/EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于G.给出四个结论:
①AE=CF;
②EF=AP;
③△EPF是等腰直角三角形;
④/AEP=/AGF.其中正确的结论有()
BPC
A.1个B.2个C.3个|D.4个
根据等腰直角三角形的性质得:
AP丄BC,AP==BC,AP平分/BAC.所以可证/C=/EAP;
/FPC=/EPA;
AP=PC.即证得△APE与厶CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确.
TAB=AC,/BAC=90°
直角/EPF的顶点P是BC的中点,
•••AP丄BC,AP=?
BC=PC,/BAP=/CAP=45°
/C.
•••/APF+/FPC=90°
/APF+/APE=90°
•••/FPC=ZEPA.
•△APE◎△CPF(ASA).
•••①AE=CF;
③EP=PF,即△EPF是等腰直角三角形;
•••△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
•ap=2bc,
•••EF不是△ABC的中位线,
•EF祺P,故②错误;
④•••/AGF=/EGP=180°
-ZAPE-ZPEF=180。
-/APE-45°
/AEP=180°
-ZAPE-ZEAP=180°
-ZAPE-45°
•ZAEP=ZAGF.
故正确的有①、③、④,共三个.
因此选C.
此题考查全等三角形的判定和性质,综合性较强.
7.如图,AM、BE是厶ABC的角平分线,AM交BE于N,AL丄BE于F交BC于L,若ZABC=2ZC,下列结论:
①BE=EC;
②BF=AE+EF;
③AC=BM+BL;
④ZMAL=丄ZABC,其中正确的结论是()
4
等腰三角形的判定与性质.
根据角平分线定义求出ZABE=ZEBC=ZC,根据等角对等边求出BE=CE,即可判断①;
2222222
证厶ABEACB,推出AB=AE>
^AC,求出AF=AB-BF=AE-EF,把AB=AE代入入上式即可
求出BF=AE+EF,即可判断②;
延长AB到N,使BN=BM,连接MN,证厶AMC◎△AMN,△AFB◎△BLF,推出AB=BL,即可判断③;
设ZLAC=x°
ZLAM=y°
则ZBAM=ZMAC=(x+y)°
证厶AFB◎△BLF推出ZBAF=ZBLF,
ZBAF=ZBAM+ZMAL=x°
+y°
ZBLA=ZC+ZLAC=ZC+x°
得出方程x°
ZC+x°
求出ZC=2y°
ZABC=4y°
即可判断④.
TBE是ZABC的角平分线,
•ZEBC=ZABE=丄ZABC,
tZABC=2ZC,
•ZABE=ZEBC=ZC,
•BE=EC,•①正确;
tZABE=ZACB,ZBAC=ZEAB
•△ABEACB,
•塑=塑
•AB卫,
•••AB=AE>
AC,在Rt△AFB与Rt△AFE中,由勾股定理得:
AF2=AB2-BF2=AE2-EF2,
把AB=AE>
AC代入入上式得:
22—
AE>
AC-BF=AE-EF,
小222222
贝VBF=AC>
AE-AE+EF=AEX(AC-AE)+EF=AEXEC+EF=AEXBE+EF,oo
即(BE-EF)=AEXBE+EF,
222
•BE2-2BE疋F+EF2=AE>
BE+EF‘,
•BE-2BE疋F=AE>
BE,
•BE-2EF=AE,
BE-EF=AE+EF,
即BF=AE+EF,•②正确;
延长AB到N使BN=BM,连接MN则△BMN为等腰三角形,
•/BNM=/BMN:
△BNM的一个外角/ABC=/BNM+/BMN=2/BNM,
则/BNM=/ACB,
在厶AMC与厶AMN'
中
Zmac=Zman'
1Zc=Zn"
,
M二驯
•△AMC◎△AMN'
(AAS),
•AN=AC=AB+BN=AB+BM,
又•••AL丄BE,
•/AFB=/LFB=90°
在厶AFB与厶LFB中,
rZAFB=ZLFB
-BF二BF,
lZABF=ZLBF
•••△AFB◎△BLF(ASA),
•AB=BL,
贝UAN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL,即AC=BM+BL,•③正确;
设/LAC=x°
/LAM=y°
•/AM平分/BAC,
•/BAM=/MAC=(x+y)°
•/△AFB◎△BLF,
•/BAF=/BLF,
•••/BAF=/BAM+/MAL=x°
y°
/BLA=/C+ZLAC=/C+x°
•x+y+y=ZC+x,
•ZC=2y°
vZABC=2ZC,
•ZABC=4y°
即ZMAL=ZABC,
•④正确.
故选c.
本题考查了勾股定理,相似三角形的性质和判定,角平分线性质,相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用.
二•解答题(共8小题)
&
如图,在△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线,连DE交BC于F,过点E作EG丄BC于
G•
(1)若/A=50°
/D=30°
求/GEF的度数;
(2)若BD=CE,求证:
FG=BF+CG•
等腰三角形的性质;
证明题.
(1)根据等腰三角形两底角相等求出/C,再根据直角三角形两锐角互余求出/CEG,然后根据三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出/CEF,然后计算即可得解;
(2)过点E作EH//AB交BC于H,根据两直线平行,同位角相等可得/ABC=/EHC,内错角相等可得
/D=/FEH,然后求出/EHC=/C,再根据等角对等边可得EC=EH,然后求出BD=EH,再利用角角边”
证明△BDF和△HEF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=FH,根据等腰三角形三线合一的性质可得
CG=HG,即可得证.
(1)解:
•••/A=50°
•••/C=2(180°
—/A)=丄(180°
-50°
=65°
•/EG丄BC,
•••/CEG=90°
-ZC=90°
-65°
25°
V/A=50°
•••/CEF=/A+/D=50°
30°
80°
•••/GEF=/CEF-/CEG=80°
-25°
=55°
(2)证明:
过点E作EH//AB交BC于H,则/ABC=/EHC,/D=/FEH,
•/AB=AC,
•••/ABC=/C,
•••/EHC=/C,
•EC=EH,
•/BD=CE,
•BD=EH,
在厶BDF和厶HEF中,
Nd二/FEH
'
ZEFH=ZDFB,
lbd=eh
•••△BDF◎△HEF(AAS),
•BF=FH,
又•••EC=EH,EG丄BC,
•CG=HG,
•
FG=FH+HG=BF+CG.
非负数的性质:
绝对值;
偶次方;
坐标与图形性质;
等腰直角三角形.
(1)
分析:
根据a=t,b=t,推出a=b即可;
(2)延长AF至T,使TF=AF,连接TC,丁0,证厶TCF◎△AEF,推出CT=AE,/TCF=/AEF,再证
△TCO◎△ABO,推出TO=AO,/TOC=/AOB,求出△TAO为等腰直角三角形即可;
(3)连接MQ,NQ,BQ,B'
Q,过M作MH//CN交x轴于H,证△NTB噬\MTH,推出TN=MT,证
△NQBMQB,推出/NB'
Q=/CBQ,求出△BQB是等腰直角三角形即可.
(1)解:
Ta,b满足(a-t)+|b-t|=0(t>
0).
•••a-t=0,b-t=0,
a=t,b=t,
•a=b,
•••B(t,0),点C(0,t)
•OB=OC;
延长AF至T,使TF=AF,连接TC,TO,
•••F为CE中点,
•CF=EF,
在厶TCF和厶AEF中
©
F二EF
■ZCFT=ZEFA
FT=AF
•△TCF◎△AEF(SAS),
•CT=AE,/TCF=/AEF,
•TC//AD,
•/TCD=/CDA,
•/AB=AE,
•TC=AB,
•/AD丄AB,OB丄OC,
•/COB=/BAD=90°
•/ABO+/ADO=180°
•••/ADO+/ADC=180°
•/ADC=/ABC,
•••/TCD=/CDA,
•/TCD=/ABO,
在厶TCO和厶ABO中
TC二AB
-ZTC0=ZAB0
、0C二OB
•△TCO◎△ABO(SAS),
•TO=AO,/TOC=/AOB,
•••/AOB+/AOC=90°
•/TOC+/AOC=90°
•△TAO为等腰直角三角形,
•/OAF=45°
(3)解:
连接MQ,NQ,BQ,B'
Q,过M作MH//CN交x轴于H,
•••B和B关于关于y轴对称,C在y轴上,
•CB=CB
•/CBB=/CBB,
•/MH//CN,
•/MHB=/CBB,
•••/MHB=/CBB:
:
.MH=BM,
•/BM=B'
N,
•MH=BN,
•/MH//CN,
•••/NBT=/MHT,在△NTB和△MTH中
2肘t^Zmht
-ZB;
TN^ZJITH
EN=MH
•△NTB'
也△MTH,
•TN=MT,又TQ丄MN,
•MQ=NQ,
•/CQ垂直平分BB
•BQ=BQ,
•••在NQB和厶MQB中
®
N=BM
B7Q=BQ
tNQ=MQ
•△NQBJMQB(SSS),
•/NBQ=/CBQ,而/NB'
Q+/CBQ=180°
•/CBQ+/CBQ=180°
•/B'
CB+/BQB=180°
又/BCB=90°
•/BQB=90°
•△BQB是等腰直角三角形,
•OQ=OB=t,
•Q(0,—t).
本题考查了全等三角形的性质和判定,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,等腰直角
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