新人教版数学初中八年级下册1912《函数的图像》教案精品docx.docx
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《19.1.2函数的图象》
本课是在学习函数概念的基础上,进一步讨论函数的图象,学习从函数图象上获取信息,初步讨论函数的变化规律和变化趋势.学习用描点法画函数的图象.体会函数的三种表示方法的特点,学习综合运用三种表示方法表示函数关系.
1.了解函数图象的意义;
2.会观察函数图象获取信息,根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律;
3.经历画函数图象的过程,体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值.
4.会用描点法画出函数图象,能说出画函数图象的步骤;
5.会判断一个点是否在函数的图象上;
6.了解函数的三种表示法及其优缺点;
7.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系;
8.能对函数关系进行分析,对变量的变化情况进行初步分析.
1.函数图象的意义,从图象中获取信息.
2.描点法画出函数图象.
3.综合运用三种表示法表示函数关系,研究运动变化过程.
多媒体:
PPT课件、电子白板
第一课时
一、情景导入引起兴趣:
你一定知道乌鸦喝水的故事吧!
一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝水,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中(如图19-1-),瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水.但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是( B )
[说明与建议]说明:
利用学生非常熟悉的故事创设问题情境,引发学生兴趣的同时也引起学生的思考,从而考虑解决问题的方法.建议:
通过探究函数图象的一系列问题,使学生充分认识图象,从图象中获取信息,理解图象的实际含义,直观感受到数形结合解决这类问题的价值,从学法上给学生以指导,为后面学生自主解决函数图象问题作好铺垫.
二、初步认识学会画图
1.观察北京某天的气温图,这个图反应了哪两个变量之间的函数关系?
你知道是如何画出来的吗?
[设计意图]这个图在前面已研究过,学生回答第一个问题并不难,紧接着提出第二个问题,引出本节课知识点——画函数图像.
2.思考:
一个正方形的边长为x,面积用S表示.
(1)请写出面积S与边长x之间的函数关系式?
自变量x的取值范围是什么?
解:
S=x²(x>0)
(2)计算并填写下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
0
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
16
(3)在直角坐标系中,画出上面表格中各对数值所对应的点,然后用光滑曲线连接这些点.
解:
3.定义:
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
三、认真观察学会识图:
1.思考:
下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?
解:
气温T是时间t的函数,上图是函数图象,此函数不能用解析式表示.
由图象可知:
(1)这一天中凌晨4时气温最低(-3℃),14时气温最高(8℃);
(2)从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长而下降),从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.
(3)从图象可以看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
2.例2如图所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
根据图象回答下列问题:
(1)食堂离小明家多远?
小明从家到食堂用了多少时间?
(2)小明吃早餐用了多少时间?
(3)食堂离图书馆多远?
小明从食堂到图书馆用了多少时间?
(4)小明读报用了多少时间?
(5)图书馆离小明家多远?
小明从图书馆回家的平均速度是多少?
分析:
小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
解:
(1)从纵坐标看出,食堂离小明家0.6km;由横坐标看出,小明从家到食堂用了8min.
(2)从横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17min.
(3)从纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2km;从横坐标看出,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3min;
(4)从横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30min;
(5)从纵坐标看出,图书馆离小明家0.8km;由横坐标看出,68-58=10,小明从图书馆回家用了10min,由此算出平均速度是0.08km/min.
3.练习:
(1)汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的,下图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
(1)汽车从出发到最后停止共经过了多长时间?
它的最高速度是多少?
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶?
时速分别是多少?
(3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况?
(4)请你描述汽车行驶的整个过程.
解:
(1)汽车从出发到最后停止共经历了24分钟,它的最高速度是90千米/时.
(2)在2分钟到6分钟,18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶,速度分别是30千米/时和90千米/时.
(3)此时汽车处于静止状态,可能是遇到红灯等情况(回答只要合理即可).
(4)汽车在0~2分钟开始发动加速行驶;2~6分钟以30千米/时的速度匀速行驶;6~8分钟,由于某些状况,开始减速慢行;8~10分钟,汽车静止;10~18分钟,又开始加速行驶;18~22分钟以90千米/时的速度匀速行驶;22~24分钟减速行驶到达目的地.
(2)下面的图像反映的过程是:
张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示张强离家的距离.
根据图像回答下列问题:
(1)体育场离张强家多远?
张强从家到体育场用了多少时间?
(2)体育场离文具店多远?
(3)张强在文具店停留了多少时间?
(4)张强从文具店回家的平均速度是多少?
答案:
(1)体育场离张强家2.5km,张强从家到体育场用了15min;
(2)体育场离文具店:
2.5-1.5=1(km);
(3)张强在文具店逗留了:
65-45=20(min);
(4)回家速度:
1.5÷
=
(km/h).
四、课堂小结:
第二课时
一、例题讲解:
例3在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.画出这些函数的图象.
(1)y=x+0.5;
(2)y=
(x>0).
解:
(1)列表:
描点,连线.
(2)列表:
X
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
6
…
y
…
12
6
4
3
2.4
2
1.5
1.2
1
…
描点,连线.
二、方法归纳:
描点法画函数图象一般步骤如下:
(1)列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
(2)描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;
(3)连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
三、巩固练习:
1.
(1)画出函数y=2x-1的图像;
(2)判断点A(-2.5,-4),B(1,3),C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图像上.
解:
(1)如图所示;
(2)A(-2.5,-4),B(1,3)不在函数y=2x-1的图像上,C(2.5,4)在函数y=2x-1的图像上.
2.
(1)画出函数y=x2的图像.
(2)从图像中观察,当x<0时,y随x的增大而增大,还是y随x的增大而减小?
当x>0时呢?
解:
(1)如图所示;
(2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
四、课堂小结:
(1)函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么?
(2)画函数图象时,怎样体现函数的自变量取值范围?
(3)用描点法画函数图象按照哪些步骤进行?
(4)怎样从图象上看出当自变量增大时,对应的函数值是增大还是减小?
第三课时
一、问题引入:
问题:
如图19-1-,要做一个面积为12m2的小花坛,该花坛的一边长为xm,周长为ym.
(1)变量y是变量x的函数吗?
如果是,写出自变量的取值范围;
(2)能求出这个问题的函数解析式吗?
(3)当x的值分别为1,2,3,4,5,6时,请列表表示变量之间的对应关系;
(4)能画出函数的图象吗?
解:
(1)y是x的函数,自变量x的取值范围是x>0.
(2)y=2(x+
).
(3)
x/m
1
2
3
4
5
6
y/m
26
16
14
14
14.8
16
(4)
【小结】在上题中我们亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一个函数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.
思考一下,从这个例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点?
在遇到具体问题时,该如何选择适当的表示方法呢?
这就是我们这节课要研究的内容.
二、例题探究:
例4一水库的水位在最近5小时内持续上涨,下表记录了这5小时内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.
t/时
…
0
1
2
3
4
5
y/米
…
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上?
由此你们能发现水位变化有什么规律吗?
(2)水位高度y是否为时间t的函数?
如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位变化规律吗?
(3)据估计这种上涨还会持续2小时,预测再过2小时水位高度将达到多少米.
分析:
记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系.我们现在需要从这些数值中找出这两个量之间的一般规律,由它写出函数解析式,再画出函数图象,从而预测水位.
解:
(1)如下图,描出表中数据对应的点.可以看出这6个点在一条直线上.在结合数据,可以发现每小时水位上升0.3m.
(2)由于水位在最近5h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数.
开始的水位高度为3m,以后每小时水位上升0.3m.故函数y=0.3t+3(0≤t≤5)
他表示经过th水位上升0.3tm,即水位y为(0.3t+3)m,其图象为点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB.
(3)如果水位的变化规律不变,当t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).
三、课堂小结:
1.合作探究:
说说函数的三种表示方法各有什么优点和不足,分小组讨论一下.
【引导探究】列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系.解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系.图象法形象、直观地表示出函数中两个变量的关系.相比较而言,列表法不如解析式法全面,也不如图象法形象;而解析式法却不如列表法直观,不如图象法形象;图象法也不如列表法直观准确,不如解析式法全面.
从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点.
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
√
√
×
解析式法
√
√
×
×
图象法
×
×
√
√
从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时,要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法,有时为了全面地认识问题,需要几种方法同时使用.
略。
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