七年级数学下册533角平分线教案新版北师大版.docx
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七年级数学下册533角平分线教案新版北师大版
2019-2020年七年级数学下册5.3.3角平分线教案新版北师大版
【教学目标】
1.知识与技能
(1)探索线段垂直平分线的性质,并利用性质解决问题。
(2)会利用尺规作图作角平分线。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索轴对称的性质。
【教学难点】
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在前两节课的学习中,我们学习了两种简单的轴对称图形:
等腰三角形和线段,并通过亲自动手,探索了这两种轴对称图形的性质。
现在,大家一起来回忆一下这两张轴对称图形都有什么样的性质吧?
(学生回答)
等腰三角形的性质:
等边对等角;三线合一
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】在性质的学习过程中,我们也练习了如何正确的利用这些性质。
今天,我们就来学习一下另一个简单的轴对称图形——角。
究竟角都具有哪些性质呢?
和之前的学习方法一样,我们一起来动手探究一下吧。
二、新课教学
1.角平分线的性质
【过渡】现在,请大家拿出一张纸,任意画出一个角,并将其标为∠AOB,然后,我们用剪刀将其剪下。
【过渡】我们首先来思考第一个问题,角是轴对称图形吗?
根据轴对称图形的定义,以及我们前两节课的学习,大家知道该如何给出这个答案吗?
(学生回答)
【过渡】没错,就是对折。
现在,请大家将手中的角进行对折,使角的两边重合,大家能得到什么样的结论呢?
【过渡】角是轴对称图形。
【过渡】现在,我们把刚刚的折痕画出来,我们发现,折痕将角分成了两个小角,我们将这两个角标为∠1和∠2,根据刚刚的对折,大家能说出这两个角的关系吗?
(学生回答)
【过渡】根据刚刚的对折,我们知道,这两个角是重合的,也就是说∠1=∠2。
因此,我们知道,对于一个角而言,对称轴所在的直线是角平分线。
【过渡】通过刚刚的动手,我们可以得出这样的结论:
角是轴对称图形;
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
【过渡】接下来,我们继续进行探究。
在∠AOB的角平分线上任意取一点C,分别折出过点C且与角两边垂直的直线,垂足分别为D、E,再次对折,线段CD与CE能重合吗?
【过渡】通过对折,我们发现,CD=CE。
如果改变C的位置,还能得到同样的结论吗?
(学生动手,回答)
【过渡】通过刚刚的动手,我们得到关于角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
【过渡】那么在实际问题中,这个性质该如何运用呢?
我们一起来看一个例题。
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是角平分线,DE⊥AB.垂足为E.求证:
BE=DE=CD。
【过渡】要解决这个问题,我们首先想到三角形全等及角平分线。
而题目中给出的有角平分线,因此,我们利用角平分线的性质来解决问题。
根据角平分线的性质,我们能够轻易的的得到CD=DE。
又由题意得到△ABC是等腰三角形,得到∠B=45°,进而得到△BDE是等腰三角形,得到BE=DE。
由此,题目结论得以证明。
课件展示证明过程。
【过渡】在学习线段垂直平分线的时候,我们学习了对于一个三角形而言,三条边对应的中垂线交于一点,那么对于角平分线来说,是否也交于一点呢?
我们来看下边的问题。
如图,△ABC的角平分线BM,CN交于点P。
(1)试说明点P到AB,BC,CA三边的距离相等;
(2)点P在∠A的平分线上吗?
这说明三角形三条角平分线有什么关系?
【过渡】大家一起动手来解决一下这个问题吧。
课件展示解题过程。
【过渡】从刚刚的问题中,我们学到了三角形三条角平分线相交于一点。
同时,对于第二个问题,我们也知道了,角平分线的判定作用:
通过线段相等证明是否是角平分线。
【过渡】既然我们学习了角平分线的性质,那么我们利用尺规作图该如何作出一个角的平分线呢?
讲解课本例题。
【过渡】这节课呢,我们主要学习了角平分线的性质,大家来总结一下。
【过渡】现在,我们来学习一下如何利用角平分线解决实际问题。
如图,两条公路OA、OB相交于点O,在∠AOB的内部有两个村庄C、D,若要修一个加油站P,使P到两个村庄的距离相等,且到两条公路OA、OB的距离也相等,用尺规作出加油站P点的位置。
【过渡】结合角平分线的性质,要到两条公路的距离相等,就需要作出角平分线,而到两点的距离相等,我们自然想到线段的垂直平分线,因此,作出这两条线的交点,就是我们需要的点。
【过渡】我们再来看一下课本想一想的内容。
如图,在Rt△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗?
为什么?
【过渡】分析题目,我们看到有角平分线,同时又有两个垂直,自然根据角平分线的性质,得到DE=DC。
这个问题也给我们一定的启示。
在解决问题时,若出现角平分线,可以考虑添加适当的辅助线,利用角平分线的性质。
【学以致用】1、如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( D )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条角平分线的交点
2、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,AD=10,则点D到AB的距离是( B )
A.8B.5C.6D.4
3、如图,在△ABC中,∠B=90°,∠BAC=∠C,ED⊥AC于点D,且DE=BE,求∠AED的度数。
解:
∵∠B=90°,∠BAC=∠C,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵DE=BE,∠B=90°,ED⊥AC,
∴∠BAE=∠DAE=22.5°,又ED⊥AC,
∴∠AED=67.5°。
4、如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于E点,DF⊥AB于F点.若AB+AC=18,S△ABC=36,求DF的长。
解:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于E点,DF⊥AB于F点,
∴DF=DE,
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC,
∴×AB×DF+×AC×DE=36,
又AB+AC=18,
∴DF=DE=4。
5、如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,Q是OP上一点,QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F,求证:
QE=QF。
证明:
∵PC=PD,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,
∴OP是∠AOB的平分线,又QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F,
∴QE=QF.
6、已知△ABC,请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等,并证明你的结论.
(1)如图①,已知内角∠ABC,∠ACB的平分线交于点P;
(2)如图②,已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P;
(3)如图③,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP,CP交于点P。
解:
(1)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内角∠ABC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是∠ACB的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等;
(2)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内角∠ABC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是外角∠ACE的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等;
(3)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内外角∠DBC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是外角∠BCE的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等。
【板书设计】
1、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学反思】
通过大量的动手操作,力图让学生用自己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造,使学生通过大量的感性经验形成表象,进一步体会轴对称的含义。
通过动手探索,掌握角平分线的性质,感受对称图形的内在美,并通过大量的练习,巩固学生对于角平分线性质的掌握。
2019-2020年七年级数学下册5.3.3角平分线练习新版北师大版
一、选择——基础知识运用
1.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A.三条角平分线的交点
B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,若CD=m,AB=2n,则△ABD的面积是( )
A.mnB.5mnC.7mnD.6mn
3.在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于( )
A.3.8cmB.7.6cmC.11.4cmD.11.2cm
4.已知:
△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线,如果两条平分线交于点O,下列选项中不正确的是( )
A.点O到△ABC的三顶点的距离一定相等
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC的三边距离一定相等
D.点O一定在△ABC的内部
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,若BC=7,则AE的长为( )
A.4B.5C.6D.7
二、解答——知识提高运用
6.△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=64,BD:
DC=9:
7,求D到AB的距离。
7.已知,如图,OD⊥AD,OH⊥AE,DE交GH于O.若∠1=∠2,求证:
OG=OE。
8.如图,△ABC的角平分线BM,CN交于点P。
(1)试说明点P到AB,BC,CA三边的距离相等;
(2)点P在∠A的平分线上吗?
这说明三角形三条角平分线有什么关系?
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6cm,AD是∠CAB的平分线,求DC的长。
10.已知:
如图,PM⊥BD于BD中点M,PN⊥AD于AD中点N,PM=PN,试说明:
OB=OA。
11.已知如图,∠BAC=∠BPC,AP平分∠CAN,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于M,求的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1.【答案】A
【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等,
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点,
故选:
A。
2.【答案】A
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°,
∴DE=CD=m,
∴△ABD的面积=×2n×m=mn,
故选:
A。
3.【答案】C
【解析】∵∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,
又∵AD平分∠CAB,
∴DC=DE=3.8,
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4。
故选C。
4.【答案】A
【解析】点O到△ABC的三顶点的距离不一定相等,A不正确;
∠C的平分线一定经过点O,B正确;
点O到△ABC的三边距离一定相等,C正确;
点O一定在△ABC的内部,D正确,
故选:
A。
5.【答案】D
【解析】∵AC=BC,BC=7,
∴AC=7,
∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE,
在Rt△ACD和Rt△AED中,
DC=DE
AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AE=AC=7,
故选:
D。
二、解答——知识提高运用
6.【答案】∵BD:
DC=9:
7,BC=64,
∴CD=×64=28,
∵AD为角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC=28。
答:
D到AB的距离为28。
7.【答案】∵∠1=∠2,OD⊥AD,OH⊥AE,
∴OD=OH,
在△DOG和△HOE中,
∠DOG=∠HOE
OD=OH
∠ODG=∠OHE=90°,
∴△DOG≌△HOE,
∴OG=OE。
8.【答案】
(1)∵BM平分∠ABC,
∴点P到AB,BC两边的距离相等,
∵CN平分∠ACB,
∴点P到AC,BC两边的距离相等,
∴点P到AB,BC,CA三边的距离相等;
(2)∵点P到AB,CA两边的距离相等,
∴点P在∠A的平分线上,
这说明三角形三条角平分线相交于一点。
9.【答案】∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°。
∵AD是∠CAB的平分线,
∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°。
∴AD=2CD,AD=BD。
∴BC=3CD。
∴CD=BC=×6=2。
∴DC的长为2cm。
10.【答案】在Rt△PMD和Rt△PND中,
PM=PN
PD=PD,
∴Rt△PMD≌Rt△PND,
∴∠BDO=∠ADO,DM=DN,又DM=BD,DN=DA,
∴DB=DA,
在△BOD和△AOD中,
DB=DA
∠BDO=∠ADO
DO=DO,
∴△BOD≌△AOD,
∴OB=OA。
11.【答案】∵AP平分∠CAN,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于M,
∴PM=PN,
∵∠BAC=∠BPC,
∴∠NBP=∠MCP,
在△NBP和△MCP中,
∠NBP=∠MCP
∠BNP=∠CMP
PN=PM,
∴△NBP≌△MCP,
∴NB=CM,
∴AC+AB=2CM,
∴=2。
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