保险精算第二版习题及答案.docx
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保险精算第二版习题及答案
保险精算(第二版)
第一章:
利息的基本概念
练习题
1.已知at
at2
b,如果在0时投资100元,能在时刻
5积累到180元,试确定在时刻
5投资300元,
在时刻8的积累值。
a(0)b1
a(5)25ab1.8
0.8,亦,b
300*100a(5)
180
300
300*100
180
a(8)
300*100
180
(64ab)
508
2.
(1)假设A(t)=100+10t,试确定i1,i3,i5。
i1A(1^0)0.1,i30.0833,i50.0714
A(0)A
(2)A(4)
(2)假设An1001.1n,试确定i1,i3,i5。
i1沁如0.1,i3坐40.仏壓30.1A(0)A
(2)A(4)
3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5
年后的积累值。
500a(3)500(13iJ620h0.08
800a(5)800(15i1)1120
500a(3)500(1i?
)3620h0.0743363
800a(5)800(1i3)51144.97
4•已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为i110%,第2年的利率为i28%,第3年的利率为i36%,求该笔投资的原始金额。
A(3)1000A(0)(1ij(1i2)(1i3)
A(0)794.1
5.确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%
•⑷
i12
10000a(3)10000
(1)
4
(4)
i4
10000a(3)100001丁
11956.18
11750.08
6.设mo1,
按从大到小的次序排列
dd(m)
i(m)
7.如果t
0.01t,求10000元在第12年年末的积累值。
12
ctdt072
10000e010000e20544.33
10000a(12)
&已知第1年的实际利率为10%第2年的实际贴现率为第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%求一常数实际利率,
8%第3年的每季度计息的年名义利率为6%
使它等价于这4年的投资利率。
i⑷.⑵
(1i)4(1"(1d2)1(1i)4(1i)2
42
1.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.333265858
i0.74556336
9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累,基金B以利息强度t-积累,在时刻t(t=0),两笔
6
基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。
a1(t)1.01
12t
t
0tdt
a2(t)e0
12t
1.01
e巨
e^,t1.432847643
10.基金X中的投资以利息强度
t0.01t0.1(0 基金丫中的投资以年实际利率i积累;现分 别投资1元,则基金X和基金Y在第 t 1i 20年年末的积累值相等,求第 3年年末基金Y的积累值。 印住) a2(t) ttdt叵0.1te0te2 001*202 2000学00.1*20 ie2 e4 3 1.8221 11. 某人1999年初借款 3万元, 按每年计息3次的年名义利率 6%投资,到2004年末的积累值为()万 丿元。 A. B.C.D. 3(1 3*53*1.0215 4.0376 4 12.甲向银行借款1万元,每年计息两次的名义利率为6%甲第2年末还款4000元,则此次还款后所余本 )元。 金部分为( 225213136987 •⑵ i2*24 (1)1.031.1255 2 第二章: 年金 练习题 1. 证明vn m viamano i aman mn •/1v1Vn i()vv 2.某人购买一处住宅,价值16万元,首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元,共付10年。 年计息12次的年名义利率为%。 计算购房首期付款额Ao /120 1v 1000a莎100079962.96(i8.7%/12) 16000079962.9680037.04 3.已知a75.153,a诃7.036,帝9.180,计算i。 a18a71 i0.08299 4.某人从50岁时起,每年年初在银行存入5000元,共存10年,自60岁起,每年年初从银行提出一笔 款作为生活费用,拟提取10年。 年利率为10%计算其每年生活费用。 x12968.7123 5.年金A的给付情况是: 1〜10年,每年年末给付1000元;11〜20年,每年年末给付2000元;21〜30年,每年年末给付1000元。 年金B在1〜10年,每年给付额为K元;11〜20年给付额为0;21〜30年,每年年末给付K元,若A与B的现值相等,已知v10-,计算K。 2 1020 11 A1000a何2000_7a诃1000;a10] 1i1i 20 B 1 Kai0K. 1i a诃 A B K 1800 6. 化简a而1v10 v,并解释该式意义。 ’1020 a101VVa301 7.某人计划在第5年年末从银行取出17000元,这5年中他每半年末在银行存入一笔款项,前5次存 款每次为1000元,后5次存款每次为2000元,计算每年计息2次的年名义利率。 10 1000a引 2000 a5 17000 i3.355% 8. 一1 1元,共付20次,第k年的实际利率为,计算V (2)。 8k 1 1 V (2) 1 1i1 (1 L i1)(1i2) 9 9 9 1 —L 10 11 28 某期初付年金每次付款额为 1 (1i1)L(1i19) 9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女,给付形式为永续年金,前两个孩子第 1到n年每年末平 分所领取的年金, n年后所有的年金只支付给第三个孩子,若三个孩子所领取的年金现值相等 那么v=() A. B. C. D. 11. nV 2vn 延期5年连续变化的年金共付款 2 6年,在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/(1+t), 该年金的现值为() 5|a6 11 5v(t)(t 1)2dt v(t) 1 a(t) t ntdt e0 1112 5©65C(t1)dt54 第三章: 生命表基础 练习题 x2 1.给出生存函数sxe2500,求: (1)人在50岁〜60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 ⑶人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。 P(50 X60)s50s(60) 10q50 P(X s50s(60) s(50) 70)s(70) s70 20p50 s(50) 2. 已知Pr: 5vT(60)w6: =,Pr: T(60)>5: =,求q60o 5060 ―S(66)0.1895,5P60S-6^0.92094s(60) q65 s(60) s65s(66)0.2058 s(65) 3. 已知q800.07,d80 3129,求丨81o q80 d80 〔80 匾址0.07 丨80 4. 分别为 设某群体的初始人数为 15人和18人。 求生存函数 3000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数 s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 s(20) d1Ld20 l0 0.92,s(21) d1Ld21 l0 0.915,s(22) d1Ld? 2 l0 0.909 5. 如果 —2—,0wxW100, 100x 求丨0=10000时, 在该生命表中 1岁到4岁之间的死亡人数 为( s(x)e x 0xdx x2 e。 厂1 2 dx 100x 2 100x x1 6. 已知20岁的生存人 数为1 000 人, 21 丨0(叩) s(4)) 2081.61 岁的生存人数为998人, 22岁的生存人数为 992人,则1|q20为( A. C. B. D. 1|q20 l21 l20 0.006 第四章: 人寿保险的精算现值 1. x 设生存函数为sx1(0 wx<100),年利率 i=,计算(保险金额为 (1) 趸缴纯保费心荷 的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。 s(x)1 x Pxgxt s(xt)1 100t s(x)100x A30诃 10t 0vtPxg 10 xtdt xt0 t 11 dt0.092 1.170 Var(Z) 2A1 30: 10 12 (A30: 10) Wv2ttpxgxtdt0.09211 0xt01.21 t 12dt0.0920.055 70 2. 设年龄为 35岁的人, 购买一张保险金额为 1000元的5年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡的 保单年度末给付,年利率i=,试计算: (1)该保单的趸缴纯保费。 (2)该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。 ⑶ (1)与⑵的结果为何不同为什么 (1)法 1000A;5: 5 k 4 k1 vkPxqx 0 d35 d36 2 351.061.06 d37 1.063 d38 1.064 d39) 5丿 1.06 查生命表l35 979738,d35 1170,d36 1248,d371336,d38 1437,d391549代入计算: 100°心 4 k v k0 kPxqxk 1351.06 d36d37 1.061.06 詈鲁)5747 法二: 1000A;5: 5 1000M 35 D35 M40 查换算表1000A5: 弓1000 M35M40 D35 1000g13590.22 127469.03 5.747 1000p35 1000心 1000C35 D 35 1000戶L 127469.03 1.126 1000p36 1000心 1000c6 D36 1000宀j 120110.22 1.203 (2) 1000P37 1 1000A37: 1 1000C37 D37 145.94 1000g 113167.06 1.29 1000p38 1 1000^: 1 C38 1000 D 38 1000宀L 106615.43 1.389 1000p39 1000C9 150.55 1000g 100432.54 1.499 1000(p35 p36p37 p38 P39) 6.457 Vg4p35A391 £2p35A37: 1V£3p35A38: 1 3. p35 p36p37 p38p39 设Ax0.25,Ax20 °.40,Ax: 201 0.55,试计算: (1)A: 20。 (2) x: 10 。 改为求Ax1^ AAx: 20|Ax209Ax20 Ax: 20Ax: 20Ax.20 0.25I。 Ajg0.4 0.55A: ? 。 Aj AL。 0.05 1 A<: 200.5 4,试证在UDD假设条件下: (1)Ax: ^|—A;: no 1i1 ⑵°x: nAx: n—Ax: no 5•(x)购买了一份2年定期寿险保险单,据保单规定,若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡, 则在死亡年末可得保险金1元,qx0.5,i0,Varz0.1771,试求qx1。 已知,A76 0.8,D76400,D77360,i 0.03,求A77o 7.现年30岁的人,付趸缴纯保费5000元, 所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。 购买一张20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时 解: 5000 Ra3q: 2q1 5000 A30: 2q1 其中 19 a30: 2q1 k1 VkP30q30 k0 11 (d30 I301.06 M30M50 D30 1.0kd3。 kJ。 k 1 I30 丄 ^0k vk 1d d30k 2d31 (1.06)231 3d32L (1.06)3 扁別49) 查(2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表中数据 I30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可,或者i= 以及 (2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表换算表 M30,M5q,D30带入计算即可。 3050> 例查(2000-2003)男性非养老金业务生命表中数据 11 心歸(莎867 J917J977 (1.06)2(1.06)3 1 2144) 0.017785596 R281126.3727 1 8.考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险,设k是自保单生效起存活的完 m 1 整年数,j是死亡那年存活的完整-年的时段数。 m (1)求该保险的趸缴纯保费AXm)。 (2)设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明AXm)丄rAx。 9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定: 被保险人在10年内死亡,给付金额为15000 元;10年后死亡,给付金额为20000元。 试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为15000A35诃2000010|A15 其中 A35: 10] 9 kV 1 kp35q35k 9l vk1l35k d35k1k d35k V 1 V k0 k0丨35 I35k35k0 1 “1, 1d 1d 1d) (d35 2d36 3d37L 10d44) l35 1.06 (1.06)2 (1.06)3 (1.06)10 M35M45D35 13590.2212077.31 127469.03 0.01187 70k v k10 1 kp35q35 70k1 V 10 心kd35k l35l35k 70 vk I35k10 d35k 11 ©(聞d45 12d46 (1.06)12 1d 13d47 (1.06)1347 启6严05) M45 D35 12077.31 127469.03 0.09475 所以趸交纯保费为15000A3诃2000。 10|冗5178.0518952073.05 10.年龄为40岁的人,以现金10000元购买一份寿险保单。 保单规定: 被保险人在5年内死亡,则在 其死亡的年末给付金额3000元;如在5年后死亡,则在其死亡的年末给付数额R元。 试求R值。 11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单,保单规定: 被保险人在70岁以前死亡,给付数额为3000 元;如至70岁时仍生存,给付金额为1500元。 试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为: 3000A50: 201500A爲 其中 19 119 k1, vd50k k0 11 1 1 (d50 ―d51 ■d52L 501.06 (1.06)2 (1.06)3 k1 Vkp50q50k 19k V k0 1bokd50k l50l50k l50k0 M50M70 D50 d69) 查生命表或者相应的换算表带入计算即可。 12•设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定: 若(30)在第一个保单年计划内死亡,则在其死亡 的保单年度末给付 5000元,此后保额每年增加 1000元。 求此递增终身寿险的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为: 4OOOA30 1OOO(IA)30 4000皿 D30 1000& D30 其中 A30 k 75 k1 Vkp30q30k 0 75 (IA)30 1(1d (030 I301.06 M30 D30 75 (k1)vk1 k0 1 (1.06)2 1l30kd30k l30k 1 175 kp30q30k l30 d31 75 l30k d30k (Wd32 (d詁d105) (k 0 11 (d30 I301.06 R30 D30 (1.06)2031 175 -(k1)Vk1d30k|30k0 3d.76 (1.06)3(1.06) k1I30kd30k 1)v I30I30k dl05) 查生命表或者相应的换算表带入计算即可。 13•某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单: (1)1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元。 (2)1000元储蓄寿险,被保险人生存n年时给付保险金额的2倍,死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的 趸缴纯保费为800元。 若现有1700元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险 的趸缴纯保费。 解: 保单1)精算式为1000人刁750An175o£n1000人750 保单2)精算式为 1000A^n800&凡1000人n1800A: n2000人讦800 求解得嘉7/17,Axn1/34,即 1700得1700隅1700鵝750 14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定: 被保险人在第一个保单年度 内死亡,则给付10000元;在第二个保单年度内死亡,则给付9700元;在第三个保单年度内死亡,则给付9400 元;每年递减300元,直至减到4000元为止,以后即维持此定额。 试求其趸缴纯保费。 15.某人在40岁投保的终身死亡险,在死亡后立即给付1元保险金。 其中,给定lx110x,0 110。 利息力3=。 Z表示保险人给付额的现值,则密度fx0.8等于() A.B.C.D. vT lnZ Inv fT(t)tpxxt S(xt) S(x) 170 fZ(z)fT(g(z))g(z) fZ(0.8)0.36 11/z 1 2 70lnv 70z 7z lxt lx 16. IA 已知在每一年龄年UDD假设成立,表示式x_ A IA x() A. i B. 1i 2 2 C. 11d D. ii 1 解: (iA) x(IA)xE(T 1vT)E(TvT) E((1S)vK S) (TKS) Ax E(vT) KS E(v) 1s E((1S)vS)0(1s)vds丄1 E(vS)1vsdsd- 0 x)死亡的保单年度末给付b元,生存保险金为e元。 保险人给 2.PxQxVb 17.在x岁投保的一年期两全保险,在个体(付额现值记为Z,则Var(Z)=() A2|2 A.pxqxvbeB. C. Pxqxv2b2e2D. 222 vbqxepx 解: P(Z P(Z2 E(Z) bv)qx,P(Zev)b2v2)qx,P(Z2bvqxevpx Px 2 e 2、 v) Px 22222 E(Z)bvqxevp Var(Z)E(Z2)E(Z) v2qxPx(be)2 2222 bvqxevPxbvqxevpx 第五章: 年金的精算现值 .设随机变量T=T(x)的概率密度函数为f(t) 0.015 0.015t e (t>0),利息强度为。 试计算精 算现值 ax 0.05t 1e0.015tM 0.015edt 0.05 15.38 .设ax10 2- ax 7.375, Var aT 50。 试求: (1) ; (2)Qx。 ax 2— 2ax Varan A 2Ax 丄(% 10 Ax 14.75 2Ax 212— (Ax)2)50-2(丸 (Ax)2) 0.035 Ax0.65 2 A0.48375 3.某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。 4.某人现年23岁,约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止, 所缴付款额也不退还。 而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止。 试求此 人每次所获得的年金额。 解: 2000&3丽R37|&3R200讐五 35 k : 36vkp23 k0 35 …k123k 35k V l23 123k l23k 1 : (123 123 聞125 (1.06)3126 (1.06)35158) N23N59 D23 37|a&3&3a&3: 371 V37p23a&0 37E23龜 82 k VkP23 k37 82k123k v
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