专题椭圆的切线方程Word格式.docx
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定义做类比,都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切,从而通过解析法中联立方程组,消元,一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二)探究新知
基础铺垫:
22
问题1、已知椭圆C:
xy1与直线l只有一个公共点
82
(1)请你写出一条直线l的方程;
(2)若已知直线l的斜率为k1,求直线l的方程;
(3)若已知切点P(2,1),求直线l的方程;
(4)若已知切点P(3,5),求直线l的方程。
2
(1)根据椭圆的特征,可以得到特殊的切线方程如特殊情况过渡到一般情况。
切线确定,切点确定。
(2)已知斜率求切线,有两条,并且关于原点对称。
利用斜截式设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式0。
切线斜率确定,切线不确定。
(3)已知切点求切线,只有唯一一条。
利用点斜式设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式0。
由于切点是整数点,运算简洁。
切点确定,切线确定。
可总结由
(2)(3)两道小题得到求切线方程的一般步骤:
设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式0。
(4)同(3)的方法,但是切点不是整数点,运算麻烦,学生运算有障碍,所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化:
x2y2
猜想:
椭圆C:
221与直线l相切于点P(x0,y0),则切线l的方程?
ab
(椭圆的切线方程的具体求法,详情请见微课)
类比经过圆上一点P(x0,y0)的切线的方程为x0xy0yr2进行猜想,培养
学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐,思想方法同问题1,所以上课时没必要花
费时间进行求解,做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究:
在椭圆中,有关切线问题,还可以求哪些量?
所以,kopk切线=-1,
1.点与圆
设点P(x0,y0),圆(xa)2(yb)2r2则
别式为Δ,则
l与圆C相交0,
l与圆C相切0,
l与圆C相离0
类比到圆中:
已知圆C:
x2y2r2与直线l相切于点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在第一象限,若直线l与x轴、y轴分别交于点B、A.
由2014年浙江高考题最后一道题
2x[2014·
浙江卷]如图,设椭圆C:
2a
y21(ab0),动直线l与椭圆C只有一个公共点b
P,且点P在第一象限.
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:
点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
xy
如图,设椭圆C:
221(ab0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在ab
第一象限.
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(2)设点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在第一象限,用点P的坐标x0,y0表示椭圆的切线方程;
a2k,y
b2,
(2)解:
P(x0,y0),则由
(1)知x0
a2k2b2,y0
a2
k2b2,
则可设过点P切线l的方程为yy0
k(xx0)消参得
x0
ab22kk
b22x0代
y0
b2
ay0
入yy0k(xx0)得yy0化为整式a2y0yb2x0x
b2x0(xx)
2(xx0)
222222
a2y02b2x02a2b2(因为点P在椭圆上,所以
x0y0222222
02021ay0bx0ab),
ab
两边同除以a2b2得椭圆的切线方程x02xy02y1,与圆的切线方程做类比,形式相仿。
a2b2
所以,过切点P(x0,y0)的椭圆的切线方程x02xy02y1.
(3)连接OP,切线l的斜率为k切线,直线OP的斜率为kOP,求证kopk切线=定值;
y轴分别交于点B、A,求线段|AB|的最小值。
k
|AB|2
2m2
2m2,又因为前面根据直线和椭圆相切已求出k2
m2
222
a2k2b2(*),代入可得
22m22222b
2makba2
k2k2
b2(a2k2
kb22)
2ab(a
b)2
,线段|AB|的最小值为ab.当且仅当
ak
k2
k4
时,取到
由前面已证
过的
kOP
kAB
知,此时
kOP2
y02
a
x02
3
3x02
a(102)b
bx02
3a
ax0
2x0
a,代入
所以可得到,
|PA|2
(y0
m)2
x02(kx0)2
(1
k2)x02
面再继续讨论“
b3
”取到时的条件。
ba3得
b3x02
32
a3y02
b3,
(1ba)x02,代入
2a
2ab,得|PA|2
a2.|PA|
a,|PB|b
2x问题3、已知椭圆C:
2a2
y2
1与直线l相切于点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在第一象限,
若直线l与x轴、
y轴分别交于点
B、A.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D,
证明:
|PD||AB|定值.
P
O
B
Ay
由于过点P的切线l方程为x0x
所以A(0,b),B(a,0),则|AB|
y0x0
由于直线l1过原点O且与l垂直,
|ky0x0|
距离|PD|
|PD|k21
b2x0
a4
b4
故直线l1
面
已
y0y
的方程为
前
证过
1,直线l与x轴、y轴分别交于点B、
x+ky=0,所以点P到直线
20,代入ay0
A,
l1的
|PD||ky0x0|
|PD||AB||a2
|2a42bx0
42
a4y02
b|a
x0|
y
点P在第一象限.若过原点O的直线
问题4、如图,设椭圆
C:
ax2
a2x0y0b2x0y0|a4
242y0bx0
|a2
xa42
b2|
c2=定值(c为椭圆的半焦距)
1(ab0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且
l1与l垂直,证明:
点P到直线l1的距离的最大值为ab.
方法
由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线
l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的
距离d=
-a2k+b2kb2+a2k2b2+a2k2
1+k2
2-b2
整理得d=a-b2.
b2+a2+a2k2+kb2
当且仅当k2=b时等号成立.
所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论,线段|AB|的最小值为ab,
2222
|PD||AB||a2b2|a2b2=定值,可得点P到直线l1的距离|PD|的最大值为a-b.
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- 专题 椭圆 切线 方程