中考数学专题复习教学案二次函数及其图象.doc
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二次函数及其图象
◆【课前热身】课前热身】1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax+bx.若此炮弹
2
在第7秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?
(A.第8秒B.第10秒
2
)
C.第12秒
D.第15秒
2.在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为()B.y=2x2+2C.y=2(x2)2)C.(2,-3)).C.-3
2
A.y=2x22
D.y=2(x+2)2
3.抛物线y=(x2)2+3的顶点坐标是(A.(2,3)B.(-2,3)
D.(-2,-3)
24.二次函数y=(x+1)+2的最小值是(
A.2
2
B.1
D.
23
5.抛物线y=-2x-4x-5经过平移得到y=-2x,平移方法是()A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
【参考答案】参考答案】1.B2.B3.A4.A5.D
◆【考点聚焦】考点聚焦】
〖知识点〗二次函数,抛物线的顶点,对称轴和开口方向知识点〗〖大纲要求〗大纲要求〗1.理解二次函数的概念;2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标,对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;3.会平移二次函数y=ax(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;4.会用待定系数法求二次函数的解析式;5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值,最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.◆【备考兵法】备考兵法】〖考查重点与常见题型〗考查重点与常见题型〗1.考查二次函数的定义,性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x+m-m-2额图象经过原点,则m的值是2.综合考查正比例,反比例,一次函数,二次函数的图象,习题的特点是在同一直角
[来源:
学科网ZXXK]
2
2
2
2
坐标系内考查两个函数的图象,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数y=kx+b的图象在第一,二,三象限内,那么函数y=kx+bx-1的图象大致是(yyyy
2
)
10Axo-1Bx0
1xC0-1xD
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中
档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴5为x=,求这条抛物线的解析式.34.考查用配方法求抛物线的顶点坐标,对称轴,二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1,3,与3y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的2开口方向,对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题.抛物线的平移抛物线的平移抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax沿着y轴(上"+",下"-")平移k(k>0)个单位得到函数y=ax±k,将y=ax沿着x轴(右"-",左"+")平移h(h>0)个单位得到y=a(x±h).在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加).
22222
◆【考点链接】考点链接】1.二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质
a>0
y
a<0
O图象
x
开
口
[来源:
Zxxk.Com]
对称轴顶点坐标当x=最增值当x=时,有最y值值在对称轴左侧
[来源:
y有最
y随x的增大而
[来源:
Zxxk.Com][来源:
Zxxk.Com]
y随x的增大而
减性
[来
学科网][来源:
Z.xx.k.Com]
源:
Z,xx,k.Com][来
源:
Zxxk.Com][来
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
源:
Z.xx.k.Com][来
源:
Z.xx.k.Com]
2.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成y=a(xh)+k的形式,其中
2
2
h=
k=
.
3.二次函数y=a(xh)2+k的图象和y=ax2图象的关系.
4.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号的确定.典例精析】◆【典例精析典例精析二次函数为y=x-x+m,
(1)写出它的图象的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)例1已知:
m为何值时,顶点在x轴上方,(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB‖x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.【分析】
(1)用配方法可以达到目的;
(2)顶点在x轴的上方,即顶点的纵坐标为正;(3)AB‖x轴,A,B两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值.【解答】
(1)∵由已知y=x-x+m中,二次项系数a=1>0,∴开口向上,又∵y=x-x+m=[x-x+(
22
121124m1)]-+m=(x-)+2424114m1∴对称轴是直线x=,顶点坐标为(,).224
22
(2)∵顶点在x轴上方,∴顶点的纵坐标大于0,即∴m>
4m1>04
141∴m>时,顶点在x轴上方.4
(3)令x=0,则y=m.即抛物线y=x-x+m与y轴交点的坐标是A(0,m).∵AB‖x轴∴B点的纵坐标为m.当x-x+m=m时,解得x1=0,x2=1.∴A(0,m),B(1,m)在Rt△BAO中,AB=1,OA=│m│.∵S△AOB=∴
22
1OAAB=4.2
1│m│1=4,∴m=±82
22
故所求二次函数的解析式为y=x-x+8或y=x-x-8.【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a,b,c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.会用待定系数法求二次函数解析式
0)4)与(2009年湖北武汉)抛物线y=ax2+bx4a经过A(1,,C(0,两点,x轴例2(2009年湖北武汉)如图,
交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在
(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.y
C
AO
B
x
【分析】
(1)中用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)中考查象限,点关于直线的对称点求法;(3)中主要是做出正确的辅助线求解,进而求出点的坐标.
20)4)【答案】解:
(1)∵抛物线y=ax+bx4a经过A(1,,C(0,两点,
ab4a=0,∴4a=4.
解得
a=1,b=3.
∴抛物线的解析式为y=x2+3x+4.
(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=m+3m+4,
2
即m2m3=0,∴m=1或m=3.
2
∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,.4)
y
C
D
EAOBx
∴∠.由
(1)知OA=OB,CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E.
∵C(0,,∴CD‖AB,且CD=3,4)
∴∠ECB=∠DCB=45°,
∴E点在y轴上,且CE=CD=3.∴OE=1,∴E(0,.1)
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).
(3)方法一:
作PF⊥AB于F,DE⊥BC于E.
y
CPAFOE
D
B
x
由
(1)有:
OB=OC=4,OBC=45°∴∠,
∵∠DBP=45°CBD=∠PBA.,∴∠
∵C(0,,D(3,,∴CD‖OB且CD=3.4)4)
∴∠DCE=∠CBO=45°,
∴DE=CE=
32.252,2
∵OB=OC=4,∴BC=42,∴BE=BCCE=
∴tan∠PBF=tan∠CBD=
DE3=.BE5
设PF=3t,则BF=5t,∴OF=5t4,
∴P(5t+4,).3t
∵P点在抛物线上,
∴3t=(5t+4)2+3(5t+4)+4,
∴t=0(舍去)或t=
22266,∴P,.25525
方法二:
过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH⊥x轴于H.过Q点作QG⊥DH于G.
y
CQPG
D
AOH
B
x
∵∠PBD=45°QD=DB.,∴∴∠QDG+∠BDH=90°,
又∠DQG+∠QDG=90°∴∠DQG=∠BDH.
∴△QDG≌△DBH,∴QG=DH=4,DG=BH=1.
由
(2)知D(3,,∴Q(1,.4)3)
312∵B(4,,∴直线BP的解析式为y=x+.0)55
2y=x2+3x+4,x2=5,x1=4,解方程组312得y=x+,y1=0;y=66.55225
266∴点P的坐标为,.525
◆【迎考精练】迎考精练一,选择题1.(2009年上海市)抛物线y=2(x+m)2+n(m,n是常数)的顶点坐标是((2009年上海市)A.(m,n)B.(m,n)C.(m,n)D.(m,n))
2.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,(2009年陕西省)可判断二次函数的图像与x轴()
x…-1y…-1
A.只有一个交点
0
74
1-2
2
74
……
B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧C.有两个交点,且它们均在y轴同侧D.无交点3.(2009年湖北荆门)函数y=ax+1与y=ax+bx+1(a≠0)的图象可能是((湖北荆门)
2
)
y
1
y
1
y
1
y
1
x
o
A.
o
B.
x
o
C.
x
o
D.
x
4.(广东深圳深圳),B(2,4.(2009年广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示,若点A(1,y1)y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是(A.y1
5.(2009年湖北孝感)将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位,得到函数(2009湖北孝感孝感)
y=x23x+2的图象,则a的值为
A.1B.2C.3D.4
6.(2009年天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+x2关于x轴作轴对称变(年天津市)换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为()B.y=x2+x2C.y=x2+x+2D.y=x2+x+2
A.y=x2x+2
7.(2009年四川遂宁)把二次函数y=1x2x+3用配方法化成y=a(xh)2+k的形式(四川遂宁遂宁)4A.y=1(x2)2+24B.y=1(x2)2+44
C.y=1(x+2)2+44
D.y=1x1+322
2
8.(年河北)8.(2009年河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数
y=12x(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为(20
)
A.40m/sC.10m/s二,填空题
B.20m/sD.5m/s
1.(2009年北京市)若把代数式x2x3化为(xm)+k的形式,其中m,k为常数,(年北京市)
2
2
则m+k=
.
112.(2009年安徽)已知二次函数的图象经过原点及点(,)(年安徽),且图象与x轴的另一24
交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为3.(2009年湖南郴州)抛物线y=-3(x-1)2+5的顶点坐标为.(湖南郴州郴州)(年内蒙古包头)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(2,,x1,,0)(0)4.2009年内蒙古包头)且1 ①4a2b+c=0;②2) a0;④2ab+1>0.其中正确结论的个数是 5.(2009年湖北襄樊)抛物线y=x2+bx+c的图象如图所示,(年湖北襄樊襄樊)则此抛物线的解析式为.Oy 个.x=1 3 x 5题6.(2009年湖北荆门)函数y=(x2)(3x)取得最大值时,x=.湖北荆门)(三,解答题1.(2009年湖南衡阳)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求(湖南衡阳衡阳)这个二次函数的关系式. 2.(2009年湖南株洲)已知ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在(湖南株洲株洲) x轴上,点B坐标为(3,m)m>0)(,线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为 顶点的抛物线过点B,D. (1)求点A的坐标(用m表示); (2)求抛物线的解析式;(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结 BQ并延长交AC于点F,试证明: FC(AC+EC)为定值. y B EQDO A P F C x 59,,.3.(2009年湖南常德)已知二次函数过点A(0,2)B(1,0)C(,)(48 (1)求此二次函数的解析式; (2)判断点M(1,(3)过点M(1, 1)是否在直线AC上? 2 1)作一条直线l与二次函数的图象交于E,F两点(不同于A,B,C2 三点),请自已给出E点的坐标,并证明△BEF是直角三角形. 第3题年陕西省)4.(2009年陕西省)如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2). (1)求点B的坐标; (2)求过点A,O,B的抛物线的表达式; (3)连接AB,在 (2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO. 5.(2009湖北黄冈黄冈)及时调整投资方向,5.(2009年湖北黄冈)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA,曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,A为该抛物线的顶点,点曲线BC为另一抛物线的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12 (1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多? 最多利润是多少万元? 6.(2009年内蒙古包头)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价(内蒙古包头包头)不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量符合一次函数 (1)求一次函数 (2)若该商场获得利润为,且时,;时,(件)与销售单价(元). 的表达式;元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围. 7.(福建漳州漳州)7.(2009年福建漳州)如图1,已知: 抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于点C,经过B,C两点的直线是 连结 . (1)B,C两点坐标分别为B(,),C(,),抛物线的函数关系式为; (2)判断的形状,并说明理由; (3)若 内部能否截出面积最大的矩形 (顶点 在 各 边上)? 若能,求出在 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由. [抛物线 的顶点坐标是 ] 【参考答案】参考答案】选择题1.B2.B3.C【解析】本题考查函数图象与性质,当a>0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,D是错的,函数y=ax+1与y=ax+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1),所以C是正确的,故选C.4.C5.B6.C7.D8.C填空题1.-3 2 2. 11y=x2+x,y=x2+33 3.(1,5)4.4【解析】本题考查二次函数图象的画法,识别理解,方程根与系数的关系筀等知识和数形解析】结合能力.根据题意画大致图象如图所示,由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为(-2,0)得a× (2)+b× (2)+c=0,即4a2b+c=0所以①正确; 22由图象开口向下知a<0,由y=ax+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1,0)且 1 正确;由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2=确;由4a2b+c=0得2ab=所以结论④正确. 1b (2)+x1=>由a<0得b>a,所以结论②2a22 c<2,结合a<0得2a+c>0,所以③结论正a cc,0 ∴-1
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- 中考 数学 专题 复习 教学 二次 函数 及其 图象