高思导引四年级第四讲数阵图初步教师版汇编.docx
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高思导引四年级第四讲数阵图初步教师版汇编
第4讲数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题,了解重数的概念,并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值;某些情况下还需要考虑对称性。
典型问题
兴趣篇
1.在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.
【答案】:
【分析与解】:
先如下图将空白处标上字母:
根据题意:
a=11-2-5=4;b=11-4-1=6;c=11-2-6=3.
2.请分别将1,2,4,6这四个数填在图4-2中的各空白区域内,使得每个圆圈里四个数之和都等于15.
【答案】:
【分析与解】:
如下图,先将空白区域标上字母
根据题意:
上面圆内四个数之和等于15,可得a+d=15-5-7=3=1+2;
同理,b+d=15-5-3=7=1+6;c+d=15-7-3=5=1+4。
由于d属于三个圆的公共部分,经对比发现可得:
d=1;a=2;b=6;c=4.
3.如图4-3所示,请在三个空白圆圈内填入三个数,使得每条直线上三个数之和都相等。
【答案】:
【分析与解】:
如下图:
因为8+9+a=b+a+7可得b=10;那么每条线的和=8+3+10=21;那么a=21-8-9=4;c=21-8-7=6.
4.把1至8分别填入图4-4的八个方格内,使得各列上两个数之和都相等,各行四个数之和也相等。
【答案】:
1
7
6
4
8
2
3
5
【分析与解】:
因为1+2+3+……+8=36;所以每行的和等于36÷2=18;每列的和=36÷4=9;从列入手,可将1~8这八个数分为和等于9的四组:
1+8=2+7=3+6=4+5。
再调整使行和等于18:
我们发现1+4=2+3;8+5=6+7.经过调整可得答案。
5.把1至12分别填入图4-5的圆圈内,使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。
【答案】:
【分析与解】:
经过观察发现,此图是个具有对称性的图案;若使三个小三角形的三边之和相等;只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。
因此可将1~12对称性地分为六组如下:
1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7.
6.在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。
【答案】:
1
3
2
3
2
1
2
1
3
【分析与解】:
利用此图的对称性;可将中间数2填入此图的正中心;然后利用每行每列都是1、2、3并注意使对角线的和等于6可将此图填写完整。
7.把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内,使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.
【答案】:
【分析与解】:
如下图所示:
根据题意有:
a+b+c+d=13;c+d+e+f=13
将上述两个算式相加可得:
(a+b+c+d+e+f)+c+d=26;也就是21+c+d=26;得到:
c+d=5=1+4=2+3;a+b=e+f=13-5=8;而8=2+6=3+5只有这两种组成方式;因此排除掉c+d=2+3;所以c+d=1+4。
8.把1至6分别填入图4-8的六个方格内,使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等.这个和最大是多少?
最小是多少?
【答案】:
最大13;最小11
【分析与解】:
如下图标上字母,并且设两条线上的和均为k。
a
b
c
d
e
f
依据题意有:
a+b+c=k;b+d+e+f=k;将这两个等式相加可得:
(a+b+c+d+e+f)+b=2k;21+b=2k。
由奇偶性可得:
b只能取1、3、5;分别对应k的值为11、12、13.可知和最大为13,最小为11.
9.把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内,使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等,如果中心圆内填入数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法。
【答案】:
【分析与解】:
如下图所示标上字母,并设每条线的和为k。
根据题意有:
a+b+c=k;a+d+e=k;a+f+g=k;将三式相加可得:
(a+b+c+d+e+f+g)+2a=3k;28+2a=3k;经过分析可知:
当a=1时,k=10;当a=4时,k=12;当a=7时,k=14。
10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数,使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和,那么最下面那个数最小是几?
【答案】:
8
【分析与解】:
根据题意可知;只要上面三个数确定,那么下面三个数也就确定了;若使最下面数最小,那么必须使最上面三个数最小,并且将最小数放在最中间;经过尝试有如下填法:
拓展篇
1.将1至9分别填入图4-11中的圆圈内,可以使得图中所有三角形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个,请你在图中填出剩下的数.
【答案】:
【分析与解】:
先标上字母:
c=15-5-6=4;同理可得:
b=2;a=7;d=3;e=8;f=1.
2.在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数,使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数,那么每条边上各数之和应该是多少?
并将其补充完整。
【答案】:
【分析与解】:
先标上字母:
有1+16+a=a+9+b;可得b=8;和=7+6+8=21;c=21-1-7=13.
3.图4-13是由四个交叠的长方形组成的,在交点处有八个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内,使得每个长方形上的四个数之和都相等。
【答案】:
【分析与解】:
先标上字母:
我们发现:
a与b总是在一起;同样:
c与d;e与f;g与h也总是在一起;考虑将1~分为4组:
1+8=2+7=3+6=4+5.
4.在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4,使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6,并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.
【答案】:
↓
↓
4
↓
3
2
2
0
3
0
4
0
【分析与解】:
先标上字母有:
↓
↓
a
↓
b
c
d
e
f
g
h
i
总和=2×(2+3+4)=18;而中间三列之和=6×3=18;所以e=i=0。
同样第二、三行之和=7×2=14;所以a=18-14=4。
则可以根据和依次填出其他方框内数字。
5.请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2,使得每个大圆圈上四个数之和两两不同,那么所填数的总和是多少?
【答案】:
9
【分析与解】:
观察得知:
每个圆上面均有四个小圆圈;经过试验可填出:
;此时所有圆圈内所填数之和等于9。
6.把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内,使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.
【答案】:
【分析与解】:
先标上字母如下:
发现b与除了d之外的所有格子相连,意味着在1~8范围内,与b相差1的只有d;同样的道理,与c相差1的只有a;那么可以推出a=7,c=8;b=1,d=2;进而可以推出其它位置。
7.在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数,使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数.请问:
标有★的圆圈内填的数是多少?
【答案】:
5
【分析与解】:
从和最小的4入手;4=1+3。
若4的上面填1下面填3,可以利用线上的和算下去发现所填的数并不是7个连续的自然数;所以4的上面填3下面填1,此时可推断出★=5.
8.小悦是8月11日15点整出生的,她想把1,2,3,4,5,6,7这七个数填入图4-18的七个方框里,每个数只填一次,使三条直线上的三个数之和恰好是8,11,15,问:
在圆上的三个数的乘积最大可能是多少?
【答案】:
168
【分析与解】:
先标上字母如下:
可知:
a+b+c=8;a+d+e=11;a+f+g=15;将三式相加有:
(a+b+c+d+e+f+g)+2a=34;解得a=3;则b+c=5=1+4;若使圆上乘积最大,则c=4;同理可得:
d=2;e=6;f=5;g=7.此时圆上上个数的乘积为4×6×7=168.
9.把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内,使得三角形每条边上三个数之和都相等,那么这个和最小是多少?
最大是多少?
【答案】:
最小是9,最大是12
【分析与解】:
标注字母如下图;并设每条线的和为k:
根据题意有:
a+b+d=k;b+f+c=k;a+e+c=k;将三式相加:
(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k;21+(a+b+c)=3k;若使k最小,则使a+b+c最小;此时a+b+c=1+2+3=6;k=9.若使k最大,则使a+b+c最大;此时a+b+c=4+5+6=15;k=12.
体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数,上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%,虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距,但按照联合国粮农组织的划分,表明上海消费已开始进入富裕状态(联合国粮农组织曾依据恩格尔系数,将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费,20%-40%定为富裕状态的消费)。
10.把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内,使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。
【答案】:
自制性手工艺品。
自制饰品其实很简单,工艺一点也不复杂。
近两年来,由于手机的普及,自制的手机挂坠特别受欢迎。
【分析与解】:
标注字母如下图,并且设每条线上的和为m:
有:
a+c+d=m;b+c=m;e+f=m;g+h=m;i+j+k=m;
五式相加得:
(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)+c=5m;66+c=5m;设c=4,m=14;进而可得出上图结果。
四、影响的宏观环境分析11.请将1至6填入图4-21的六个圆圈内,使得四条直线上的数字之和都相等。
营销环境信息收集索引
(三)大学生购买消费DIY手工艺品的特点分析【答案】:
【分析与解】:
标注字母如下图,且设每条线上的和为k:
有:
a+b+c=k;a+d+f=k;c+d+e=k;e+f=k;将上述算式相加有:
2(a+b+c+d+e+f)-b=4k;42-b=4k。
解得b=6,k=9,则e=4;f=5;a=1;b=2.
尽管售价不菲,但仍没挡住喜欢它的人来来往往。
这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品,许多顾客也是学得不亦乐乎。
在现场,有上班族在里面精挑细选成品,有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱,准备自己制作的原料。
可以想见,用本来稀奇的原料,加上别具匠心的制作,每一款成品都必是独一无二的。
而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。
12.如图4-22,有一座长方形城堡,四周有十个掩体,守城的士兵有十件武器,各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同,并且尽量大,应如何在十个掩体中配备武器?
新材料手工艺品。
目前,国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降,与此形成鲜明对比的是,数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品--即根据自己的创意将各种材质的饰珠,用皮、布、金属等线材串出的品,正在各国的女性中大行其道。
武器
手枪
开了连锁店,最大的好处是让别人记住你。
“漂亮女生”一律采用湖蓝底色的装修风格,简洁、时尚、醒目。
“品牌效应”是商家梦寐以求的制胜法宝。
步枪
(一)对“漂亮女生”饰品店的分析自动步枪
3、消费“多样化”冲锋枪
轻机枪
威力数
1
2
3
4
5
武器
重机枪
迫击炮
火箭筒
加农炮
榴弹炮
威力数
6
7
8
9
10
【答案】:
【分析与解】:
标注字母,并且设每条边上的和为m如下图:
有:
a+b+c+d=m;a+e+f=m;f+g+h+i=m;d+i+j=m将上述算式相加有:
(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)+(a+d+f+i)=4m;也就是:
55+(a+d+f+i)=4m;若使m最大,必须使a+d+f+i最大。
但是当a+d+f+i=7+8+9+10时m无整数解。
所以可解得:
a+d+f+i=6+8+9+10时,m=22取得最大值。
经计算和实验,可填出如上图答案。
超越篇
1.如图4-23,四个圆共被分成十二个区域,其中已有六个区域内填有数,请将1至12中的另六个数填入其他区域内,使得每个圆中四个数之和都是28.
【答案】:
【分析与解】:
由最下面的圆可知:
空白两处所填数之和=28-2-5=21=9+12;由最右面的圆可知:
空白两处所填数之和=28-7-8=13=12+1,因此下面的圆与右边的圆公共部分为12.依次类推,可将图形补充完整。
2.如图4-24,请在三个圆圈内分别填入三个数,使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.
【答案】:
【分析与解】:
标准字母如图,
根据题意有:
a+1+9=b+9+9=9+7+c=a+b+c可解得:
a=12;b=4;c=6.
3.把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈内,使得正方体每个面上的四个数之和都相等。
【答案】:
【分析与解】:
由正方体的对称性可将四条高分为1+8=2+7=3+6=4+5=9,每个面的和为18;适当调整每条高上的两个数的位置,使其也满足上下两面为18.
4.把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内,使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数,那么每条直线上各数之和应该是多少?
并把下图补充完整。
【答案】:
【分析与解】:
观察图形可知,每个数都用两次,所以每条线上的和=2(1+2+3+……+12)÷6=26;可将空白地方依次填出。
5.把1至8填入图4-27的八个圆圈内,使得每个三角形三个顶点的数字之和相等,且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。
【答案】:
【分析与解】:
标注字母如下:
总和为1+2+3+……+8=36;所以小正方形和为36÷3=12;大正方形和为12×2=24。
再设每个小三角形的和为k;有:
a+b+h=k;b+c+d=k;h+g+f=k;d+e+f=k;将上述算式相加,可得k=12.
c+g=36-(a+b+h)-(d+e+f)=12;同理a+e=12;而12=4+8=5+7;因此可得:
a=8;b=3;c=7;d=2;e=4;f=6;g=5;h=1.
6.图4-28中一共有6条线段,请将九个连续的自然数(其中一个是6)填入其中的九个圆圈内,使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于23.
【答案】:
【分析与解】:
标注字母如下
由题意有:
2(6+a+b+……+h)-6=138;解得这九个连续的自然数为4、5、6、……、10、11、12;g+h=23=12+11;因为d+f+h=g+f+e,所以d与e相差1;同理a与b也相差1;又因为a+b=23-6=17;可以解得a=9;b=8;d=5;e=4;从而c=10;f=7.
7.如图4-29,5×5的方格表被分成了五块,请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个(其中两个格子已经分别填入1和2),使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同,且每块上所填数的和都相等,请问:
是多少?
【答案】:
14523
【分析与解】:
根据题意易知,所有方格内所填数的总和=5(1+2+3+4+5)=75;所以每一块的和等于15.
将图中空白方格内标上字母如下图:
(1)因为a+b+c+1+2=15;且a+b+c+1+e=15;所以e=2.
(2)因为a+d+A+i+p=15;且d+A+i+p+q=15;所以a=q
(3)因为m+n+s+t=15;可知这四个数一定有重复的,因为如果不重复的话,最大2+3+4+5=14<15.重复的话也只能n=s,因为m与t在对角线上不可能重复。
15=5+5+1+4=5+5+2+3=4+4+2+5=3+3+4+5;因为对角线上e=2,所以第二组和第三组舍去。
如果选择第四组的话,则m与t为4和5,n=s=3;再看a,所在的行已经有了1、2,所在的对角线已经有了2、4、5,所以a=3;由②知,q=3.此时在第五行,q=3,s=3,矛盾,故舍去。
所以n=s=5,m=4,t=1.
(4)再看第四列,g和D只剩下2和3了,因为e=2,所以g=3,D=2.
(5)再看第五列,h和E只剩下3和4了,因为g=3,所以h=4,E=3.
(6)再看右上角的黑框,f=15-2-3-2-3-4=1
(7)再看第二行,d只剩下5了。
(8)再看主对角线,a和C只剩下了3和5,但是考虑到d=5,所以a=3,C=5.
(9)再看第一行,不难得到b=5,c=4.
(10)由
(2)和(8)知,q=3
(11)再看第二列,不难得到B=4,j=1
(12)第三行,A=1.
所以可得:
=14523.
8.图4-30是奥林匹克五环标志,五个圆内共分成了九个部分,请在这九个部分中填入1至9这九个数,使得每个圆环内的各数之和都相等,请问:
这个和最大是多少?
最小是多少?
【答案】:
最大为14,最小为11
【分析与解】:
标注字母如下,并且设每个圆内的和为k:
依据题意有:
a+e=k;a+f+b=k;b+g+c=k;c+h+d=k;d+i=k;将上述算式相加有:
(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(a+b+c+d)=5k;45+(a+b+c+d)=5k
①若使k最小,只需使a+b+c+d最小,最小为1+2+3+4=10,k=11;
②若使k最大,只需使a+b+c+d最大,最大为6+7+8+9=30,k=15;但是填不成功;
接下来只能使a+b+c+d=25,此时k=14.
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