0722角量和线量的关系以圆周运动为例.docx
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0722角量和线量的关系以圆周运动为例
(184408561)20:
28:
59
今天的内容不多,我打算以圆周运动为例说一说角量和线量的关系
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09
这部分内容中学应该提到
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53
圆周运动,就是轨迹为圆周的运动
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31
描述运动的办法有很多
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00
不是非要用哪种办法才醒
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02
才行
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29
所选用的方法,必然是希望越简单越好,月直观越好,越方便越好
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32:
00
在这部分内容里,教材上往往会引入角量这个说法
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15
什么叫角量,简单来说,那就是与角度有关的量
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24
为什么要与角度有关
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32:
30
举个例子
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41
有没有童鞋玩过CS或者CF?
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17
游戏中,同伙提醒你,小李,你的2点钟方向有狙击手
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33:
20
什么意思
环境—郭蕾(1394204624) 20:
33:
58
三十度角方向
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34:
33
以你所在的平面为参考平面,以你当前的视线为参考轴,向右模仿时钟那样绕过一定角度,绕到2点钟方向的时候射击,就可以把敌人击毙
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34:
47
这里面出现了一个参考角度
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35:
12
也可以说是这个敌人在参考平面内,想对参考轴的角坐标
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35:
45
子弹是可以打远处,可以打近处的,但是想击中敌人,必须是沿那个角度才行
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35:
58
这就是这个角度的重要性
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03
看个图
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36:
14
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36:
30
任意时刻t,P点的位置,都在圆周上,这是必须的
环境—郭蕾(1394204624) 20:
36:
45
嗯嗯嗯
(184408561) 20:
37:
00
但是在圆周上的什么位置,这个要确定了,那就相当于确定了P的运动方程
(184408561) 20:
37:
06
怎么确定P的位置呢
(184408561) 20:
37:
15
到O点的距离,总是R
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37:
27
相对O点的方位就是时间变化
(184408561) 20:
37:
38
相对O点的方位是随时间变化的
环境—郭蕾(1394204624) 20:
39:
21
恩
(184408561) 20:
39:
24
假如在圆周所在平面上选中x轴作为参考轴,当t时刻P点相对参考点O的位置矢量与x轴正方向之间的夹角为θ,则θ(t),这个对应关系就可以看成确定P点的条件
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40:
03
这个θ(t)关系就是P点圆周运动的运动方程
(184408561) 20:
40:
27
任意时刻t,对应的θ(t)具体取值,都叫做P点的角坐标,也叫角位置
(184408561) 20:
40:
45
在这儿对θ不引入矢量描述
(184408561) 20:
40:
51
是为了简单
(184408561) 20:
41:
48
经历了Δt,到了t+Δt,P点位置从θ变到了θ+Δθ,这段时间内,Δθ叫做P的角位移
(184408561) 20:
42:
05
这里对角位移Δθ引入矢量描述,会让问题变得简单
(184408561) 20:
42:
30
多数教材上只对角位移Δθ人为规定了正负
(184408561) 20:
42:
43
但实际上是引入矢量描述的一种简化
(184408561) 20:
42:
48
需要注意了
(184408561) 20:
42:
54
怎么引入矢量描述呢
(184408561) 20:
43:
08
用右手螺旋
(184408561) 20:
43:
44
(184408561) 20:
44:
54
看图,Δθ如果是逆时针形成的,用右手的四个手指做成逆时针环绕,拇指所指的方向就是Δθ的方向,它的大小就是|Δθ|
(184408561) 20:
46:
01
Δθ在我们参考的平面内如果是顺时针形成,用右手的四个手指做成顺时针环绕,拇指所指的方向就是Δθ的方向,大小是|Δθ|
(184408561) 20:
46:
15
几乎所有的教材都没这么讲,而把矢量描述留给了角速度
(184408561) 20:
47:
20
角速度是运动方程θ(t)(角位置)对时间t的一阶导数
(184408561) 20:
47:
44
(184408561) 20:
47:
58
用比值的定义,还可以怎么理解?
哪位童鞋尝试回答一下?
(184408561) 20:
48:
21
谁对谁的比值?
?
(184408561) 20:
48:
41
结合之前讲过的,能准确地说出来么
(184408561) 20:
48:
47
锻炼一下
(184408561) 20:
48:
50
别不好意思
河工大-李明雪(2450317485) 20:
49:
11
θ对t
(184408561) 20:
49:
36
用比值的定义,应该是整个分子比整个分母
(184408561) 20:
49:
53
所以应该是dθ对dt的比值
河工大-李明雪(2450317485) 20:
50:
04
哦
(184408561) 20:
50:
26
很多童鞋会把角速度当成角位移对时间的一阶导数,就是因为弄混了微商定义和比值定义
(184408561) 20:
50:
38
再强调一下
(184408561) 20:
51:
08
速度是位置矢量对时间的一阶导数,也可以说速度是元位移对时间元增量的比值
北理-李怡(1090550743) 20:
51:
32
第一次听课,请老师原谅,有点不懂概念
(184408561) 20:
51:
36
角速度是角位置对时间的一阶导数,也可以说角速度是元角位移对时间元增量的比值
(184408561) 20:
51:
48
没关系
环境—郭蕾(1394204624) 20:
52:
00
元角位移?
(184408561) 20:
52:
35
角位置的元赠来那个
(184408561) 20:
52:
41
角位置的元增量
(184408561) 20:
52:
43
dθ
(184408561) 20:
52:
50
就是元角位移
环境—郭蕾(1394204624) 20:
53:
00
嗯嗯
(184408561) 20:
53:
04
因为角位移Δθ=Σdθ
(184408561) 20:
53:
29
组元的意思,对吧
(184408561) 20:
53:
44
有组成元素或组成单元的意思
(184408561) 20:
53:
50
当然这么说可不准确
(184408561) 20:
54:
15
θ对t的一阶导数等同于dθ对dt的比值
(184408561) 20:
54:
34
ok?
环境—郭蕾(1394204624) 20:
54:
42
OK
(184408561) 20:
54:
49
角位移对时间的一阶导数怎么写啊?
(184408561) 20:
55:
09
应该是dΔθ/dt,这就不是角速度了
河工大-李明雪(2450317485) 20:
55:
30
角加速度
(184408561) 20:
55:
34
所以物理学里面,不是光拍拍脑袋就可以了,要真正动动手,把想到的东西写下来验证一下
北理-古乔砚(987417613) 20:
56:
08
(184408561) 20:
56:
15
(184408561) 20:
56:
20
看定义
(184408561) 20:
56:
26
角速度如果也引入矢量描述
(184408561) 20:
56:
31
方向由谁决定?
(184408561) 20:
56:
39
咱们前面也讨论过速度的这个问题
(184408561) 20:
56:
47
由谁决定啊?
北理-李怡(1090550743) 20:
56:
48
dθ
(184408561) 20:
56:
52
(184408561) 20:
57:
08
对,角速度的方向有角位置增量的方向决定
(184408561) 20:
57:
55
所以,如果dθ是逆时针的绕向,ω也应该是逆时针的绕向
(184408561) 20:
58:
10
用右手螺旋作为标准,逆时针对应向上还是向下?
北理-李怡(1090550743) 20:
58:
18
方向一致~
昌大--吴贤英(545710472) 20:
58:
26
上
北理-李怡(1090550743) 20:
58:
29
向上?
(184408561) 20:
58:
48
也就是说ω的方向与dθ必然一致
北理-李怡(1090550743) 20:
59:
07
嗯嗯
(184408561) 20:
59:
12
大家听完之后还需要好好体会一下右手螺旋定则,这是一种很好的方法,并不是说只有这一种方法可以
北理-李怡(1090550743) 20:
59:
42
右手螺旋定则不是定义磁电的吗?
(184408561) 20:
59:
49
而且目前大家比较统一地都在用,所以自创方法可以,但是在数理学领域就不容易沟通了
北理-李怡(1090550743) 20:
59:
54
还可以有这么多
北理-李怡(1090550743) 21:
00:
06
哦哦
(184408561) 21:
00:
09
角加速度呢?
(184408561) 21:
00:
17
(184408561) 21:
00:
31
这个也有类似的讨论,为了节省时间,就不多说了
北理-李怡(1090550743) 21:
00:
46
也和上述一样?
(184408561) 21:
00:
59
如果对角加速度也引入矢量描述,角加速度的方向由谁决定?
北理-李怡(1090550743) 21:
01:
10
d
北理-李怡(1090550743) 21:
01:
14
w
(184408561) 21:
01:
17
由ω决定吗?
北理-李怡(1090550743) 21:
01:
17
d w
(184408561) 21:
01:
26
对,应该是由dω决定
北理-李怡(1090550743) 21:
01:
40
我有点不会写符号
北理-李怡(1090550743) 21:
01:
43
北理-古乔砚(987417613) 21:
01:
49
(184408561) 21:
01:
56
比如说,ω向上,但是ω是变小的,那么角加速度应该是顺时针还是逆时针?
(184408561) 21:
02:
13
应该怎么分析呢?
北理-李怡(1090550743) 21:
02:
14
逆时针
北理-李怡(1090550743) 21:
02:
17
(184408561) 21:
02:
32
ω向上,但是减小,说明dω向下
(184408561) 21:
02:
43
也就是角加速度向下
北理-李怡(1090550743) 21:
02:
43
为什么?
(184408561) 21:
02:
56
向下对应的是?
(184408561) 21:
03:
03
顺时针
(184408561) 21:
03:
09
向上对应的是逆时针
北理-古乔砚(987417613) 21:
03:
10
减小dw<0
(184408561) 21:
03:
22
还有问题么?
北理-李怡(1090550743) 21:
03:
22
嗯嗯
(184408561) 21:
03:
26
继续
北理-李怡(1090550743) 21:
03:
30
数学里面是的
(184408561) 21:
03:
49
解释清楚这些,为的是在其他地方用,到用的时候,可就没时间去解释了
(184408561) 21:
03:
54
今天的重点来了
北理-李怡(1090550743) 21:
03:
57
嗯嗯
(184408561) 21:
04:
35
刚才咱们介绍的角坐标,角位移,角速度,角加速度,都与θ或dθ有关系
(184408561) 21:
04:
51
也就是说都是“角”量,角的意思体现出来了吧
北理-李怡(1090550743) 21:
05:
05
嗯‘’
(184408561) 21:
05:
21
圆周运动只能这么表示么?
北理-李怡(1090550743) 21:
05:
29
不是吧!
(184408561) 21:
05:
34
显然不是,前面就说了,什么方法都行,关键是看方便,、
北理-李怡(1090550743) 21:
05:
43
恩
(184408561) 21:
05:
53
如果我们还用位置,位移,速度,加速度表示,行不行呢,照样行
(184408561) 21:
05:
59
可是物理事实只有一个
(184408561) 21:
06:
23
那用角量和所谓的“线”量,必然应该有对应关系啊
(184408561) 21:
06:
32
这种对应关系怎么找呢?
(184408561) 21:
06:
42
很简单
(184408561) 21:
06:
50
书上课没有了啊
北理-李怡(1090550743) 21:
06:
56
?
(184408561) 21:
06:
58
速度描述的是什么?
北理-李怡(1090550743) 21:
07:
05
快慢
(184408561) 21:
07:
09
单位时间内的位移,你看,又一种定义,没错吧?
北理-李怡(1090550743) 21:
07:
18
嗯嗯
(184408561) 21:
07:
30
那也就是单位时间内移动的距离,结合方向性
(184408561) 21:
07:
57
圆周运动的方向好办啊,就是沿圆周的切线方向向前
(184408561) 21:
08:
12
单位时间内移动的距离呢?
?
怎么算
(184408561) 21:
08:
17
用弧长公式
(184408561) 21:
08:
46
单为时间内,相对圆心转过的角度是谁?
(184408561) 21:
08:
58
就是角速度的大小啊
北理-李怡(1090550743) 21:
08:
59
角速度
(184408561) 21:
09:
27
半径乘以单位时间内的转角,那不就是单位时间内走过的弧长么
(184408561) 21:
10:
01
所以速度的大小,即速率,可以表示成Rω
(184408561) 21:
10:
06
v=Rω
(184408561) 21:
10:
44
从弧长公式可以得到最基本的一个角量线量关系,也可以说,角量和线量之间的联系就是弧长公式
(184408561) 21:
10:
55
有了这个之后,一切都好办了
(184408561) 21:
11:
17
刚才说的只是大小,既然咱们已经对角量引入了矢量描述,那么完整的矢量对应关系该怎么写呢?
(184408561) 21:
11:
45
要遵守的原则是,速率必须满足v=Rω,方向还必须沿切线
(184408561) 21:
12:
03
怎么去构造这个关系?
(184408561) 21:
13:
06
从矢量的角度来看,ω与任意时刻质点相对圆心的位置矢量R是什么关系?
(184408561) 21:
13:
15
ω向上,R沿径向
(184408561) 21:
13:
19
两者必然垂直吧
北理-古乔砚(987417613) 21:
13:
39
(184408561) 21:
14:
05
ω要向上的话,那么速度必然是沿切线逆时针绕?
还是顺时针绕?
北理-李怡(1090550743) 21:
14:
14
逆
(184408561) 21:
14:
17
必然是逆时针
(184408561) 21:
14:
27
(184408561) 21:
14:
40
所以这个关系可以这样搭建
北理-李怡(1090550743) 21:
14:
45
R也有方向?
(184408561) 21:
14:
54
位置矢量当然有方向了
(184408561) 21:
15:
03
(184408561) 21:
15:
10
叉乘的规则我们知道
北理-李怡(1090550743) 21:
15:
10
哦哦
(184408561) 21:
15:
26
现在这个角度α等于多少?
北理-李怡(1090550743) 21:
15:
30
90
(184408561) 21:
15:
50
刚才说了ω与质点相对圆心的位置矢量垂直
北理-古乔砚(987417613) 21:
16:
01
对!
必定是π/2,
(184408561) 21:
16:
52
用右手螺旋判断一下,四个手指先指向ω,然后经过小于π的角度绕向此时所对应的位置矢量,那么拇指必然是与v的方向一致了。
(184408561) 21:
16:
54
完美
(184408561) 21:
17:
02
大小方向都结合起来了
(184408561) 21:
17:
14
后面的更简单
(184408561) 21:
17:
25
加速度怎么表示?
(184408561) 21:
17:
32
加速度就是速度对时间求导数
(184408561) 21:
17:
36
现在速度的表达式有了
(184408561) 21:
17:
40
加速度就好说了
(184408561) 21:
20:
25
(184408561) 21:
20:
34
这个能接受么?
(184408561) 21:
20:
48
提前接受比用到了现接受要好
北理-李怡(1090550743) 21:
21:
17
为什么要这样写呢
北理-李怡(1090550743) 21:
21:
29
直接写不是更方便吗?
昌大--吴贤英(545710472) 21:
21:
47
这个?
(184408561) 21:
22:
01
(184408561) 21:
22:
07
(184408561) 21:
22:
25
第一部分方向如何?
北理
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- 0722 关系 圆周运动