第四章圆的方程.docx
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第四章圆的方程
4.1
圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
[提出问题]
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米,比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高.
问题1:
游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗?
提示:
一样.圆上的点到圆心距离都是相等的,都是圆的半径.
问题2:
若以摩天轮中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系?
提示:
=.
问题3:
以(1,2)为圆心,3为半径的圆上任一点的坐标(x,y)满足什么关系?
提示:
=3.
[导入新知]
圆的标准方程
(1)圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
(2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示.
(3)圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆.
[化解疑难]
1.由圆的标准方程,可直接得到圆的圆心坐标和半径大小;反过来说,给出了圆的圆心和半径,即可直接写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的直观性,为其优点.
2.几种特殊位置的圆的标准方程:
条件
圆的标准方程
过原点
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
圆心在x轴上
(x-a)2+y2=r2(r≠0)
圆心在y轴上
x2+(y-b)2=r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
(x-a)2+y2=a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点
x2+(y-b)2=b2(b≠0)
与x轴相切
(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
与y轴相切
(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
点与圆的位置关系
[提出问题]
爱好运动的小华,小强,小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上,规定谁的飞镖离靶心O越近,谁获胜,如图A,B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点.看图回答下列问题:
问题1:
点与圆的位置关系有几种?
提示:
三种.点在圆外、圆上、圆内.
问题2:
如何判断他们的胜负?
提示:
利用点与圆心的距离.
[导入新知]
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MA│=r⇔点M在圆A上
点M(x0,y0)在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内
│MA│ 点M(x0,y0)在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0,y0)在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2 [化解疑难] 1.点与圆的位置关系有三种: 点在圆内,点在圆上,点在圆外. 2.判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法. 求圆的标准方程 [例1] 过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 [解析] 法一: 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知条件知 解此方程组,得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二: 设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上, ∴可设点C的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过A,B两点, ∴|CA|=|CB|. ∴ =, 解得a=1. ∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法三: 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点, 由得 即圆心为(1,1),圆的半径为= 2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. [答案] C [类题通法] 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法: 一是待定系数法,如解法一,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如解法二、三.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷. [活学活用] 1.求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)圆心在y轴上,半径长为5,且过点(3,-4); (3)求过两点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的标准方程. 解: (1)圆的半径长r==, 故圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=10. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52, 解得b=0或b=-8,则圆心为(0,0)或(0,-8). 又∵半径r=5, ∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. (3)直线CD的斜率kCD==1, 线段CD中点E的坐标为(0,2), 故线段CD的垂直平分线的方程为 y-2=-x,即y=-x+2,令y=0,得x=2, 即圆心为(2,0).由两点间的距离公式, 得r==. 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=10. 点与圆的位置关系 [例2] 如图,已知两点P1(4,9)和P2(6,3). (1)求以P1P2为直径的圆的方程; (2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外. [解] (1)设圆心C(a,b),半径长为r,则由C为P1P2的中点,得a==5,b==6. 又由两点间的距离公式得 r=|CP1|==, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. (2)由 (1)知,圆心C(5,6),则分别计算点到圆心的距离: |CM|==; |CN|==>; |CQ|==3<. 因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内. [类题通法] 1.判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可; (2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断. 2.灵活运用 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围. [活学活用] 2.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a>1或a>-1D.a=±1 解析: 选A 由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1,所以-1<a<1. [典例] 已知某圆圆心在x轴上,半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. [解] 法一: 如图所示,由题设|AC|=r=5,|AB|=8, ∴|AO|=4.在Rt△AOC中, |OC|= ==3. 设点C坐标为(a,0), 则|OC|=|a|=3,∴a=±3. ∴所求圆的方程为(x+3)2+ y2=25,或(x-3)2+y2=25. 法二: 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2= 25. ∵圆截y轴线段长为8,∴圆过点A(0,4).代入方程得a2+16=25, ∴a=±3. ∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25. [易错防范] 1.若解题分析只画一种图形,而忽略两种情况,考虑问题不全面,漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错. 2.借助图形解决数学问题,只能是定性分析,而不能定量研究,要定量研究问题,就要考虑到几何图形的各种情况. [成功破障] 圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的标准方程为________. 解析: 结合题意可知,圆心在直线y=-3上,又圆心在直线2x-y-7=0上,故圆心坐标是(2,-3),从而r2=(2-0)2+(-3+2)2=5,圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=5. 答案: (x-2)2+(y+3)2=5 [随堂即时演练] 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是( ) A.(1,) B.(-1,) C.(1,-)D.(-1,-) 答案: C 2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.在圆外B.在圆内 C.在圆上D.不确定 解析: 选A ∵m2+25>24, ∴点P在圆外. 3.若点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,则实数m=________. 解析: ∵P点在圆x2+y2=m2上, ∴(-1)2+()2=4=m2, ∴m=±2. 答案: ±2 4.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________. 解析: 圆心是(-2,0),半径是2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4. 答案: (x+2)2+y2=4 5.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的方程. 解: 设所求圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2. 将点A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入上式得 解此方程组,得 所以,△ABC的外接圆方程是(x-4)2+(y-1)2=5. [课时达标检测] 一、选择题 1.已知点P(3,2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4,则它们的位置关系为( ) A.在圆心B.在圆上 C.在圆内D.在圆外 解析: 选C ∵(3-2)2+(2-3)2=2<4, ∴点P在圆内. 2.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心、半径是( ) A.(1,-2),4B.(1,-2),2 C.(-1,2),4D.(-1,2),2 答案: D 3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1 解析: 选A 法一(直接法): 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 =1,解得b=2, 故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 法二(数形结合法): 根据点(1,2)到圆心的距离为1,易知圆心为(0,2),故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 法三(验证法): 将点(1,2)代入四个选择项,排除B、D,又由于圆心在y轴上,排除C,选A. 4.(2012·福建六校联考)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=25 解析: 选D 圆心坐标为(1,2),半径r==5,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为( ) A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5 解析: 选C 直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0. 由得,∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 二、填空题 6.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是__________________. 解析: 由可得x=2,y=4,即圆心为(2,4),从而r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 答案: (x-2)2+(y-4)2=20 7.(2012·嘉兴高一检测)点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是________. 解析: 由于点在圆的内部,所以(5+1-1)2+()2<26, 即26a<26,又a≥0,解得0≤a<1. 答案: 0≤a<1 8.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的方程是________. 解析: 如图所示,设圆心C(a,0),则圆心C到直线x+2y=0的距离为=,解得a=-5,a=5(舍去), ∴圆心是(-5,0).故圆的方程是(x+5)2+y2=5. 答案: (x+5)2+y2=5 三、解答题 9.求经过A(-1,4),B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程. 解: 法一: 设圆心坐标为(a,b). ∵圆心在y轴上,∴a=0. 设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2. ∵该圆过A,B两点, ∴解得 ∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10. 法二: ∵线段AB的中点坐标为(1,3),kAB==-, ∴弦AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1. 由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心. 由两点间的距离公式,得圆的半径r=, ∴所求圆的方程为x2+(y-1)2=10. 10.求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程. 解: 圆心在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为(a,6),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.将点(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2,① 而r=, 代入①,得(a-1)2+16=, 解得a=3,r=2,或a=-7,r=4. 故所求圆为(x-3)2+(y-6)2=20,或(x+7)2+(y-6)2=80. 4.1.2 圆的一般方程 [提出问题] 已知圆心(2,3),半径为2. 问题1: 写出圆的标准方程. 提示: (x-2)2+(y-3)2=4. 问题2: 上述方程能否化为二元二次方程的形式? 提示: 可以,x2+y2-4x-6y+9=0. 问题3: 方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆? 提示: 配方化为(x-2)2+(y-3)2=0,不表示圆. 问题4: 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗? 提示: 不一定. [导入新知] (1)圆的一般方程的概念: 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径: 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为(-,-),半径长为. [化解疑难] 1.圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点: (1)x2、y2的系数相等且不为0; (2)没有xy项. 2.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明: 方程 条件 图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点(-,-) D2+E2-4F>0 表示以(-,-)为圆心,以为半径的圆 圆的一般方程的概念辨析 [例1] 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆, 求 (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径. [解] (1)据题意知 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0, 解得m<, 故m的取值范围为(-∞,). (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r=. [类题通法] 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法: ①由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆,②将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解. [活学活用] 1.下列方程各表示什么图形? 若表示圆,求其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0). 解: (1)∵D=1,E=0,F=1, ∴D2+E2-4F=1-4=-3<0, ∴方程 (1)不表示任何图形. (2)∵D=2a,E=0,F=a2, ∴D2+E2-4F=4a2-4a2=0, ∴方程表示点(-a,0). (3)两边同除以2,得x2+y2+ax-ay=0, D=a,E=-a,F=0,∴D2+E2-4F=2a2>0, ∴方程(3)表示圆,它的圆心为(-,), 半径r==|a|. 圆的一般方程的求法 [例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. [解] 法一: 设△ABC的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A,B,C在圆上, ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0, 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5. 法二: ∵kAB==,kAC==-3, ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形, ∴外心是线段BC的中点, 坐标为(1,-1),r=|BC|=5. ∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25. [类题通法] 应用待定系数法求圆的方程时: (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D、E、F. [活学活用] 2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程. 解: 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心坐标为. ∵圆与x+3y-26=0相切,∴·=-1,即E-3D-36=0.①∵(-2,-4),(8,6)在圆上, ∴2D+4E-F-20=0,②8D+6E+F+100=0.③联立①②③,解得D=-11,E=3,F=-30,故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0. 代入法求轨迹方程 [例3] 已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程. [解] 以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0). ∴ ① ∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y=9. ② 将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵点C不能在x轴上,∴y≠0. 综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). [类题通法] 用代入法求轨迹方程的一般步骤 [活学活用] 3.(2013·嘉峪关高一检测)过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则AB中点P的轨迹方程为________________. 解析: 设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1,即为所求. 答案: (x-4)2+y2=1 [典例] (12分)已知圆O的方程为x2+y2=9,求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹. [解题流程] 画出图形,结合圆的弦的中点的性质,由AP⊥OP建立关系求解. 设动点P的坐标(x,y)―→由AP⊥OP―→讨论AP垂直于x轴情形―→列kAP·kOP=-1的关系式―→检验―→得出结论 [规范解答] 设动点P的坐标为(x,y),根据题意可知AP⊥OP.(2分) 当AP垂直于x轴时,P的坐标为(1,0),此时x=1;(3分) 当x=0时,y=0;(4分) 当x≠0,且x≠1时,有kAP·kOP=-1,(5分) ∵kAP=,kOP=,(6分) ∴·=-1,即x2+y2-x-2y=0(x≠0,且x≠1).(8分) 经检验,点(1,0),(0,0)适合上式.(10分) 综上所述,点P的轨迹是以为圆心,以为半径的圆.(12分) [名师批注] AP垂直于x轴时及x=0时容易漏掉. 检验步骤不可少 [活学活用] 一动点M到点A(-4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹. 解: 设动点M的坐标为(x,y), 则|MA|=2|MB|, 即=2, 整理得x2+y2-8x=0,即所求动点的轨迹方程为x2+y2-8x=0. [随堂即时演练] 1.(2011·四川高考)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3)D.(2,-3) 解析: 选D 圆的方程化为(x-2)2+(y+3)2=13,圆心(2,-3),选D. 2.已知方程x2+y2-2x+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(3,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-,+∞) 解析: 选A 方程可化为: (x-1)2+y2=-2k-2,只有-2k-2>0,即k<-1时才能表示圆. 3.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a=________,b=________,c=________. 解析: ∵∴ 答案: -2,4,4 4.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是________. 解析: 设P(x,y)是轨迹上任一点, 圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0), 则|PA|2+1=|PB|2, ∴(x-1)2+y2=2. 答案: (x-1)2+y2=2 5.求过点(-1,1),且圆心与已知圆x2+y2-6x-8y+15=0的圆心相同的圆的方程. 解: 设所求的圆的方程为: x2+y2+Dx+Ey+F=0,又圆x2+y2-6x-8y+15=0的圆心为(3,4),依题意得 解此方程组,可得 ∴所求圆的方程为x2+y2-6x-8y=0. [课时达标检测] 一、选择题 1.(2011·安徽高考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析: 选B ∵圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2), ∴3x+y+a过点(-1,2), 即-3+2+a=0, ∴a=1. 2.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是( ) A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 解析: 选B 设
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- 第四 方程
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