第三课函数的单调性与奇偶性.docx
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第三课函数的单调性与奇偶性
第三课函数的单调性与奇偶性
编制范云芬审核储六春
一、知识点回顾:
(一)、函数的单调性:
⒈函数单调性的定义:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.这个区间叫减区间.
注意:
函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集;函数的定义域不一定是函数的单调区间.
⒉函数单调性的判别方法:
(1)图象法.若函数f(x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f(x)在区间D上是增(减)函数;
(2)定义法.其一般步骤是:
1取值.在所给区间上任取x1<x2;②作差f(x1)−f(x2);
③变形.分解因式或配方等;④定号.看f(x1)−f(x2)的符号;⑤下结论.
(3)利用复合函数的单调性性质
(4)利用复合函数的单调性性质可直接证出.
①函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;
2当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;
当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性;
③若f(x)≠0,则函数f(x)与
具有相反的单调性;
④若f(x)≥0,则函数f(x)与
具有相同的单调性;
⑤若函数f(x),g(x)都是增函数,则f(x)+g(x)也是增函数;(增+增=增)
⑥若函数f(x),g(x)都是减函数,则f(x)+g(x)也是减函数;(减+减=减)
⑦若函数f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)−g(x)也是增函数;(增−减=增)
⑧若函数f(x)是减函数,g(x)是增函数,则f(x)−g(x)也是减函数;(减−增=减)
⒊一些特殊函数的单调性:
⑴一次函数y=kx+b,当k>0时,在R上是;当k<0时,在R上是.
⑵二次函数y=ax2+bx+c,
当a>0时,在(−∞,
]上为,在[
+∞)上为;
当a<0时,在(−∞,
]上为,在[
+∞)上为.
⑶反比例函数y=
当k>0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是;
当k<0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是.
⑷指数函数y=ax,当a>1时,在R上是,当0<a<1时,在R上是.
⑸对数函数y=logax,当a>1时,在(0,+∞)是,当0<a<1时,在(0,+∞)是.
⑹*记住重要函数y=x+
的单调性,并会证明:
当x>0时,函数在(0,
)上单调递减,在[
+∞]上单调递增;
当x<0时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(二)、函数的奇偶性:
⒈函数奇偶性的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=−f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
注意:
⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于________对称.
⑵函数的奇偶性可分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).
注意:
设函数f(x)的定义域关于原点对称,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)恒等于0.
例:
f(x)=0,x∈(−1,1);f(x)=0,x∈[−2,2];f(x)=
等
⒉具有奇偶性函数的图象特征:
⑴奇函数图象关于对称;⑵偶函数图象关于____对称.
⒊判断函数奇偶性的方法:
⑴图象法;
⑵定义法.其一般步骤是:
①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性;若对称,再进行第二步;
②判断f(−x)与f(x)的关系,并下结论.
若f(−x)=−f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为奇函数;
若f(−x)=f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为偶函数;
若f(−x)=−f(x)且f(−x)=f(x),则此函数为既是奇函数又是偶函数;
若f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.
(4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;
(5)若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则必有f(0)=.
(三)、函数图象的变换:
⒈平移变换:
⑴y=f(x)的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位得到y=f(x−a)的图象;
⑵y=f(x)的图象沿x轴向左平移a(a>0)个单位得到y=f(x+a)的图象;
⑶y=f(x)的图象沿y轴向上平移a(a>0)个单位得到y=f(x)+a的图象;
⑷y=f(x)的图象沿y轴向下平移a(a>0)个单位得到y=f(x)−a的图象.
2.对称变换:
两个函数图象的对称关系:
⑴y=f(x)与y=−f(x)的图象关于x轴对称;
⑵y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称;
⑶y=f(x)与y=−f(−x)的图象关于原点轴对称;
⑷y=f(x)与y=f−1(x)的图象关于直线y=x轴对称;
⑸y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象,再擦掉y=f(x)的图象中y轴左边部分而得到;
⑹y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去;
⑺*函数y=f(a+mx)与函数y=f(b−mx)(a、b:
m∈R,m≠0)的图象关于直线x=
对称.
二、典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
·
;
(2)f(x)=
+
;
(3)f(x)=
[解答]
(1)由
得x=±1,∴f(x)=0,又它的定义域关于原点对称,f(x)=f(-x)=-f(x)=0,
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得x>0,函数f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(x)=x2+x+1,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1=f(x);当x<0时,-x>0,f(x)=x2-x+1,f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1=f(x).∴函数f(x)为偶函数.
【例2】判断函数f(x)=
(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.
[解答]任取x1、x2∈(-1,1),且x1 则f(x1)-f(x2)= . 由-1 >0, ∴a>0时,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上单调递减. 同理可得: a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增. 【例3】已知函数f(x)对任意的实数m,n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,有f(x)>0. (1)求证: f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若f (1)=1,解不等式: f(log2(x2-x-2))<2. [解答]证明: (1)任取定义域(-∞,+∞)内x1、x2且x1<x2,则x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1) =f(x1)-f(x2-x1)-f(x1) =-f(x2-x1)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. (2)∵f (1)=1,∴2=f (1)+f (1)=f (2), 由已知得f[log2(x2-x-2)]<f (2). 又∵f(x)在R上递增, ∴log2(x2-x-2)<2, ∴ ∴ ∴-2<x<-1或2<x<3. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1或2<x<3}. 【例4】定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当x∈(0,1)时,f(x)= . (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)证明: f(x)在(0,1)上是减函数; (3)当m取何值时,方程f(x)=m在(0,1)上有解? [解答] (1)设-1 ∴f(-x)= = =-f(x), ∴f(x)=- ,x∈(-1,0). 又f(x)为奇函数,∴f(0)=-f(0),从而f(0)=0; 又f(x)=f(x-2k),k∈Z,∴f (1)=f(-1), 而f(-1)=-f (1),从而f (1)=0,且f(-1)=0, 综上所述,f(x)= (2)证明: 设0 f(x1)-f(x2)= , ∵0 ∴ ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 从而f(x)在(0,1)上是减函数. (3)由 (2)可知f(x)在(0,1)上单调递减, ∴要使方程f(x)=m在(0,1)上有解, 只需 ,故m∈ . 三、课堂练习 1.函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调增区间为________. 答案: (5,+∞) [解析]由题意知x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5,即函数f(x)=log2(x2-4x-5)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),根据外层函数为单调增函数,而内层函数u=x2-4x-5=(x-2)2-9在(5,+∞)上单调递增,所以所求函数的单调增区间为(5,+∞). 2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________. 答案: -4 (2)>0. ∴ ∴-4 3.若函数f(x)=x2-2(1+a)x+8在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围为________. 答案: a≥3 [解析]由题意知: 函数f(x)=x2-2(1+a)x+8的单调减区间为(-∞,(1+a)],又函数在(-∞,4]上为减函数,所以有4≤1+a,解得a≥3. 4.已知函数f(x)= 满足对任意x1≠x2,都有 <0成立,则a的取值范围是________. 答案:
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