数量关系 数学运算.docx
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数量关系数学运算
数量关系之数学运算
解题方法:
(1)多熟记些算式题的巧算法与公式,以提高做题速度。
(2)仔细审题。
找出属哪种题型,然后再找出相应的“巧算法”或公式。
一般说来,算式题都有“巧算法”或公式可寻。
(3)尽量用心算。
除非个别大数时,一般不用笔算,这样可以节省时间。
一、代入排除法
很多问题正面求解相当困难,但结合选项来看却相当容易。
“代入排除法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题(无法算出x和y,只能列出他们的关系,或者无法迅速列出方程的问题)、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。
如果是要求最大或最小,从选项的最大数或最小数开始代入,其余从A开始代入。
(一)怎么猜:
多数原则——选项多次出现的往往是正确的
军棋理论——三个错误的选项的目的是保护正确答案。
(3:
4:
5和3:
5:
4)
相关原则——出题的干扰选项往往有1到2个东西与正确答案和原文有相关度。
(选项相关:
28.4和128.4,再如一道题目如果出的是求差,往往是某一选项减去另一个选项,换言之搞清楚每个选项是怎么来的,选项与选项的关系,选项与原文的关系,从而快速猜题)
例:
已知甲乙的比例是7:
4,隐含的意思是甲是7的倍数,乙是4的倍数。
差是3的倍数,和是11的倍数。
——原则:
如果甲:
乙=m:
n,说明甲是m的倍数,乙是n的倍数,甲+乙是m+n的倍数,甲-乙是m-n的倍数
——注意:
甲是和乙比较还是和全部的和比较
——题目一般是是已知比例,求和。
例:
甲区人口是全城的4/13,说明全城人口是13的倍数。
判断倍数(很重要):
一个数是2的倍数,尾数是2,4,6,8,0,即偶数
一个数是4的倍数,看末两位能被4整除
一个数是5的倍数,看尾数是5或0
一个数是6的倍数,既是3的倍数,又是2的倍数。
一个数是8的倍数,看末三位。
一个数是3的倍数,去3,每一位都加起来,能被3整除
一个数是7的倍数:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
13-3×2=7,所以133是7的倍数;
例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×2=595,59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
一个数是9的倍数,(去9)每一位加起来,能被9整除
一个数除以一个数的余数,就看其对应的末几位除以这个数的余数即可
例如:
两个数的差是2345,两数相除的商是8,求这两个数之和?
A.2353B.2896C.3015D.3456
两个数的差是奇数,那么和也是奇数,商是8,说明和是9的倍数。
答案就出来了。
(二)多位数问题(包括小数位)
多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字,以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字”的问题。
如果问一个多位数是多少,一律采用直接代入法
多位数问题的一些基础知识:
1位数,从1到9共9个;
2位数,从10到99共90个;
3位数,从100到999共900个;
4位数,从1000到9999共9000个。
化归思想(从简单推出复杂,已知推出未知)——以此类推
推出5位数9加上4个0=90000,10位数是9加上9个0
页码(多少页)问题
二、估算法——选项差别很大的用估算法
(一)尾数估算法
对于此类问题要知道,和的尾数是一个加数的尾数加上另一个加数的尾数,差、积、商都有同样的道理
计算类型的题目,选项的尾数不同,就用尾数法
过程中的最后一位算出结果的最后一位——传统尾数法
过程的最后两位算出结果的最后两位——二位尾数法
【例题】1994×2002-1993×2003的值是()
A.9B.19
C.29D.39
【解析】二位尾数88-79=9
除法尾数法:
2000001除以7,我们直接转化为乘法尾数法,用选项的末尾数乘以7,看是否符合。
(二)乘方尾数问题
19991998的末位数字是()
归纳(重要):
1.4个数的尾数是不变的:
0,6,5,1
2.除上面之外,底数留个位,指数末两位除以4留余数(余数为0,则看做4)
此方法:
不用记尾数循环。
自然数N次方的尾数变化情况
2n是以“4”为周期变化的,分别为2,4,8,6。
。
。
。
。
。
3n是以“4”为周期进行变化的,分别为3,9,7,1。
。
。
。
。
。
7n是以“4”为周期进行变化的,分别为7,9,3,1。
。
。
。
。
。
8n是以“4”为周期进行变化的,分别为8,4,2,6。
。
。
。
。
。
4n是以“2”为周期进行变化的,分别为4,6。
。
。
。
。
。
9n是以“2”为周期进行变化的,分别为9,1。
。
。
。
。
。
5n、6n尾数不变。
【例1】425+683+544+828的值是
A.2488 B.2486 C.2484 D.2480
答案为D。
如果几个数的数值较大,又似乎没有什么规律可循,可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的,如果是,那么可以先利用个位数进行运算得到尾数,再从中找出唯一的对应项。
如上题,各项的个位数相加5+3+4+8=20,尾数为0,所以很快可以选出正确答案为D。
【例2】1!
+2!
+3!
+4!
+5!
+……1000!
尾数是几?
【解析】5!
为0,5以后的数的!
都为0,所以我们要算这个数的尾数,只算1!
,2!
,3!
,4!
就可以了,1!
的尾数为1,2!
的尾数为2,3!
的尾数为6,4!
的尾数为4,所以该式的尾数为1+2+6+4=13=3。
三、整体消去法
在比较复杂的计算当中,将相近的数化为相同,从而作为一个整体进行抵消的方法。
在计算过程中出现复杂的数,并且数字两两很接近
【例1】1994×2002-1993×2003的值是()
A.9B.19C.29D.39
弃9法(非常重要)
把过程中的每一个9(包括位数之和为9或9的倍数18,27等)都舍去,然后位数相加代替原数计算(答案也要弃9)
上题可以解为:
5*4-4*5,答案去9,剩0的是A
【例2】8724*3967-5241*1381
8+4=12=33967=75241=2=1=31381=1=3=4
注:
弃9法只适用于加减乘,除法最好不用。
【例3】(873×477-198)÷(476×874+199)的值是多少?
A.1B.2C.3D.4
方法1,估算法,看题值只有一倍的可能。
方法2,尾数相除,得出1
方法3:
整体相消法
四、数字特性法
“数字特性法”指的是:
不正面直接求解题目的答案,而是根据答案所应满足的“数字特性”来排除选项的方法。
这些数字特性包括:
1、大小特性;
2、奇偶特性;
[习题](山西2009-107)有7个杯口全部向上的杯子,每次将其中4个同时翻转,经过几次翻转,杯口可以全部向下?
A3次B4次C5次D几次也不能
[解析]D,杯中需要朝下的话,需要翻转奇数次,所以七个杯口要全部向下的话,总共也是需要翻转奇数次才行,而每次翻转其中4个,不论翻多少次总数都是偶数,所以几次都不行。
[注释]“奇偶特性”
3、尾数特性;
4、倍数特性;
[习题1](陕西2008-17)火树银花楼七层,层层红灯按倍增加,共有红灯381,试问四层几个红灯?
()
A.24B.28C.36D.37
[解析]A,很明显,第四层应该是第一层的8倍,是8的倍数
[注释]倍数特性
[习题2](天津、湖北、陕西联考2009-93)赵先生34岁,钱女士30岁。
一天他们碰上了赵先生的三个邻居,钱女士问起了他们的年龄,赵先生说:
他们三人的年龄各不相同,三人的年龄之积是2450,三人的年龄之和是我俩年龄之和。
问三个邻居中年龄最大的是多少岁?
A.42B.45C.49D.50
[解析]假设这三人年龄从大至小分别为x、y、z岁,则:
x+y+z=34+30=64
xyz=2450
三个未知数存在于两个方程之中,不可直接求解,必须根据选项进行代入排除。
明显2450不是3的倍数,所以年龄当中不应该有3的倍数存在,排除A、B。
如果C正确,即最大年龄x=49,那么我们有(注意y>z):
y+z=64-49=15
yz=2450÷49=50
y=10,z=5
明显满足条件,所以选择C。
[注一]如果将D代入,将得到两个相等的根:
y=z=7,与条件相背。
[注二]倍数特性。
5、因子特性;
6、余数特性;
余数问题
分两类:
1余数问题(一个数除以几,商几,余几)
基本公式:
被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数
一定要分清“除以”和“除”的差别:
哪个是被除数是不同的
如果被除数比除数小,比如12除5,就是5除以12,那商是0,余数是5(他自己)
【例1】一个两位数除以一个一位数,商仍然是两位数,余数是8。
问被除数、除
数、商以及余数之和是多少?
A.98B.107C.114D.125
除数比余数要大,因此除数只能是一位数9,商是两位数,只能是10
例:
有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A
除以C商是6余6,A除以D商是7余7。
那么,这四个自然数的和是?
A.216B.108C.314D.348
注:
商5余5,说明是5的倍数
2同余问题(一个数除以几,余几)
一堆苹果,5个5个的分剩余3个;7个7个的分剩余2个。
问这堆苹果的个数最少为()。
A.31B.10C.23D.41
没有商,可以采用直接代入的方法。
最少是多少,从小的数代起,如果是最大数,从大的数代起
注:
同余问题的核心口诀(应先采用代入法):
公倍数(除数的公倍数)做周期(分三种):
余同取余,和同加和,差同减差
1.余同取余:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同
此时该数可以选这个相同的余数,余同取余
例:
“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1(60是最小公倍数,因此要乘以n)
2.和同加和:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数和除数的和相同
此时该数可以选这个相同的和数,和同加和
例:
“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示为60n+7
3.差同减差:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数和除数的差相同
此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数,差同减差
例:
“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取-3,表示为60n-3
选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件
*同余问题可能涉及到的题型:
在100以内,可能满足这样的条件有几个?
——6n+1就可以派上用场。
特殊情况:
既不是余同,也不是和同,也不是差同
一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个?
A.5个B.6个C.7个D.8个
这样的题目方法1用周期来做,公倍数是180,根据周期,每180会有一个数,三位数总共有900个答案是5个。
方法2每两个两个考虑,到底是不是余同,和同,差同。
7、幂次特性……
[习题](安徽2008-7)一个袋子里放着各种颜色的小球,其中红色球占1/4,后来又往袋子里放了10个红球,这时红球占总数的2/3,问原来袋子里有多少个球?
()
A.8B.12C.16D.20
[解析]直接代入,发现A满足条件。
[注释]典型和差倍比问题。
五、凑整计算法
根据交换规律、结合规律把可以凑成10、20、30、50、100、1000…的相对方便计算的数放在一起运算,从而提高运算速度。
学习凑整计算法,我们首先必须掌握一些最基本的凑整算式,具体如下:
5×2=10
25×4=100
25×8=200
25×16=400
125×4=500
125×8=1000
125×16=2000
625×4=2500
625×8=5000
625×16=10000
……
【例题1】0.0495×2500+49.5×2.4+51×4.95=()(2004年中央A类真题)
A.4.95B.49.5C.495D.4950
【答案及解析】C。
原式=0.0495×100×25+4.95×10×2.4+51×4.95
=4.95×25+4.95×24+4.95×51
=4.95×(25+24+51)
=4.95×100
=495
所以,答案为C。
【例题2】274+135+326+265=()
【答案及解析】
原式=(274+326)+(135+265)
=600+400
=1000
假如两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千,那么我们就可以说这两个数互为补数,其中的一个加数叫做另一个加数的补数。
在加法计算中,假如能观察出两个加数互为补数,那么根据加法交换律、结合律,可以把这两个数先相加,凑成整十、整百、整千,……再与其它加数相加,这样计算起来比较简便。
【例题3】1986+2381
【答案及解析】原式=2000-14+2381=2000+2381-14=6381-14=6367
间接利用补数法巧算,假如两个加数没有互补关系,可以间接利用补数进行加法巧算。
【例题4】34.16+47.82+53.84+64.18=()。
A.198B.200C.201D.203
【答案及解析】B。
这是一个“聚10”相加法的典型例题,所谓“聚10”相加法,即当有几个数字相加时,利用加法的交换律与结合律,将加数中能聚成“10”
或“10”的倍数的加数交换顺序,先进行结合,然后再把一些加数相加,得出结果。
或者改变运算顺序,将相加得整十、整百、整千的数先结合相加,再与其它数相加,得出结果。
这是一种运用非常普普遍的巧算方法,这道题目中四个数字都是由整数部分和小数部分组成。
因而可以将此题分成整数部分和小数部分两部分来考虑。
若只看整数部分,第二个数与第三个数之和正好是100,第一个数与第四个数之和正好是98,再看小数部分,第一个数的0.16与第三个数的0.84的和正好为1,第二个数的0.82与第四个数的0.18之和也正好为1,因此,总和是整数部分加上小数部分,即100+98+1+1=200。
故选B。
【例题5】4023+98+397=()
A.4418B.4518C.4520D.4618
【答案及解析】B。
这是一道“加整减零”的典型题。
所谓加整减零是指,如果加数是接近整千,整百,整十的数,可以先加上整千,整百,整十的数,再减去多加了的数;减整加零则是指:
如果减数接近整千,整百,整十的数,可以先减去整千,整百,整十的数,再加上多减了的数。
通过观察,我们会发现,98,和397接近整数,这样,可采用“加整减零”法进行快速运算,可知B项为正确答案。
【例题6】125×437×32×25=()
A.43700000B.87400000C.87455000D.43755000
【答案及解析】A。
本体也不需要直接计算,而是利用乘法凑整法,只需要分解一下即可:
原式=125×32×25×437
=125×8×4×25×437
=1000×100×437
=43700000
六、十字相乘法
十字相乘解比例问题,十字相乘不仅数量运算有效,对资料分析中的比例问题也相当有效。
(一)原理介绍
【例题】某班学生的平均成绩是80分,其中男生的平均成绩是75,女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一:
搞笑(也是高效)的方法。
男生一人,女生一人,总分160分,平均分80分。
男生和女生的比例是1:
1。
方法二:
假设男生有A,女生有B。
(A×75+B×85)/(A+B)=80
整理后A=B,因此男生和女生的比例是1:
1。
方法三:
男生:
755
80
女生:
855
男生:
女生=1:
1。
原理:
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X,B有(1-X)。
AX+B(1-X)=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/A-B
因此:
X:
(1-X)=(C-B):
(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
A C-B
C
B A-C
这就是所谓的十字相乘法。
总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。
十字相乘法使用时要注意几点:
第一点:
用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点:
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:
总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放对角线上。
【例题】(07中央)某离校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%.其中本科毕业生比上年度减少2%.而研究生毕业生数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年毕业的本科生有:
A3920人 B4410人 C4900人 D5490人
答案:
C去年毕业生一共7500人,7650÷(1+2%)=7500人。
本科生:
-2% 8%
2%
研究生:
10% 4%
本科生∶研究生=8%∶4%=2∶1。
7500×2/3=5000
5000×0.98=4900
这所高校今年毕业的本科生有4900人。
七、平均数速算技巧--中位数法
在涉及平均数的数学运算题目中,巧妙利用中位数是可以大大简化运算过程的。
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
那么将这个特性移植到自然数列等等差数列中时,中位数即为数列的平均数。
自然数列的中位数特性:
1、位置特性:
一定在数列的最中间位置。
2、数值特性:
为整数或*.5
计算方法:
a中=(a1+an)÷2
【例题】小华在练习自然数求和,从1开始,数着数着他发现自己重复数了一个数。
在这种情况下,他将所数的全部数求平均数,结果为7.4,请问他重复的那个数是:
A.2B.6C.8D.10
平均数为7.4显然不符合自然数列的中位数规则。
那么这个自然数列的中位数可能是7.5,即1-14的平均数,1-14的和为105。
由于中间重复数了一个数字,那么他数了15个数,此时的数列和为7.4×15=111。
所以小华数重复的数字为111-105=6。
八、基准数法
当遇到两个以上的数相加且这些数相互接近时,取一个数做基准数,然后再加上每个加数与基准数的差,从而求和。
例题:
199********920002001
A.9993 B.9994 C.9995 D.9996
答案为C。
当遇到两个以上的数相加,且他们的值相近时,可以找一个中间数作为基准,然后再加上每个加数与基准的差,从而求得他们的和。
在该题中,选2000作为基准数,其他数分别比2000少3,少2,少1,和多1,故五个数的和为9995。
这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。
九、裂项相消法
=
=1-
这题等于(1分之1-2005分之1)乘以(1/1)
拆成裂项的形式,3=1*3,255=15*17(发散思维,先想到256=16*16)
十、错位相减法
求数列
前
项的和。
解析:
由题知,
的通项是等差数列
的通项与等比数列
的通项之积。
设
两式相减得:
(1-
)
=
=
得出:
十一、放缩法
例1、设
是正整数,求证:
≤
≤1。
解析:
令
=A,那么A≤
;
A≥
,故
≤A≤1。
例2、
十二、利用项与项之间关系
一列数排成一排
,满足下面关系式
,若
=1,则
=
A.1 B.
C.2007 D.
解析:
由
可得:
,即
是一个公差为1的等差数列,首项为
=1,那么
,故
。
十三、数学归纳法
有一楼梯共10级,如规定每次只能跨上一级或两级,要蹬上第10级,共有多少种不同的走法?
解析:
当台阶数为1时,有1种办法
当台阶数为2时,有2种办法
当台阶数为3时,有3种办法
……
随着台阶数的增加,方法数正好是下面的数列
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ……该数列为一和数列。
前2项和等于第3项。
十四、方程与不等式思想
一、知识回顾
基本方程原则
一、设未知数原则
1以便于理解为准,设出来的未知数要便于列方程;
2在上条的基础上,尽量设题目所求的量为未知量;
3有时候方便理解,可以设有意义的汉字为未知数。
二、消未知数原则
1方程组消未知数时,应注意保留题目所求未知量,消去其它未知量。
2未知数系数倍数关系较明显时,优先考虑通过“加减消元法”解题。
3未知数系数代入关系较明显时,优先考虑通过“代入消元法”解题。
十五、利用公式法计算
如果
为各项都大于0的等差数列,公差不等于0,则有()?
A.
B.
C.
D.无法比较
解析:
由公式
当且仅当
时取得等号,也就是说当2个数的和一定时,要想使这2个数的和最大,那么这2个数应该相等,如不能相等时,差值也应最小,这道题
(等差数列),但
的差值比
小,所以选B。
十六、整体代换法
为多少?
解析:
这道题,如果我们直接算的话会很烦琐,展开式的项数太多,增加计算量,先观察没项的相同部分,可知为
,令
=
,把分式
令为
,这样原式就简化为
,这样来计算就简便多了。
十七、补数法
a、直接利用补数法巧算
b、间接利用补数法巧算又称凑整去补法
十八、巧算
56789+67895+78956+89567+95678=( )
A.388885 B.366665 C.344445 D.333335
解析:
原式=(5+6+7+8+9)×(10000+1000+100+10+1)=350000+35000+3500+
350+35=388885。
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