培优竞赛新方法九年级第讲一元二次方程的应用.docx
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培优竞赛新方法九年级第讲一元二次方程的应用
第4讲一元二次方程的应用
知识纵横
方程是刻画现实问题的有效模型之一,一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面:
(1)求代数式的值;
(2)列二次方程解应用题;
(3)解相关几何问题。
例题求解
【例1】在平面直角坐标系中有点
、
,C是坐标轴上一点。
若
是直角三角形,则满足条件的点C的坐标是_________。
(山东省竞赛题)
【例2】已知实数
、
满足
,
,则
的值为()。
A.7B.
C.
D.5
(全国初中数学竞赛题)
【例3】在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长15cm)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围城(如图所示)。
若花园的BC边长为x(m),花园的面积为y(m2).
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗?
若能,求出此时x的值,若不能,说明理由;
(3)根据
(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?
(青岛市中考题)
【例4】已知:
如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s,点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度2m/s,连接PQ。
若运动时间为t(s)(2 (1) 当t为何值时,PQ∥BC? (2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式; (3)如图②,连接PC,并把 沿QC翻折,得到四边形PQP′C,并且存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形,求此时 的面积. (青岛市中考题) 【例5】如图,在平面直角坐标系中,直线 与 交于点A,分别交x轴于点B和点C,点D是直线AC上的一个动点。 (1)求点A、B、C的坐标; (2)当△CBD为等腰三角形时,求点D的坐标。 分析对于 (2),利用“腰相等”建立方程,解题的关键是分情况讨论状况。 (太原市中考题) 巧定价格 【例6】某公司投资新建了一商场,共有商铺30间。 据预测,当每年的年租金定为10万元时,当全部租出。 每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间。 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。 (1)当每间商铺的年租金定位13万元,能租出多少间? (2)当每间商铺的年租金定位多少万元时,该公司的年收益(收益+租金-各种费用)为275万元? (绍兴市中考题) 学力训练 基础夯实 1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率相同,那么两次降价的百分率为_________。 (大连市中考题) 2.庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,这次有_______支队参加比赛。 (鄂州市中考题) 3.假如一人患红眼病,经过两轮传染共有144人患了红眼病,按这样的传播速度,若有两人患了红眼病,经过第一轮传染后患红眼病的人数共有______人。 4.已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF丄CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为_________. (2011年潍坊市中考题) 5.图①是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图②铺成了一个2×2的近似正方形,其中完整菱形共有5个;若铺成3×3的近似正方形图案③,其中完整的菱形有13个;铺成 4×4的近似正方形图案④,其中完整的菱形有25个;如此下去,可铺成一个n×n的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时,n的值为( ) A.7B.8C.9D.10 (2011•荆州市中考题) 6.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? (海口市中考题) 7.如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米. (1)用含x的式子表示横向甬道的面积; (2)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用为239万元? (南宁中考题) 8.如图,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,但是点P不与点0、点A重合.连接CP,D点是线段AB上一点,连接PD. (1)求点B的坐标; (2)当∠CPD=∠OAB,且,求这时点P的坐标. (广东省中考题) 能力拓展 9.过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围城的三角形面积为5,这样的直线可以作_____条。 (全国初中数学联赛题) 10.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。 若这次会议握手的总数是159次,那么参加会议的成员有______人,其中,第二次握手共有_____次。 (第19届江苏省竞赛题) 11.如图,直线 与y轴交于点A,与双曲线 在第一象限内交于点B、C两点,且 ,则 =________. (武汉市中考题) 12.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数 的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数 (x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为_______。 (2011年宁波市中考题) 13.一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等, 的值等于( ) A. B. C. D. 14.如图,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则这个正方形的面积为( )。 (山东省竞赛题) A. B. C. D. 15.(2006•无锡)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了t秒. (1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值; (2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半? 若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由. (无锡市中考题) 16.某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生. (山东省竞赛题) 17.如图,已知直线 (k<1)与双曲线y=6/x在第一象限和第三象限分别交于点A( )和点B( ),分别由A、B向x轴引垂线,垂足为M、N,当四边形AMBN的面积取得最小值时,求k的值。 (世界数学团体锦标赛试题) 18.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,且BD=8cm.点M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,速度为2cm/秒;同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,速度为1cm/秒,,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为t秒(0<t<5). (1)当t为何值时,PM∥BC? (2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使 ? 若存在,求出t的值;若不存在,说明理由; (4)是否存在某一时刻t,使四边形PQCM成为等腰梯形? 若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由. (2011青岛市中考题)
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- 竞赛 新方法 九年级 一元 二次方程 应用